李志勇

(中廣核研究院有限公司，廣東 深圳 518031)

中子輸運方程的求解方法有很多，如碰撞概率方法、穿透概率方法、MOC方法以及離散縱標(biāo)法[1-5]，其中，離散縱標(biāo)法得到了非常廣泛的研究和應(yīng)用。對于離散縱標(biāo)法的求解大多采用差分方法[6]，對于方形幾何問題，Lawrence等[7]通過對堆芯擴散節(jié)塊格林函數(shù)方法的擴展，提出了一種兩維離散縱標(biāo)節(jié)塊法即離散節(jié)塊輸運法(DNTM)。李志勇[8]提出了一種基于中子平衡形式的離散縱標(biāo)節(jié)塊法及相應(yīng)的粗網(wǎng)有限差分(CMFD)加速技術(shù)，并取得了很好的效果。DNTM相對于差分方法，在相同的精度要求下大幅減少了計算時間，因此DNTM是一種很有價值的方法。

對于六角形幾何，Ikeda等[9]提出了一種離散縱標(biāo)節(jié)塊法并在快堆問題中得到了應(yīng)用。本文基于該方法并結(jié)合方形幾何下的中子平衡形式的離散縱標(biāo)法，將中子平衡形式的離散縱標(biāo)法推廣到六角形幾何，得到六角形幾何下的中子平衡離散縱標(biāo)節(jié)塊法，使得離散縱標(biāo)節(jié)塊法更為簡潔和有效，也使其易于采用在堆芯擴散節(jié)塊方法上廣泛應(yīng)用的一些加速技術(shù)。

六角形幾何下的中子平衡離散縱標(biāo)節(jié)塊法收斂速度較慢、計算較為耗時，因此本文同時提出六角形幾何離散縱標(biāo)節(jié)塊法下的CMFD加速計算方法。

1 理論模型

1.1 基本方程[9]

微分形式的六角形中子輸運方程可寫為如下形式：

(1)

(2)

圖1示出六角形節(jié)塊橫向積分示意圖。通過類似于堆芯擴散節(jié)塊法的橫向積分技術(shù)在區(qū)間-ys(x)

(3)

(4)

(5)

圖1 六角形節(jié)塊橫向積分示意圖Fig.1 Transverse integrate sketch of hexagonal node

橫向積分角中子通量可直接求解如下。對于μm>0，有如下的關(guān)系：

(6)

另外，還需對標(biāo)量中子通量和中子源分布采用類似于節(jié)塊法的多項式展開，有：

(7)

(8)

其中，hi(x)={1,x,x2-5/72}，hi(x)的選取為了便于高階角中子通量的求解需滿足相對于權(quán)重函數(shù)ys(x)正交的要求，即：

(9)

其中，δij為克羅內(nèi)克函數(shù)。

對于橫向泄漏，這里對左右半節(jié)塊均采用平坦泄漏近似，這對于求解六角形組件柵元輸運問題應(yīng)該是合適的。根據(jù)橫向積分節(jié)塊面平均角中子通量以及節(jié)塊標(biāo)量中子通量，構(gòu)造成一般的源迭代形式，即可完成離散縱標(biāo)六角形節(jié)塊法的求解，具體過程可參考文獻(xiàn)[9]。

1.2 中子平衡方法

根據(jù)橫向積分離散縱標(biāo)方程(式(3)～(5))可求解出節(jié)塊表面橫向積分面平均角中子通量，這里采用文獻(xiàn)[9]的方法，橫向積分出射面平均角中子通量為：

(10)

(11)

(12)

將對橫向積分中子源和橫向中子泄漏的近似代入式(10)，可得到出射橫向積分出射面平均角中子通量的具體形式：

(13)

(14)

(15)

(16)

CL(-μm)=CR(μm),CR(-μm)=CL(μm)

(17)

注意到對任意角度方向的離散縱標(biāo)中子輸運方程(式(1)、(2))進(jìn)行面積積分(高斯積分)，可得到兩維笛卡爾坐標(biāo)下的任意角度方向中子平衡方程，這與堆芯擴散節(jié)塊法的過程類似。對于六角形中子輸運離散縱標(biāo)方程，其形式可表示為：

(18)

1.3 CMFD加速技術(shù)

離散縱標(biāo)節(jié)塊法可在較粗的網(wǎng)格下獲得較高的計算精度，但由于中子輸運方程需顯式求解角中子通量，整個數(shù)值計算過程需更多的源迭代從而消耗較多計算時間，因此研究和采用有效的加速技術(shù)對于離散縱標(biāo)節(jié)塊法是很有必要的。CMFD加速技術(shù)在堆芯擴散程序中得到應(yīng)用，且在方形離散縱標(biāo)節(jié)塊法中，CMFD技術(shù)的加速效果非常優(yōu)良[8]。

CMFD加速中子輸運方程求解的基本思想是基于擴散方程有限差分形式，根據(jù)輸運求解得到面中子流和體積平均通量的關(guān)系，來修正在有限差分?jǐn)U散方程中的等效擴散系數(shù)，最終使得輸運方程中子流與CMFD中子流相同從而兩者等價。在這一過程中利用CMFD的快速計算能力，計算得到等價問題的中子通量和本征值并修正輸運方程中子通量以獲得加速的效果。本文采用的中子離散縱標(biāo)六角形節(jié)塊法CMFD加速技術(shù)理論模型如下。

(19)

(20)

(21)

s=x,u,v

(22)

將式(21)、(22)代入到中子擴散平衡方程就可得到一般的CMFD迭代方程(式(23))，對其采用一般的源迭代求解就可得到本征值和中子通量，隨后將其作為SN的初始本征值和標(biāo)量中子通量重新進(jìn)行SN外迭代以實現(xiàn)加速目的。

(23)

2 數(shù)值計算

2.1 參考問題

本文采用文獻(xiàn)[10]中提出的1個組件問題作為參考問題。該組件問題由五環(huán)柵元構(gòu)成，柵元柵距為1.732 05 cm(即六角形柵元邊長為1 cm)，組件外邊界條件為鏡面反射條件。該問題分為兩種情況，一個是兩群單區(qū)問題，即全部柵元均為燃料柵元；另一個是兩群兩區(qū)問題，組件最外圈全部為輕水柵元，其余位置處為燃料柵元。圖2給出該基準(zhǔn)問題的幾何結(jié)構(gòu)(1/6對稱圖)，表1列出柵元材料中子截面。

圖2 參考問題的1/6組件幾何結(jié)構(gòu)Fig.2 Reference problem 1/6 assembly layout

2.2 計算結(jié)果

本文采用1個柵元作為1個節(jié)塊進(jìn)行計算，并對角中子通量采用36個對稱方向進(jìn)行計算。

表1 參考問題中子截面Table 1 Reference problem neutron cross section

兩群單區(qū)問題的計算結(jié)果列于表2，本文計算的本征值為1.179 68，與MCNP參考解和TPHEX-A的計算結(jié)果很接近，另外快熱中子通量比為7.05，也與參考解和TPHEX-A的一致。

表2 單區(qū)問題計算結(jié)果Table 2 One region benchmark problem result

兩群兩區(qū)問題的計算結(jié)果列于表3，本文計算的本征值為1.201 56，而MCNP參考解本征值為1.197 11，文獻(xiàn)[10]中TPHEX-A計算的本征值為1.201 72，本文計算結(jié)果與TPHEX-A的基本一致。圖3示出本文計算、TPHEX-A和MCNP參考解的各柵元快中子和熱中子通量的分布，本文計算結(jié)果與MCNP和TPHEX-A的計算結(jié)果基本一致。圖4示出MCNP計算的中子功率分布及本文方法和TPHEX-A計算的中子功率與參考解的相對偏差，可看出本文方法計算結(jié)果的平均相對偏差和最大相對偏差分別為1.0%和1.5%，本文方法計算的本征值和中子通量與MCNP結(jié)果符合良好，并與TPHEX-A計算結(jié)果的精度相當(dāng)。

表3 兩區(qū)問題計算結(jié)果Table 3 Two-region benchmark problem result

圖3 參考問題快中子(a)和熱中子(b)通量的分布Fig.3 Flux distribution of reference problem fast neutron (a) and thermal neutron (b)

2.3 CMFD加速性能

離散縱標(biāo)六角形節(jié)塊法盡管相對差分格式離散縱標(biāo)法有相當(dāng)?shù)挠嬎阈蕛?yōu)勢，但由于輸運方程的特點計算速度還是相對較慢。根據(jù)CMFD理論模型對離散縱標(biāo)節(jié)塊法采用了CMFD加速并進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值模擬。

本文對上述兩群兩區(qū)參考問題進(jìn)行計算，對于采用和不采用CMFD加速情況下離散縱標(biāo)節(jié)塊法的計算結(jié)果和外迭代次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果列于表4。可看出，加速后的本征值和功率分布計算與不加速的結(jié)果是一致的，外迭代次數(shù)從不加速的近300次減少到不足20次，加速效果達(dá)到約16倍，離散縱標(biāo)六角形CMFD加速取得了非常好的效果。

圖4 參考問題柵元功率分布及其相對偏差Fig.4 Power distribution of reference problem and relative deviation

3 結(jié)論和展望

本文提出了一種中子平衡形式的離散縱標(biāo)六角形節(jié)塊法，數(shù)值結(jié)果表明，提出的模型是可行和正確的。此外，針對中子輸運離散縱標(biāo)法收斂較慢的問題，提出了針對六角形中子輸運離散縱標(biāo)法的CMFD方法，并取得了很好的效果。數(shù)值計算表明，對于參考問題CMFD可取得約16倍的加速效果。

為簡便起見，本文采用柵元平源近似求解離散縱標(biāo)六角形節(jié)塊法來驗證CMFD的加速性能，但為進(jìn)一步提高計算精度，有必要在以后的研究中采用線性源甚至高階源近似。

表4 CMFD加速效果Table 4 CMFD acceleration performance