曾旭，羅清松

(1.四川自力建筑勘測設(shè)計(jì)有限公司，四川 瀘州 646005； 2.四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，四川 瀘州 646005)

1 引 言

隨著測繪新技術(shù)的不斷發(fā)展，房產(chǎn)測繪中不能僅局限于實(shí)地量距法，具有測算速度快、精度可靠的房屋面積測算方法是房產(chǎn)測繪中所需要的。鑒于免棱鏡全站儀不需要棱鏡即可采集對象點(diǎn)位目標(biāo)坐標(biāo)，且速度快、效率高，因此探討其應(yīng)用在房屋面積測算中的可靠性。通過文獻(xiàn)查閱發(fā)現(xiàn)，全站儀坐標(biāo)解析法量算房屋面積精度分析資料較少，文獻(xiàn)[1]計(jì)算了全站儀坐標(biāo)解析法面積測算限差，并比較了與實(shí)地量距法測算房屋面積的精度，得出了因房屋面積大小的不同，應(yīng)交替使用兩種方法，以期測算精度最高；文獻(xiàn)[2]探討了免棱鏡全站儀在房產(chǎn)測繪中的應(yīng)用，得出免棱鏡全站儀測設(shè)的界址點(diǎn)精度能夠滿足規(guī)范要求。兩篇文獻(xiàn)對面積測算精度可靠性的探討并未涉及。因而本文基于不同精度等級的免棱鏡全站儀采集房屋各個(gè)房角點(diǎn)坐標(biāo)，分析使用坐標(biāo)解析法測算房屋面積的精度是否滿足現(xiàn)行規(guī)范要求。

2 全站儀坐標(biāo)解析法面積計(jì)算

坐標(biāo)解析法是指按房屋用地界址點(diǎn)(界線拐點(diǎn))坐標(biāo)計(jì)算地塊面積的方法。各拐點(diǎn)坐標(biāo)可通過全站儀在測站點(diǎn)上直接實(shí)地施測獲取。有了各拐點(diǎn)坐標(biāo)，就可以組成閉合的多邊形，從而根據(jù)面積計(jì)算公式計(jì)算出多邊形面積，此結(jié)果即為房屋用地面積或房屋首層建筑面積。下面推導(dǎo)面積計(jì)算公式的形式。

圖1 坐標(biāo)解析法面積計(jì)算

圖1中是由五個(gè)房屋用地界址點(diǎn)組成的五邊形房屋用地面積SABCDE，每個(gè)界址點(diǎn)的坐標(biāo)都可通過實(shí)地測量得出，分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)、E(x5，y5)。從圖中可以看出：

SABCDE=SaABb+SbBCc-SaAEe-SeEDd-SdDCc

可以看出，上式等號的右邊每一項(xiàng)都代表一個(gè)梯形的面積。其梯形的底為各界址點(diǎn)的縱坐標(biāo)，分別為x1、x2、x3、x4、x5；其高分別為橫坐標(biāo)的差的絕對值，即(y2-y1)、(y3-y2)、-(y3-y4)、-(y4-y5)、-(y1-y5)，所以有：

上式中，1、2、3、4、5是按順時(shí)針編號的。如果擴(kuò)展到一般形式，則有：

(1)

式(1)都是坐標(biāo)解析法面積計(jì)算公式。但需要注意的是當(dāng)i+1>n時(shí)xi+1=x1，yi+1=y1；當(dāng)i-1=0時(shí)，xi-1=xn，yi-1=yn；實(shí)踐操作中，兩公式可各計(jì)算一次，加以檢核。

3 坐標(biāo)解析法面積量算精度分析

通過式(1)可以看出，面積計(jì)算公式是關(guān)于xi、yi的非線性函數(shù)，則分別求S關(guān)于xi、yi的偏導(dǎo)數(shù)后可得：

根據(jù)平面兩點(diǎn)間距離公式，則可將上式改寫為：

(2)

其中Di-1：i+1為第i-1號界址點(diǎn)到i+1號界址點(diǎn)距離。

4 不同精度等級全站儀測算房屋面積精度分析

4.1 矩形房屋面積計(jì)算精度公式

房地產(chǎn)行業(yè)中，常見的房屋形狀以矩形居多，則選取矩形房屋討論房屋面積計(jì)算精度。如圖2所示，矩形ABCD是一矩形房屋平面圖，令邊長AB=CD=a，AC=BD=b，則AD2=BC2=DA2=CB2=a2+b2。則由式(2)，可知：

(3)

圖2矩形房屋示意圖

4.2 界址點(diǎn)精度分析

使用免棱鏡全站儀極坐標(biāo)法采集房屋界址點(diǎn)坐標(biāo)，是指將儀器安置在房屋周圍已布設(shè)好的控制點(diǎn)(假設(shè)無誤差)上，通過直接采集房屋拐點(diǎn)處的水平角和距離從而測算出房屋界址點(diǎn)的坐標(biāo)。此時(shí)，界址點(diǎn)相對臨近控制點(diǎn)的平面位置方差為[2]

(4)

其中：ms為測距標(biāo)準(zhǔn)偏差；mβ為測角標(biāo)準(zhǔn)偏差；ρ=206265″；s為界址點(diǎn)到測站點(diǎn)的平均距離/m。

文獻(xiàn)[2]中提到，使用免棱鏡全站儀不能那么準(zhǔn)確地測出建筑物的角點(diǎn)，總是存在 ±0.015 m的誤差。需對式(4)加以改正，得到免棱鏡全站儀采用極坐標(biāo)法獲取界址點(diǎn)坐標(biāo)的精度：

(5)

4.3 不同精度等級免棱鏡全站儀在坐標(biāo)解析法面積計(jì)算中的精度分析

結(jié)合式(3)和式(5)，可得

(6)

按照測量誤差理論[5]“絕對值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.5%”，則工程實(shí)踐中常取2倍中誤差為測量誤差的限差。則式(6)，可整理為

(7)

由上式可知免棱鏡全站儀在坐標(biāo)解析法面積計(jì)算中的主要誤差來源于全站儀的測角標(biāo)準(zhǔn)偏差mβ，測距標(biāo)準(zhǔn)偏差ms，測站點(diǎn)到界址點(diǎn)間的平均距離s以及房屋的長a和寬b。

我國相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中，將全站儀等級分為四級[6]，各等級全站儀測角、測距標(biāo)準(zhǔn)偏差如表1所示。

各精度等級免棱鏡全站儀精度指標(biāo) 表1

備注：測距標(biāo)準(zhǔn)偏差格式為“A+Bppm×s”，A為固定誤差，B為比例誤差系數(shù)，ppm為1×10-6，s為測量距離。

考慮房產(chǎn)測繪的特殊情形，一般控制點(diǎn)與界址點(diǎn)間距離一般在 500 m以內(nèi)，且極坐標(biāo)法極距控制在 300 m內(nèi)比較適宜[7]。則界址點(diǎn)間的平均距離s取最大值為 300 m進(jìn)行面積測算誤差計(jì)算，根據(jù)免棱鏡全站儀不同，則可形成不同精度等級全站儀面積測算誤差表，如表2所示。

不同精度等級免棱鏡全站儀面積測算誤差 表2

《房產(chǎn)測量規(guī)范》[8]中，對房屋面積測算限差有具體的要求，如表3所示。

房屋面積測算誤差限差 表3

備注：S指房屋的面積/m2，矩形房屋面積S=a(長)×b(寬)

表2中給出了不同精度等級的全站儀測算矩形房屋面積的誤差計(jì)算公式；表3中給出了各精度等級的房屋面積誤差限差計(jì)算公式。兩者都是關(guān)于矩形房屋長和寬的函數(shù)，使用MATLAB軟件編寫程序?qū)Σ煌鹊燃壝饫忡R全站儀面積測算誤差與房屋面積測算誤差限差較差進(jìn)行圖形分析，若較差≤0，則輸出a(長度)、b(寬度)的取值范圍，具體的MATLAB程序代碼如下(以一級全站儀面積測算誤差與一級房屋面積測算誤差限差較差代碼為例)：

clear；clc；

f=@(a，b)2*(1/2*(a.^2+b.^2).*(0.00000169+90000/(206265^2)+0.000225)).^(1/2)-(0.02*(a.*b).^(1/2)+0.0006*a.*b)；)

t=linspace(0，100，5000)；

[a，b]=meshgrid(t，t)；

contourf(a，b，-f(a，b)，[0 0])

xlabel('a(長度)')；ylabel('b(寬度)')

各精度等級全站儀面積測算誤差與各等級房屋面積測算誤差限差較差的圖形分析結(jié)果如圖3、圖4、圖5、圖6(每圖從左往右分別是全站儀房屋面積測算誤差不大于一級、二級、三級房屋面積測算誤差限差時(shí)，房屋長a和房屋寬b的取值范圍(陰影部分)，單位：m)。

備注：圖中標(biāo)注精度為1 mm。

圖3一級全站儀面積測算誤差不大于各等級房屋面積測算誤差限差下房屋長寬取值范圍

圖4 二級全站儀面積測算誤差不大于各等級房屋面積測算誤差限差下房屋長寬取值范圍

圖5 三級全站儀面積測算誤差不大于各等級房屋面積測算誤差限差房屋長寬取值范圍

圖6 四級全站儀面積測算誤差不大于各等級房屋面積測算誤差限差房屋長寬取值范圍

鑒于房屋修建、使用的合理性和舒適性，假設(shè)矩形房屋的長寬一般都不小于 3 m時(shí)，不大于 100 m，則根據(jù)以上圖形，可作出以下結(jié)論：

(1)各精度等級免棱鏡全站儀坐標(biāo)解析法測算矩形房屋面積的精度能夠滿足三級房屋面積測算精度要求。

(2)使用一級全站儀，若房屋長寬不小于 5.868 m；使用二級全站儀，若房屋長寬不小于 6.158 m；使用三級全站儀，若房屋長或?qū)挷恍∮?7.286 m；使用四級全站儀，若房屋長寬不小于 9.045 m。則測算房屋面積精度可以達(dá)到二級房屋面積測算精度要求。若房屋長寬不滿足上述條件，則需通過計(jì)算檢驗(yàn)是否滿足二級測算精度要求。

(3)使用一級全站儀，若房屋長寬不小于 21.121 m；使用二級、三級全站儀，若房屋長寬不小于 22.194 m；使用三級全站儀，若房屋長或?qū)挷恍∮?26.472 m；使用四級全站儀，若房屋長不小于 50.972 m，寬不小于 34.927 m。則房屋面積測算精度可以達(dá)到《房產(chǎn)測量規(guī)范》中一級房屋面積測算精度要求。若房屋長寬不是上述討論范圍，則需通過計(jì)算檢驗(yàn)是否滿足一級測算精度要求。

5 結(jié) 語

(1)本文對坐標(biāo)解析法房屋計(jì)算公式進(jìn)行了詳細(xì)地推導(dǎo)，對基于免棱鏡全站儀的坐標(biāo)解析法房屋面積量算精度進(jìn)行了分析。表明了量算精度與房屋的相隔界址點(diǎn)連線長度和界址點(diǎn)精度有關(guān)，即面積量算精度與界址點(diǎn)連線長度成反比，與界址點(diǎn)精度成正比。

(2)采用MATLAB軟件的圖形分析功能，驗(yàn)證了不同精度等級免棱鏡全站儀使用坐標(biāo)解析法量算房屋面積，其精度完全滿足《房產(chǎn)測量規(guī)范》中三級房屋面積測算精度限差要求。在房屋長寬約束條件下，還可以達(dá)到一級、二級房屋面積測算精度限差要求。

(3)本文僅是按矩形房屋所作的討論，得出的結(jié)論僅適用于矩形房屋。