浙江省湖州市第五中學(xué) (郵編：313000)

1 關(guān)注基本概念，注重數(shù)學(xué)理解

尊重教材，理解教材，以教材為依據(jù)設(shè)計試題.一可以充分發(fā)揮課本例習(xí)題的典型性、代表性和科學(xué)性的作用；二可以導(dǎo)引當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)方向，是克服題海戰(zhàn)術(shù)和極端功利主義的有效策略.通過教材或配套作業(yè)本中典型和具有代表性的例習(xí)題的直接引用、改編或引申而成的試題，讓學(xué)生既熟悉又陌生，有效地與課本對接，考查對數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

圖1

例1如圖1，AB∥CD,BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB,AD過點P,且與AB垂直.若AD=8，則點P到BC的距離是( )

A．8 B．6 C．4 D．2

評注本題深入發(fā)掘課本中角平分線的性質(zhì)定理，通過隱含條件“點P到BC的垂線段”這橋梁，添輔助線得到AP=PD,從而解決問題.很好地考查了學(xué)生對角平分線相關(guān)知識的理解、掌握和靈活運用的程度.

圖2

例2如圖2，圓O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，∠A=25°. 過點C作圓O的切線，交AB的延長線于點D，則∠D的度數(shù)是( )

A．25° B．40° C．50° D．65°

評注本題深入發(fā)掘課本中切線的定義，90°的圓周角所對的弦是直徑來解決問題，背景來源于課本，突出課堂教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成過程和理解概念本質(zhì)的重要性，對教學(xué)有很好的指導(dǎo)作用.

2 貼近生活實際，突出時代氣息

以社會熱點、旅游、農(nóng)業(yè)、校園拓展類課程、社會養(yǎng)老問題為背景設(shè)計數(shù)學(xué)問題，考查知識點分別為圖形的對稱、科學(xué)計數(shù)法、反比例函數(shù)、統(tǒng)計、方程和函數(shù)建模思想等數(shù)學(xué)知識和方法解決實際生活問題.既充滿時代氣息，關(guān)注社會經(jīng)濟發(fā)展，又較好地反映了數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活的宗旨.

例3為了迎接杭州G20峰會，某校開展了設(shè)計“YJG20”圖標(biāo)的活動．下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

評注本題以在杭州召開的杭州G20峰會為背景，考查了圖形對稱這一知識點，突出了時代氣息，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時也能關(guān)注時政熱點.

例4隨著某市養(yǎng)老機構(gòu)(養(yǎng)老機構(gòu)指社會福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等)建設(shè)穩(wěn)步推進，擁有的養(yǎng)老床位數(shù)不斷增加.

(1)該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2013年底的2萬個增長到2015年底的2.88萬個.求該市這兩年(從2013年底到2015年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；

(2)若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間(1個養(yǎng)老床位)，雙人間(2個養(yǎng)老床位)，三間(3個養(yǎng)老床位).因?qū)嶋H需要,單人間房間數(shù)在10至30之間(包括10和30)， 且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍.設(shè)規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t.

①若該養(yǎng)老中心建成后可提供養(yǎng)老床位200個，求t的值；

②求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個？最少提供養(yǎng)老床位多少個？

評注本題隨著社會老齡化日趨嚴(yán)重，養(yǎng)老問題已成社會重大民生問題之一.以湖州市養(yǎng)老機構(gòu)的實際情況為背景，以及近幾年湖州市每千名老人擁有的養(yǎng)老床位每年增長的情況命制.數(shù)據(jù)具有真實性和可靠性，考查了學(xué)生的閱讀素養(yǎng).通過對一元一次方程、一元二次方程、一次函數(shù)增減性等知識點和建模等思想方法解決實際問題的考查，意在檢測學(xué)生閱讀分析能力和解決問題的能力.

3 滲透PISA理念，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)以致用是學(xué)生學(xué)習(xí)的驅(qū)動力，只有學(xué)生真切感受到知識的應(yīng)用價值，才能主動有效地學(xué)習(xí).本題的取材內(nèi)容貼近學(xué)生生活實際，使學(xué)生深刻感受到課堂上所學(xué)知識的實用性，體會到所學(xué)知識具有巨大的實際意義.

圖3

圖4

例5圖3是我們常用的折疊式小刀．圖4中刀柄外形是一個矩形挖去一個小半圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動刀片時會形成圖4所示的∠1與∠2，則∠1與∠2的度數(shù)和是度.

評注試題蘊含著PISA理念：

一是含有“情境”，讓每個學(xué)生都能參與到數(shù)學(xué)化過程中；二是關(guān)注運用，以學(xué)生熟悉的小刀片為背景，提煉出圖形編制而成.

題中的“動中有靜”,生活氣息濃厚，但對知識點的考查又很簡單.刀片轉(zhuǎn)動中，∠1與∠2的度數(shù)和是一個定值.表面上此題僅僅考查了平行線的性質(zhì)；實際上重點考查了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決問題的能力.并鼓勵學(xué)生關(guān)注和熱愛生活，善于利用數(shù)學(xué)思維來解決問題.

A．命題(1)與命題(2)都是真命題

B．命題(1)與命題(2)都是假命題

C．命題(1)是假命題，命題(2)是真命題

D．命題(1)是真命題，命題(2)是假命題

點評大家知道，數(shù)學(xué)的6個核心素養(yǎng)是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.本題通過閱讀提煉和抽象出“派生函數(shù)”的定性性質(zhì)：圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)和“派生函數(shù)”的定量性質(zhì)：圖象都經(jīng)過同一點(0,0)是解決本問題的關(guān)鍵.試題難度不大，但卻是考查學(xué)生核心素養(yǎng)的一種較好的嘗試.

例7已知四個有理數(shù)a、b、x、y同時滿足以下關(guān)系式：b>a，x+y=a+b，y-x

點評初看題目，認(rèn)為四個有理數(shù)的大小比較應(yīng)該不會困難，通過嘗試發(fā)現(xiàn)試題內(nèi)涵豐富，解法眾多，是一道值得研究的好題.

4 探究動態(tài)問題，感受數(shù)學(xué)之美

動點問題年年有，我們翻看大多數(shù)的動點問題，一般都是點動牽引線動或點、線的動帶動局部形狀發(fā)生變化，下面的三類原創(chuàng)動點問題是通過折疊、平移、旋轉(zhuǎn)的方法呈現(xiàn)的.目的是讓考生通過“動中有靜”的探究，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法,凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)，試題的“動”較有特色.

圖5

圖6

圖7

例8如圖5，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7.如圖6，在底邊BC上取一點D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD.如圖7，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED.則BE的長是

評注試題緊緊圍繞著“四基”：基礎(chǔ)知識，基本技能，基本思想方法，基本活動經(jīng)驗.主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的本質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形勾股定理.如果注意觀察，挖掘出隱含著圓，則容易證得AC∥BE，這對問題的求解是事半功倍的.

這類試題屢見不鮮，它既可以考查學(xué)生動手探索數(shù)學(xué)問題的能力，又能考查數(shù)學(xué)思維能力.該問題通過折疊這一熟悉的問題背景，將特殊三角形，平行四邊形等相關(guān)知識有機地串聯(lián)，讓學(xué)生經(jīng)歷操作——觀察——探究——計算的活動過程，在準(zhǔn)確理解操作過程，分析操作結(jié)果獲得數(shù)學(xué)知識.本問題是選取了這類折疊問題中的一個特殊位置來考查學(xué)生對折疊過程中圖形本質(zhì)的理解.在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這類問題的解決策略的同時，還可以借助此類問題的背景，進行變式探究.例如：

變式一在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7.在底邊BC上取一點D，連結(jié)AD.將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，使得△ACF為直角三角形.求CD的長.

圖8

圖9

變式二在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7.在底邊BC上取一點D，連結(jié)AD.將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，使得△CDE為直角三角形.求CD的長.

圖10

圖11

變式三在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7.在底邊BC上取一點D，連結(jié)AD.將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，使得△ACD是等腰三角形.求BE的長.

圖12

圖13

以上問題構(gòu)成了一個問題串，通過這樣一個問題串的研究，可以進一步探究發(fā)現(xiàn)，上述翻折問題的本質(zhì)是一個點在圓上的運動的特殊位置.即以點E在點A為圓心，AC為圓心的圓上運動，以及∠CAE的角平分線AD之間所構(gòu)成的位置和數(shù)量關(guān)系.

該題需要用動態(tài)的眼光分析，解決問題的靈活思維能力體現(xiàn)了新課程所倡導(dǎo)的動手實踐自主探索的學(xué)習(xí)方式，同時該題在初中階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，有意識地給學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做了一個較好的準(zhǔn)備和鋪墊，有效地與立體幾何在數(shù)學(xué)思維上進行了銜接，起到了橋梁延伸的作用.無獨有偶，2016年浙江高考理科卷中第14題，實質(zhì)上也是對這類折疊問題在空間上的探究，在初中階段的平面范圍內(nèi)與高中數(shù)學(xué)空間范圍內(nèi)，兩題呈現(xiàn)出“姐妹題”，是一次奇妙的高考題與中考題的偶遇，產(chǎn)生了遙相呼應(yīng)的同頻效果.

圖14

變式四(2016年浙江理科高考題)在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值是.

圖15

例9已知點P在一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù)，且k<0，b>0)的圖象上，將點P向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到點Q，點Q也在該函數(shù)y=kx+b的圖象上.

(1)k的值是；

評注本題的動中有靜是直線無論上下或左右平移，其中的待定系數(shù)k是不變的.本問題的設(shè)置較好地詮釋了k的幾何意義.通過設(shè)點P為(0,b)，根據(jù)點P的平移，得到平移后的點為(-1，b+2)仍在直線y=kx+b上，可得：b+2=-k+b，從而求出k=-2.在這里很好地為考生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下伏筆.

圖16

圖17

圖18

例10數(shù)學(xué)活動課上，某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD(∠BAD=120°)進行探究： 將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F(xiàn)(不包括線段的端點).

(1)初步嘗試

如圖16，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；

(2)類比發(fā)現(xiàn)

如圖17，若AD=2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求證：AE=2FH；

(3)深入探究

總而言之，由于試題兼顧畢業(yè)與升學(xué)兩重功能，因此數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容和主要思想方法是考查的重點，基礎(chǔ)性和常規(guī)性是試題的主體.大部分試題來源于課本例習(xí)題和浙江省教研室編寫的作業(yè)本改編而成的.試題從學(xué)科知識特點、學(xué)科思想方法和初高中銜接三個維度出發(fā)，加強對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)、學(xué)習(xí)潛能和思想方法的考查.同時，重視滲透數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化、PISA教育理念等.試題呈現(xiàn)形式多姿多彩，既要富有時代氣息的正能量，又要蘊含豐富數(shù)學(xué)內(nèi)涵創(chuàng)新思想.因此試卷的基礎(chǔ)性、思想性、時代性、人文性、應(yīng)用性、探究性、銜接性必須兼顧，試題設(shè)計必須：梯度明顯、難度適中，目的使不同層次的考生發(fā)揮出自己的真實的水平.因此,中考復(fù)習(xí)要重視回歸課本，關(guān)注思想方法，強化應(yīng)用意識，突出發(fā)展能力.