馬江英 施建昌

(1.浙江省紹興市柯橋區(qū)錢(qián)清中學(xué) 312025；2.浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心 312030)

在近幾年的高考中，計(jì)數(shù)原理是高考考查的重要知識(shí)點(diǎn)，是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，其中的分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的最基本、最重要的方法，也稱(chēng)為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問(wèn)題提供了思想和工具.與分配有關(guān)的計(jì)數(shù)原理問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)，從考查的題型上看主要涉及平均分組和不平均分組二類(lèi)典型問(wèn)題，下面從二類(lèi)典型問(wèn)題和涉二類(lèi)問(wèn)題的綜合問(wèn)題三個(gè)方面進(jìn)行例說(shuō).

一、平均分組問(wèn)題

例1 為迎接2020年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)，日本某校舉行奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)初選后，有12名同學(xué)獲得參賽資格.這12名選手要分成4個(gè)小組，每組3人，那么不同的分組方法有____種.

評(píng)注此題是一個(gè)平均分組問(wèn)題，主要是要注意根據(jù)平均分組原則進(jìn)行解題.平均分組問(wèn)題的方法是解決有關(guān)分組問(wèn)題的根本方法，在解題時(shí)要注意正確使用.

二、不平均分組問(wèn)題

例2 將語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物這六本課外輔導(dǎo)讀物贈(zèng)送給某希望工程學(xué)校的四名學(xué)生閱讀，每人至少一本，至多2本，則恰好有一人同時(shí)獲得物理、化學(xué)兩本書(shū)的概率是( ).

評(píng)注分組問(wèn)題中對(duì)于不平均分組問(wèn)題的組合數(shù)一般不必除以某一個(gè)數(shù)的階乘數(shù)，但對(duì)于含有平均分組成分的則需要按不平均分組的原則進(jìn)行計(jì)算.

三、分組綜合問(wèn)題

分組綜合問(wèn)題就是指在分組中既含有平均分組的情況，也含有不平均分組的成分，在解題時(shí)要注意綜合考慮，并特別掌握好各種分組情況的解法和注意事項(xiàng).

例3 將7個(gè)人(含甲、乙)分成三個(gè)組，一組3人，另兩組各2人，不同的分組數(shù)為a，甲、乙分到同一組的概率為p，則a,p的值分別為( ).

甲、乙分在同一組的方法種數(shù)有以下兩種情況，

評(píng)注這是一個(gè)分組綜合問(wèn)題，第一問(wèn)涉及到平均分組與不平均分組兩種情況，對(duì)于每組2人的兩組是平均分組，而3人組就是不平均分組，這類(lèi)問(wèn)題的求解方法要特別注意.第二問(wèn)主要是對(duì)于甲、乙分到同一組的情況有兩種，即在3人組或在2人組，要分類(lèi)討論.像這樣的分組問(wèn)題，特別是不完全平均分組問(wèn)題，對(duì)于平均分組的問(wèn)題在計(jì)算組合數(shù)時(shí)要除以相同個(gè)數(shù)的組數(shù)的階乘數(shù)，而不相同的個(gè)數(shù)不必計(jì)算在階乘數(shù)內(nèi).

分組問(wèn)題中的平均分組問(wèn)題與不平均分組問(wèn)題處理方法是不一樣的，要特別注意“不平均分組問(wèn)題”的情況及“含有平均和不平均分組的交匯問(wèn)題”的情況的區(qū)別與聯(lián)系，掌握原則是：涉及平均分組時(shí)，在分組時(shí)對(duì)于分好組的組合數(shù)還應(yīng)除以相同個(gè)數(shù)的組數(shù)的階乘數(shù). 這類(lèi)問(wèn)題往往需要注意排列、組合計(jì)算公式的應(yīng)用，并學(xué)會(huì)將復(fù)雜事件分解為若干簡(jiǎn)單事件進(jìn)行處理.