鄔再新，李華兵

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730000)

0 引言

自由曲線是指無法用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，而是由一些型值點(diǎn)用平滑曲線連接而成的曲線[1]。目前對(duì)于這類曲線一般是采用NURBS曲線建模的方法，得到曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再根據(jù)該數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行插補(bǔ)[2-4]。趙平等[5]提出基于NURBS曲線插補(bǔ)方法對(duì)數(shù)控程序進(jìn)行后處理，用過合理選擇基函數(shù)、控制點(diǎn)、權(quán)因子等參數(shù)來實(shí)現(xiàn)擬合精度及進(jìn)給速度的優(yōu)化。王允森等[6]以拋物線插值結(jié)合牛頓迭代法，提出一種新的RURBS曲線插補(bǔ)算法。梁盈富等[7]運(yùn)用3階NURBS曲線實(shí)現(xiàn)對(duì)自由曲線的插補(bǔ)運(yùn)算，通過改進(jìn)的4階阿當(dāng)姆斯微分方程預(yù)估插補(bǔ)中插補(bǔ)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化。但NURBS曲線建模法涉及的計(jì)算量大、求導(dǎo)誤差大、且比較復(fù)雜，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握要求較高，這就在一定程度上造成了插補(bǔ)的困難。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門活躍的邊緣性交叉學(xué)科，它所具有的并行運(yùn)算能力可大幅度縮短插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)間，良好的非線性逼近能力和自學(xué)習(xí)能力使之能對(duì)任意曲線及空間離散點(diǎn)進(jìn)行直接插補(bǔ)。現(xiàn)有的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插補(bǔ)算法[8]大多是針對(duì)特殊的曲線形式，如拋物線、雙曲線等，且都是以一個(gè)恒定的進(jìn)給速度來進(jìn)行研究，沒有考慮插補(bǔ)時(shí)進(jìn)給速度的波動(dòng)對(duì)最終插補(bǔ)結(jié)果造成的影響。本文以RBF(徑向基)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，在對(duì)插補(bǔ)精度分析時(shí)充分考慮弓高誤差的影響，并結(jié)合5段S型加減速策略，提出一種新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)控插補(bǔ)模型。

1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插補(bǔ)模型

1.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

RBF網(wǎng)絡(luò)屬于三層前饋網(wǎng)絡(luò)，由三部分組成：一組感知單元組成的輸入層、計(jì)算節(jié)點(diǎn)的隱含層和計(jì)算節(jié)點(diǎn)的輸出層。輸入層選xi-1、yi-1、ΔL三個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別為前一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)值和進(jìn)給步長(zhǎng)。傳遞函數(shù)為高斯函數(shù)。輸出層為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，即下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)值xi、yi。而RBF網(wǎng)絡(luò)不需要人為確定隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，這就最大限度的避免了人為主觀假定對(duì)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果造成的影響。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

確定了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)之后，需要獲取一組樣本數(shù)據(jù)對(duì)該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。對(duì)于自由曲線，可用已知的一些型值點(diǎn)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入樣本。

1.2 RBF網(wǎng)絡(luò)模型的學(xué)習(xí)算法

RBF網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)要求解3個(gè)參數(shù)：徑向基函數(shù)的中心ci、寬度σi、隱含層到輸出層的權(quán)值。網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法一般包括確定徑向基函數(shù)的中心和徑向基函數(shù)權(quán)值學(xué)習(xí)調(diào)整兩個(gè)階段。

本文以自組織選取中心算法和最小二乘法來求解這3個(gè)參數(shù)。具體步驟如下：

(1) 網(wǎng)絡(luò)初始化。隨機(jī)的選擇h個(gè)訓(xùn)練樣本作為聚類中心ci(k)(i=1,2，...，h；k為迭代次數(shù))。

(4) 重新調(diào)整聚類中心。

(1)

式中，i=1,2，...，h；ni為第i個(gè)聚類域θi(k)當(dāng)中所包含的樣本個(gè)數(shù)。

(5) 如果ci(k+1)≠ci(k)，轉(zhuǎn)到步驟(2)；否則聚類結(jié)束。

(6) 求解方差σi。因?yàn)镽BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向基函數(shù)為高斯函數(shù)，所以方差σi可由下式求解：

(2)

式中，i=1,2，...，h；cmax為所選取中心之間的最大距離。

(7)計(jì)算隱含層和輸出層之間的權(quán)值ω。當(dāng)確定了徑向基函數(shù)的中心ci和寬度σi之后，隱含層至輸出層之間的輸出權(quán)值就可以采用最小二乘法直接計(jì)算得到。計(jì)算公式為：

(3)

式中，j=1,2，...，n；i=1,2，...，h。

2 步長(zhǎng)L的選取

2.1 進(jìn)給速度約束的步長(zhǎng)

根據(jù)編程提供的進(jìn)給速度F0，將給定輪廓曲線細(xì)分成許多微小直線段，即輪廓步長(zhǎng)，且每個(gè)插補(bǔ)運(yùn)算周期只計(jì)算一次。因此，由進(jìn)給速度F0和插補(bǔ)周期T確定的輪廓步長(zhǎng)為：

Ln=F0T

(4)

2.2 輪廓誤差約束的步長(zhǎng)

用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的插補(bǔ)模型進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)，不存在弦長(zhǎng)誤差，只存在用直線逼近曲線時(shí)產(chǎn)生的弓高誤差，即輪廓誤差。圖2中，Ei為弓高誤差，ρi為曲率半徑，Li為進(jìn)給步長(zhǎng)。

圖2 圓弧近似弓高誤差分析圖

根據(jù)其幾何關(guān)系有：

(5)

假設(shè)機(jī)床加工所允許的最大弓高誤差為Emax，由式(4)可得在該誤差約束條件下的進(jìn)給步長(zhǎng)為：

(6)

3 速度規(guī)劃和前瞻控制

3.1 自適應(yīng)區(qū)域分析

對(duì)弓高誤差進(jìn)行分析,并將分析結(jié)果引入到插補(bǔ)步長(zhǎng)變化控制當(dāng)中，使插補(bǔ)步長(zhǎng)能夠根據(jù)曲率的變化進(jìn)行自適應(yīng)的調(diào)整，但同時(shí)也不可避免的造成進(jìn)了給速度的頻繁波動(dòng)。隨著曲線曲率的增大，當(dāng)速度以F0插補(bǔ)出的點(diǎn)無法滿足精度要求時(shí)，速度就會(huì)由F0下降為由最大弓高誤差約束下的進(jìn)給速度F1。F0與F1之間的數(shù)值差距會(huì)引起速度的突變，引起過大的進(jìn)給加速度。而過大的加速度將給機(jī)床帶來巨大沖擊，甚至產(chǎn)生破壞，因此必須在插補(bǔ)中考慮加減速的問題。

3.2 加減速規(guī)劃

根據(jù)以上對(duì)自適應(yīng)區(qū)域的分析，文章采用簡(jiǎn)化后的五段S曲線加減速控制算法，將自適應(yīng)區(qū)域的速度規(guī)劃為加減速段、減減速段、勻速段、加加速段和減加速段[9]，如圖3所示。

以進(jìn)入自適應(yīng)區(qū)域之后的減速階段為例進(jìn)行分析，如圖3所示，其速度曲線為二次拋物線，加速度曲線為線性直線，加加速度曲線為常數(shù)直線。從圖3可以看出，整個(gè)減速過程可以分為兩部分：加減速段和減減速段。以加減速過程為例，設(shè)該過程的速度方程為：

V1(t)=a0+a1t+a2t2

(7)

對(duì)速度方程分別求一階、二階導(dǎo)數(shù)，可得到加速度、加加速度方程：

A1(t)=a1+2a2t

(8)

J1(t)=2a2

(9)

設(shè)減速過程的開始時(shí)刻為0，起始速度為Vs，終止速度為Ve，最大加速度為A，最大加加速度為J。加減速階段的時(shí)間為0～t1，減減速階段的時(shí)間為t1～t2，其中t1既是加減速階段的終止時(shí)刻，也是減減速階段的開始時(shí)刻。

圖3 5段S型加減速

結(jié)合圖3對(duì)減速過程進(jìn)行分析可得，當(dāng)t=0時(shí)，速度為Vs，加速度為0，加加速度為-J，即：

(10)

因此，加減速段的速度方程為：

(11)

當(dāng)t=t1時(shí)，減速過程可達(dá)到最大加速度值，A1(t1)=-Jt1=-A，得：

(12)

同理，可推導(dǎo)出減減速段的速度方程為：

(13)

因?yàn)檎麄€(gè)減速段的速度曲線是連續(xù)的，所以有：

V1(t1)=V2(t1)

(14)

將式(11)～式(13)代入式(14)得：

(15)

(16)

(17)

3.3 前瞻控制

前瞻控制的目的是為了在到達(dá)速率敏感點(diǎn)之前將速度降到由弓高誤差約束下的速度值[10]。首先對(duì)整條軌跡進(jìn)行快速預(yù)插補(bǔ)，并在此過程中完成曲線曲率的計(jì)算、速率敏感點(diǎn)的識(shí)別。對(duì)于五段S型加減速階段，其前瞻距離的計(jì)算包括加減速階段和減減速階段的位移距離。對(duì)式(11)積分可得加減速段的位移曲線方程：

(18)

因此，加減速段的位移距離為：

L1=S(t1)-S(0)

(19)

同理可得減減速段的位移距離L2，故減速段的位移量為：

Ld=L1+L2

(20)

得到減速距離Ld后，以速率敏感點(diǎn)為起點(diǎn)向前尋找插補(bǔ)點(diǎn)m，其對(duì)應(yīng)的路徑Lm應(yīng)滿足Lm≥Ld，則插補(bǔ)點(diǎn)m即為減速起始點(diǎn)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證上述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插補(bǔ)模型的有效性，在MATLAB平臺(tái)上進(jìn)行仿真測(cè)試。為了使結(jié)果直觀，好做比較，本文選擇正弦曲線為例進(jìn)行仿真計(jì)算。預(yù)設(shè)參數(shù)為：插補(bǔ)周期和采樣周期為T=2ms，仿真時(shí)的編程速度為F0=70mm/s，允許的最大加速度為Amax=50mm/s2，允許的最大加加速度為Jmax=250mm/s3；最大弓高誤差設(shè)定為εmax=2μm。采用簡(jiǎn)化后的5段S型加減速控制算法，選取曲線上的一組型值點(diǎn)作為訓(xùn)練樣本，對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練；以訓(xùn)練后的模型輸出作為刀具軌跡點(diǎn)。

4.1 輪廓誤差分析

當(dāng)只考慮由進(jìn)給速度和插補(bǔ)周期約束下的進(jìn)給步長(zhǎng)，而不考慮輪廓誤差控制時(shí)，應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)上述參數(shù)設(shè)置的曲線進(jìn)行仿真插補(bǔ)，得到的弓高誤差曲線如圖4所示。從圖4可以看出，當(dāng)以恒定的進(jìn)給速度對(duì)曲線進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)，由于進(jìn)給速度和插補(bǔ)周期不變，導(dǎo)致插補(bǔ)步長(zhǎng)為定值；而當(dāng)曲線曲率增大時(shí)，插補(bǔ)步長(zhǎng)無法進(jìn)行自動(dòng)調(diào)節(jié)，弓高誤差也會(huì)隨之增大。圖中的兩個(gè)波峰相對(duì)應(yīng)于sin函數(shù)曲線兩個(gè)曲率較大的位置。圖4中的最大弓高誤差為2.4μm，已超過預(yù)先設(shè)定的最大弓高誤差允許值。

采用本文提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插補(bǔ)算法對(duì)上述參數(shù)設(shè)置的曲線進(jìn)行仿真測(cè)試，得到弓高誤差曲線，如圖5所示。從圖5可以看出，由于充分考慮了輪廓誤差控制，最大弓高誤差被很好的控制在2μm以內(nèi)。在曲線曲率發(fā)生較大波動(dòng)時(shí)時(shí)，模型能夠根據(jù)曲率的變化對(duì)插補(bǔ)步長(zhǎng)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，從而保證弓高誤差始終小于設(shè)定的最大弓高誤差。

圖4 弓高誤差曲線

圖5 弓高誤差曲線

4.2 速度和加速度分析

仿真得到的速度、加速度曲線如圖6、圖7所示。從圖6、圖7可以看出，在整個(gè)插補(bǔ)過程中，速度、加速度保持平穩(wěn)，保證了零件的表面質(zhì)量和加工效率。圖8為局部速度曲線，從圖中可以看出，在插補(bǔ)過程中，速度曲線變化平滑，實(shí)現(xiàn)了平滑無沖擊的進(jìn)給過程。

圖6 速度曲線

圖7 加速度曲線

圖8 局部速度曲線

5 結(jié)束語

文章對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)在自由曲線插補(bǔ)當(dāng)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，得到如下結(jié)論：

(1)利用本文構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)自由曲線進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)，只需知道待加工曲線上的一部分型值點(diǎn)，并且不涉及求導(dǎo)等復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，具有原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、插補(bǔ)精度高和插補(bǔ)速度快等優(yōu)點(diǎn)。

(2)通過對(duì)弓高誤差進(jìn)行分析，推導(dǎo)出在最大弓高誤差約束條件下的插補(bǔ)步長(zhǎng)；并結(jié)合5段S型加減速控制策略，使整個(gè)插補(bǔ)過程中的速度和加速度保持平穩(wěn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)控機(jī)床平滑、無沖擊的進(jìn)給過程，最大限度的平衡了進(jìn)給速度和加工精度之間的矛盾。