匡 榮

（萍鄉(xiāng)學(xué)院 工程與管理學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337000）

近年來(lái)，大學(xué)課堂中數(shù)學(xué)文化的教學(xué)與傳播越來(lái)越受到重視。如南開大學(xué)的顧沛教授在2001年開設(shè)了“數(shù)學(xué)文化”選修課，旨在提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。吉林大學(xué)的李輝來(lái)教授以及北京航空航天大學(xué)的李尚志教授也分別于2002 年、2006 年開設(shè)了有關(guān)數(shù)學(xué)文化的課程。此后，越來(lái)越多的高校也開設(shè)了與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的課程，越來(lái)越多的老師開始研究數(shù)學(xué)文化。相比較而言，在高職高專高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)較差、課時(shí)量相對(duì)較緊，數(shù)學(xué)文化的傳播還幾乎是空白空缺。高職高專學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)水平和具備的素養(yǎng)都不高[1]。大部分高職高專的學(xué)生甚至教師對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知不夠全面，認(rèn)為數(shù)學(xué)只是學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)、單純解決數(shù)學(xué)問題的工具，是專升本考試或研究生考試的一門課程，不能從更高層次認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)文化的重要性。教師在高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，也不注重對(duì)教材中的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行挖掘和二次開發(fā)，沒有對(duì)數(shù)學(xué)文化知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和傳播，對(duì)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)也就滿足于夠用即可，點(diǎn)到為止，沒能致力于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的培養(yǎng)[2]。然而，加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程文化因素的挖掘和二次開發(fā)，能有效激發(fā)高職高專學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高高數(shù)課程的學(xué)習(xí)效果。

一、課程二次開發(fā)的概念

教學(xué)過(guò)程中對(duì)課程的二次開發(fā)，最重要的是對(duì)教材的開發(fā)。教材是課程的載體，一門課程的教學(xué)理念、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容都是通過(guò)教材來(lái)進(jìn)行表達(dá)和傳遞。因此，課程的二次開發(fā)，主要是指教師根據(jù)教學(xué)對(duì)象的區(qū)別，按照自己的教學(xué)理念，在靈活對(duì)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上對(duì)教學(xué)內(nèi)容（主要是教材內(nèi)容）適度地予以調(diào)整、增刪和加工，并合理開發(fā)和補(bǔ)充其他教學(xué)材料，從而使之能夠更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和教師的教學(xué)要求。課程二次開發(fā)的過(guò)程是以教材為依托，但又超越教材本身。具體做法包括以下三種，一是創(chuàng)造性的運(yùn)用既有教材，重點(diǎn)體現(xiàn)在對(duì)教材內(nèi)容的挖掘和選擇等方面；二是對(duì)其他教學(xué)資料進(jìn)行選擇、優(yōu)化和整合；三是通過(guò)自主開發(fā)其他的教學(xué)資源，延伸課程的廣度和深度[3]。高職高專高等數(shù)學(xué)課程文化因素的二次開發(fā)，也需依托現(xiàn)有的教材，充分挖掘數(shù)學(xué)文化因素，加以引申和歸類，達(dá)到豐富學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)，提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的目的。

二、高等數(shù)學(xué)課程文化因素二次開發(fā)的意義

（一）能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神

當(dāng)前，高職高專學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)較差，對(duì)數(shù)學(xué)課程多有畏難情緒，對(duì)數(shù)學(xué)這門科學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法普遍缺乏較全面的理解[4]。如果老師在授課時(shí)照本宣科地按照大綱要求將知識(shí)點(diǎn)一一講授，勢(shì)必使大多數(shù)學(xué)生望而卻步，對(duì)數(shù)學(xué)這門課程失去信心和興趣。因此，教師對(duì)教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化因素進(jìn)行提煉整合、二次開發(fā)就顯得非常必要。數(shù)學(xué)文化具有三方面的特征，一是豐富的美學(xué)特征，以至于被稱為科學(xué)美的皇后；二是數(shù)學(xué)語(yǔ)言是傳播人類思想的重要載體，具有明確、簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)；三是數(shù)學(xué)文化是自然與人之間的樞紐，也是社會(huì)與人之間的樞紐，數(shù)學(xué)一直是解決科技問題和社會(huì)問題的關(guān)健[5]。基于以上特征，對(duì)課程中數(shù)學(xué)文化的挖掘與開發(fā)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神。

數(shù)學(xué)文化與其他文化有著密切的聯(lián)系。如音樂的樂譜是可以通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)標(biāo)示，文學(xué)作品中的詩(shī)詞，生物、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等學(xué)科中的標(biāo)數(shù)和計(jì)算，都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)。通過(guò)對(duì)這些數(shù)學(xué)文化因素的提煉挖掘、二次開發(fā)，可以有效地把數(shù)學(xué)課程中抽象、低效、靜態(tài)的學(xué)習(xí)情境，轉(zhuǎn)化為形象、高效、動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)情境，從而有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，數(shù)學(xué)還是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，其所蘊(yùn)含的求真、求實(shí)、創(chuàng)新等科學(xué)精神一直是人們所追求的。沒有數(shù)學(xué)家的堅(jiān)持不懈、追求真理的科學(xué)精神，也就不可能有如今科技的不斷發(fā)展。在教學(xué)中教師可將科學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生樹立一種求真、求實(shí)等科學(xué)精神。如在講解微積分時(shí)，可以結(jié)合其曲折的發(fā)展史，講述牛頓與萊布尼茨創(chuàng)立了微積分后，由于只給出計(jì)算，推導(dǎo)不嚴(yán)謹(jǐn)，理論基礎(chǔ)不牢靠，因而遭到了英國(guó)大主教貝克萊針對(duì)其求導(dǎo)過(guò)程中的無(wú)窮小的模糊展開的百般責(zé)難，引發(fā)二次數(shù)學(xué)危機(jī)。危機(jī)后，包括柯西、維爾斯特拉斯在內(nèi)的數(shù)學(xué)家們?cè)诮酉聛?lái)的200 年里通過(guò)不懈的鉆研，才逐步建立了牢固的微積分基礎(chǔ)理論。通過(guò)以上數(shù)學(xué)文化知識(shí)的挖掘，普及了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的背景和過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生求真、求實(shí)、創(chuàng)新的科學(xué)精神。

（二））能有效解決高職高專課時(shí)量緊、不能開出新課的問題

高職高專院校學(xué)生在校學(xué)習(xí)時(shí)間一般為三年，在教學(xué)計(jì)劃安排過(guò)程中，總體上覺得時(shí)間較緊，要安排的課程多，很難開出專門的數(shù)學(xué)文化類課程。因此，加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程文化因素的二次開發(fā)就顯得尤為重要。教師結(jié)合數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用等知識(shí)，通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容的挖掘、整合和提煉，可以開發(fā)、歸納出眾多數(shù)學(xué)文化專題知識(shí)。在教學(xué)實(shí)踐中，教師再將這些知識(shí)融入到教學(xué)內(nèi)容中進(jìn)行講授，有效地解決課時(shí)量緊、不能開出專門的數(shù)學(xué)文化課程的問題。

三、 高等數(shù)學(xué)課程文化因素二次開發(fā)的探索與實(shí)踐

（一）教師在高等數(shù)學(xué)課程文化因素二次開發(fā)中的角色實(shí)現(xiàn)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于教師教學(xué)任務(wù)重且部分教師觀念陳舊，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授大多是填鴨式的灌注。此時(shí)教師成了教材內(nèi)容的復(fù)述者，照本宣科的“教書匠”。同時(shí)，由于數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容理論性太強(qiáng)，部分教師的教學(xué)與實(shí)際生活脫節(jié)嚴(yán)重，造成學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥乏味，從而缺乏興趣，導(dǎo)致上課沒有活力。這種現(xiàn)象在高職高專中尤其如此。針對(duì)這種情況，教師要更新教學(xué)理念，轉(zhuǎn)換教學(xué)模式，變換教學(xué)角色。教材是教師開展課堂教學(xué)的重要依據(jù)。教材中篇章的順序安排，例題的選擇，甚至課后練習(xí)的選擇都是經(jīng)過(guò)教材編寫者反復(fù)論證、深思熟慮而形成的。因此，高職高專的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師作為課堂實(shí)施者，首先是要吃透教材，深刻領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖。在理解編寫意圖的基礎(chǔ)上，針對(duì)不同的教學(xué)對(duì)象，教師需要變通處理教材的方式。從數(shù)學(xué)文化的角度對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)，根據(jù)教學(xué)對(duì)象和教學(xué)情境，適度對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行增減和調(diào)整，是行之有效的變通使用數(shù)學(xué)教材方法之一。教師通過(guò)對(duì)教材數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的積極開發(fā)和優(yōu)化整合，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程的認(rèn)知，從而有效提高他們對(duì)數(shù)學(xué)這門課程的興趣。其次，在教學(xué)手段上充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)，將黑板板書與多媒體有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，借助多媒體將數(shù)學(xué)課程文化合理、有效地開發(fā)。

高等數(shù)學(xué)課程文化因素二次開發(fā)的基本理念不僅僅是簡(jiǎn)單地“教數(shù)學(xué)文化”,更是“用數(shù)學(xué)文化教”，即從數(shù)學(xué)文化的角度對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)和處理?；诖?，在課程教材數(shù)學(xué)文化二次開發(fā)方面，教師必須從消極的課程實(shí)施者轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極的課程數(shù)學(xué)文化開發(fā)者[6]。他們必須掌握豐富的數(shù)學(xué)史知識(shí)，深刻領(lǐng)會(huì)真正的數(shù)學(xué)思想和精神，了解一些數(shù)學(xué)家的奇聞異事，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明故事，等等。更重要的是，他們要通過(guò)課堂將這些知識(shí)傳遞給學(xué)生，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（二）學(xué)生也是高等數(shù)學(xué)課程文化因素二次開發(fā)的主體

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)授課模式，大多是教師在講臺(tái)上一味地講，學(xué)生在下面興趣索然地聽，學(xué)生在課堂上不能積極地反饋信息。教學(xué)中缺乏學(xué)生的主動(dòng)參與，以“學(xué)生為中心”的理念就沒有得到實(shí)施，教學(xué)效果也就會(huì)大打折扣。因此，學(xué)生也該是課程實(shí)施的主體，他們同樣可以從文化因素的層面對(duì)高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)行二次開發(fā)，從而也成為教材文化因素二次開發(fā)的主體。教材是教師和學(xué)生對(duì)話和交往的重要介質(zhì)。學(xué)生參與高等數(shù)學(xué)課程文化因素二次開發(fā)過(guò)程，實(shí)際上是他們作為課程和教材實(shí)施主體的一種實(shí)踐。他們通過(guò)積極參與課程二次開發(fā)，使自己由被動(dòng)地參與變成主動(dòng)的“作為”，從而激發(fā)他們對(duì)課程本身的興趣，以致產(chǎn)生正面的、積極的效應(yīng)。

學(xué)生作為高等數(shù)學(xué)課程“二次開發(fā)”的主體之一，意味著他們從課程的被動(dòng)接受者變?yōu)橹鲃?dòng)參與者, 可以根據(jù)課程的目標(biāo)以及自身的需要,和教師一起對(duì)教材進(jìn)行再開發(fā)。學(xué)生參與教材的二次開發(fā)，其重點(diǎn)不僅僅在于理解和吸收教材中的知識(shí)，還要對(duì)教材中的數(shù)學(xué)文化也進(jìn)行挖掘和整合，這樣才能從更深的層次掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和原理。他們需要站在教材開發(fā)者的角度進(jìn)一步評(píng)估教材、認(rèn)識(shí)教材，梳理教材中的文化因素。這種全新的視角能促使他們“換位思考”，進(jìn)一步激發(fā)他們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的積極性和主動(dòng)性[7]。

（三）高等數(shù)學(xué)課程文化因素二次開發(fā)的方法與技巧

首先，教材的選擇非常重要。誠(chéng)然，優(yōu)秀的高等數(shù)學(xué)教材并不少，但現(xiàn)行的高職高專的高等數(shù)學(xué)教材在編寫和內(nèi)容組織中過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、抽象性、完備性、嚴(yán)密性和技巧性，忽視了數(shù)學(xué)課程文化因素。由于缺少文化因素，缺乏美感、缺少活力，學(xué)生解答完數(shù)學(xué)題后，并未深化其對(duì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新性和探究性的理解。在他們印象中只留下一些應(yīng)試的技巧，未知數(shù)和符號(hào)搭建的骨架以及枯燥的理論。所以教師選教材時(shí)，首先要選擇那些數(shù)學(xué)文化因素較豐富的教材，即選擇那些有應(yīng)用知識(shí)的閱讀材料，或應(yīng)用實(shí)例較多、能將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想方法融入例題的教材。比如，在導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)以及微分方程等教學(xué)內(nèi)容中，便可穿插數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容。另外可以選擇在特定章節(jié)后附上適量數(shù)學(xué)文化方面閱讀材料的教材，如數(shù)學(xué)問題的歷史背景、數(shù)學(xué)家的治學(xué)故事、數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)例等材料。

其次，要充分挖掘高等數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化資源。大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材是按照嚴(yán)密的邏輯推理的原則以及逐步推進(jìn)的順序編寫的，沒有過(guò)多的文化色彩。這就要求教師對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)，挖掘和提煉教材中的數(shù)學(xué)文化。如：在運(yùn)用微分方程求解出懸鏈線的時(shí)候，可以聯(lián)系生活實(shí)際，舉例說(shuō)明我們所見所聞的懸鏈線。通過(guò)解懸鏈線方程，我們知道兩電線桿之間的電線就是懸鏈線。此外，放飛天空的風(fēng)箏線、夜間蜘蛛吐出的蜘蛛絲、美國(guó)密蘇里州1965 年建成的圣路易斯大拱門的拱線、我國(guó)浙江紹興的清代石拱橋等等，都是懸鏈線。甚至連大家小時(shí)候吹過(guò)的肥皂泡都與懸鏈線有關(guān)——實(shí)際上肥皂膜就是懸鏈線繞一條軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體。盡管如今我們知道以上平日里隨處可見的曲線都屬于懸鏈線的范疇，但在德國(guó)大數(shù)學(xué)家萊布尼茨給出懸鏈線方程證明前，它們竟然一直被誤以為是拋物線。其后年僅24 歲的瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利也證明了懸鏈線的有關(guān)問題，長(zhǎng)期以來(lái)的錯(cuò)誤觀點(diǎn)才得以否定。通過(guò)輔以故事與實(shí)例，學(xué)生們才會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)是多么的神奇而有趣。

最后，在授課中，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要嵌入合適的數(shù)學(xué)文化知識(shí)。數(shù)學(xué)一直以來(lái)都被認(rèn)為是一門條理嚴(yán)謹(jǐn)、思維縝密、邏輯性強(qiáng)的學(xué)科。因此學(xué)生在聽課過(guò)程中，必須集中思想，跟上教師的思維，才可能真正學(xué)進(jìn)去。教師在授課過(guò)程中不能拘泥一種形式，要變通方式加以引導(dǎo)，如適當(dāng)嵌入名人數(shù)學(xué)典故等文化知識(shí)，使學(xué)生能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想，激發(fā)他們自主探索的精神。在教學(xué)實(shí)踐中可以使用以下兩種不同的方式對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行穿插。一是以實(shí)驗(yàn)輔助教學(xué)。如講到蒲豐投針問題（Buffon’s needle problem）時(shí)，可以在教學(xué)過(guò)程中安排學(xué)生親身體驗(yàn)著名的蒲豐投針實(shí)驗(yàn)。18 世紀(jì)末，年逾古稀的蒲豐在家宴請(qǐng)賓客時(shí)做了一個(gè)投針實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，在等距的平行線間隨機(jī)投長(zhǎng)度為平行線間距半長(zhǎng)的針，針與平行線相交次數(shù)與總的投針次數(shù)之比竟然正好是圓周率的近似值！同時(shí)他還提出投擲的次數(shù)越多，求出的圓周率近似值越精確。為了使同學(xué)們能夠自主探索，增強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐的能力，在課堂上，可將學(xué)生分為了幾組，每組設(shè)定不同的投擲次數(shù)，用事先提醒其準(zhǔn)備好的畫了等距平行線的白紙與平行線間距半長(zhǎng)的牙簽，驗(yàn)證蒲豐投針的結(jié)果。在結(jié)論得出后，再運(yùn)用概率論和微積分對(duì)其進(jìn)行證明。此舉能有效地提高學(xué)生的興趣和教學(xué)的效果。二是以背景豐富課堂。在進(jìn)行歐拉公式的講解時(shí)，可以講述其發(fā)明者歐拉的治學(xué)精神和對(duì)科學(xué)的貢獻(xiàn)。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）出生于瑞士，數(shù)學(xué)中常常可見以他的名字命名的定理、公式等，如初等幾何的歐拉線，連接自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e 與圓周率π、虛數(shù)單位i 與自然數(shù)單位1 的歐阿恒等式，幾何學(xué)中的廣義歐拉公式等（eix=cosx+isinx,eπi+1=0,V+F-E=2）。杰出如他，卻在28 歲淪為獨(dú)眼，56 歲又患白內(nèi)障以致徹底雙目失明，但他卻在病痛下一直堅(jiān)持著包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的眾多領(lǐng)域的科學(xué)研究，直至逝世。在歐拉的時(shí)代里，他的研究涉及當(dāng)時(shí)幾乎所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域。據(jù)統(tǒng)計(jì)：他一生中寫了427 本著作，866 篇論文[8]，無(wú)愧其“最多產(chǎn)”的數(shù)學(xué)家之名。通過(guò)講述歐拉的有關(guān)背景知識(shí)，不但充實(shí)了課堂內(nèi)容并加深了學(xué)生印象，其鍥而不舍的鉆研精神也有助于進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)生繼續(xù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。