夏毅敏，李正光，羅建利，曾桂英，馬劼嵩

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083；3.中國(guó)鐵建重工集團(tuán)有限公司，湖南 長(zhǎng)沙，410100)

全電腦鑿巖臺(tái)車是一種集機(jī)械、電子、液壓等多學(xué)科技術(shù)于一體的隧道施工設(shè)備。與傳統(tǒng)鑿巖設(shè)備相比，全電腦鑿巖臺(tái)車能有效控制超挖量[1]，降低因地質(zhì)原因引起的施工事故，保障工作人員的施工安全。在施工過程中，關(guān)鍵技術(shù)之一是釬桿的快速準(zhǔn)確定位。釬桿的自動(dòng)定位精度和定位速度經(jīng)常出現(xiàn)不滿足工程實(shí)際需求的情況，嚴(yán)重影響了隧道施工效率和施工質(zhì)量。目前，鑿巖臺(tái)車在進(jìn)行釬桿定位時(shí)的研究主要包括運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差分析和誤差補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆解2部分。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)鑿巖臺(tái)車的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究較多，如：JIANG等[2-3]在求解6r-2p鑿巖臺(tái)車的逆解時(shí)，為避免求解非線性系統(tǒng)，改變關(guān)節(jié)輸入條件，計(jì)算過程不涉及數(shù)值迭代和操縱矩陣；WANG等[4]利用對(duì)偶四元數(shù)法替代DH法進(jìn)行建模，對(duì)六自由度鑿巖臺(tái)車進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解；何清華等[5]建立了多關(guān)節(jié)鉆臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，根據(jù)鉆臂的實(shí)際工作特點(diǎn)和工作范圍提出了一種求逆解的方法；周友行等[6]提出了一種基于運(yùn)動(dòng)軌跡的求解多關(guān)節(jié)冗余機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方法。上述研究均未充分考慮鑿巖臺(tái)車臂架運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差的影響，并且未分析存在誤差時(shí)的逆解計(jì)算方法。為此，本文作者借鑒工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償研究[7-10]和遺傳算法在工程中的應(yīng)用[11-14]，以DH法建立臂架正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過計(jì)算臂架動(dòng)態(tài)誤差和靜態(tài)誤差，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償模型；在進(jìn)行釬桿定位時(shí)，采用多種群遺傳算法，結(jié)合無(wú)誤差補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解結(jié)果、移民算子和人工選擇算子，計(jì)算誤差補(bǔ)償模型逆解，保證鑿巖臺(tái)車釬桿的定位精度和速度。

1 釬桿定位方法

1.1 臂架結(jié)構(gòu)

全電腦鑿巖臺(tái)車臂架包括6個(gè)回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和2個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)，釬桿安裝在推進(jìn)梁上，其主要結(jié)構(gòu)如圖1所示。

1.2 釬桿定位方法

影響鑿巖臺(tái)車釬桿位姿誤差的主要因素分為動(dòng)態(tài)誤差和靜態(tài)誤差，其中，動(dòng)態(tài)誤差包括外力、慣性力等導(dǎo)致的彈性變形和振動(dòng)誤差，靜態(tài)誤差包括結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差、環(huán)境因素(溫度、磨損)導(dǎo)致的尺寸誤差和傳感器誤差等。

在給定釬桿末端位姿情況下，可以根據(jù)無(wú)誤差正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型求逆解得到對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)變量(角度和距離)，并將其作為計(jì)算臂架動(dòng)態(tài)誤差、靜態(tài)誤差的輸入值和釬桿誤差補(bǔ)償模型求逆解的初始搜索值。同時(shí)，為保證計(jì)算速度和計(jì)算精度，預(yù)先設(shè)定迭代次數(shù)，通過MPGA算法對(duì)各關(guān)節(jié)值不斷搜索和誤差補(bǔ)償，得到臂架優(yōu)化關(guān)節(jié)值，使釬桿達(dá)到期望位姿。根據(jù)所提的研究思路，對(duì)釬桿定位問題進(jìn)行研究，具體研究路線如圖2所示。

圖1 鑿巖臺(tái)車臂架結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Boom structure of rock-drilling jumbo

圖2 鑿巖臺(tái)車釬桿定位研究Fig.2 Positioning research on drill rod for rock-drilling jumbo

2 釬桿運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償模型

2.1 釬桿無(wú)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

本文只對(duì)錨桿油缸固定的一般工況進(jìn)行討論，即錨桿關(guān)節(jié)為過渡關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)角恒為0°。由于DH法屬于參數(shù)建模方法，坐標(biāo)系需要建立在關(guān)節(jié)軸的延長(zhǎng)線上，因此，需在不改變運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)果的前提下對(duì)部分坐標(biāo)系進(jìn)行位姿變換。根據(jù)鑿巖臺(tái)車結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，將推進(jìn)梁回轉(zhuǎn)坐標(biāo)系原點(diǎn)o6沿關(guān)節(jié)軸z6移動(dòng)距離d6至x7o7z7平面，將錨桿坐標(biāo)系o7沿關(guān)節(jié)軸x7移動(dòng)距離a6至y8o8z8平面。臂架D-H參數(shù)如表1所示，臂架運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖3所示。

圖3 釬桿正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.3 Forward kinematics model of drill rod

將參數(shù)代入關(guān)節(jié)坐標(biāo)變換矩陣，得

所得臂架正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

式中：i表示第i個(gè)關(guān)節(jié)；C(θi)=cos(θi)；S(θi)=sin(θi)；P=[px,py,pz]，為釬桿位置矩陣；R=[n,o,a]，為釬桿的姿態(tài)矩陣。

式中：S24=sin(θ2+θ4) ；C24=cos(θ2+θ4)；Si=sin(θi)；Ci=cos(θi)。在實(shí)際施工過程中，為了隨時(shí)觀察鑿巖機(jī)的工作情況，需要在臂架孔序規(guī)劃后先確定推進(jìn)梁回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)θ6，共0°，90°，180°和270°這4種工況。

根據(jù)臂架正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)，得

表1 臂架DH參數(shù)Table 1 DH parameters of boom

為防止出現(xiàn)分母為0導(dǎo)致計(jì)算溢出，將運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆解分為S24≠0的一般工況和S24=0的特殊工況。

2.1.1 一般工況求解

當(dāng)S24≠0時(shí)，

在一般工況下，運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的求解順序?yàn)棣?→θ5→d8→d3→θ2→θ4。

2.1.2 特殊工況求解

當(dāng)S24=0時(shí)，C24=-1。由于數(shù)值解不封閉，有多組解，故先給定大臂伸縮關(guān)節(jié)d3。

在特殊工況下，運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的求解順序?yàn)棣?→θ4→θ5→d8→θ1。

2.2 臂架動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償

2.2.1 大臂及推進(jìn)梁動(dòng)態(tài)誤差計(jì)算

將大臂和推進(jìn)梁分別簡(jiǎn)化為一端固定的Bernoulli-Euler梁。臂架等效模型如圖4所示。由于大臂末端到推進(jìn)梁的部件總質(zhì)量超過2 t，大臂末端最大變形達(dá)到0.1 m以上，屬于大撓度變形，經(jīng)典撓度公式不再適用，故重新對(duì)撓度公式進(jìn)行改進(jìn)。

圖4 臂架等效模型Fig. 4 Equivalent model of boom

1) 當(dāng)臂架末端受集中載荷時(shí)，臂架任意一點(diǎn)的扭矩為

式中：Me為臂架末端所受集中扭矩；F為末端所受集中力。xA和zA分別為末端位置x方向和z方向的位移；θA為轉(zhuǎn)角變形；Me和F受推進(jìn)梁重心位置影響，其影響參數(shù)為大臂俯仰值θ2、推進(jìn)梁俯仰值θ4和推進(jìn)梁伸縮值d8。

臂架上任意位置的變形為

式中：z為撓度變形；θ為端截面轉(zhuǎn)角變形；x為軸向變形；E為臂架彈性模量；I為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

經(jīng)計(jì)算，得到臂架末端角度變形為

式中：L為臂架的全長(zhǎng)。綜合式(18)～(20)得

2) 臂架受均布載荷時(shí)，根據(jù)式(19)，令

代入邊界條件s=0，θ=α(其中，α為末端角度變形)，。賦值a0=α，a1=0，得

由式(19)得

式中：

影響臂架撓度和端截面轉(zhuǎn)角的參數(shù)為大臂伸縮值d3、大臂俯仰值θ2、推進(jìn)梁伸縮值d8和推進(jìn)梁俯仰值θ4。其中，主要影響參數(shù)為大臂俯仰值θ2和大臂伸縮值d3。在旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)θ2和移動(dòng)關(guān)節(jié)d3的可變范圍內(nèi)對(duì)大臂變形求解，設(shè)定θ4和d8處于零位，對(duì)2種載荷施加方式進(jìn)行線性疊加，撓度變形Δz和端截面轉(zhuǎn)角Δθ變形結(jié)果分別如圖5和圖6所示。撓度變形Δz分布于0.02～0.12 m之間，端截面轉(zhuǎn)角Δθ分布于0.46°～1.86°之間，變形與大臂長(zhǎng)度成正相關(guān)。大臂軸向變形 Δx較小，數(shù)量級(jí)為10-5～10-4，在實(shí)際誤差補(bǔ)償中可以忽略。推進(jìn)梁動(dòng)態(tài)誤差規(guī)律與大臂的動(dòng)態(tài)誤差規(guī)律相同，但是數(shù)量級(jí)過小，在動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償過程中可忽略。

圖5 大臂撓度變形Fig.5 Deflection of large arm

圖6 大臂端截面轉(zhuǎn)角Fig.6 Cross rotation angle of large arm

2.2.2 臂架動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償

對(duì)大臂移動(dòng)關(guān)節(jié)d3進(jìn)行動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償，在進(jìn)行臂架定位時(shí)，基于無(wú)誤差補(bǔ)償模型求逆解所得各關(guān)節(jié)值，進(jìn)而得到撓度變形Δz和端截面轉(zhuǎn)角Δθ，并將數(shù)值代入傳遞矩陣，變換方式如圖7所示。

圖7 動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償坐標(biāo)變換Fig.7 Coordinate transformation of dynamic error compensation

圖7中，坐標(biāo)系o3先沿x軸移動(dòng)撓度值Δz，再沿y′軸旋轉(zhuǎn)端截面轉(zhuǎn)角 Δθ，變換至坐標(biāo)系，進(jìn)行坐標(biāo)系傳遞變換至。變換關(guān)系為

式中：TΔ為動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償矩陣。

2.3 臂架靜態(tài)誤差補(bǔ)償

基于工業(yè)機(jī)器人離線標(biāo)定方法，利用全站儀和角度儀對(duì)相鄰關(guān)節(jié)軸進(jìn)行距離標(biāo)定和偏轉(zhuǎn)角度標(biāo)定，修正各關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)(α，a，θ，d)。根據(jù)攝動(dòng)微分理論，對(duì)式(1)傳遞矩陣求偏導(dǎo)，得

2.4 釬桿誤差補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

結(jié)合臂架動(dòng)態(tài)誤差和靜態(tài)誤差補(bǔ)償，得到釬桿運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償模型：

3 釬桿誤差補(bǔ)償模型逆解算法

根據(jù)釬桿的期望位姿和建立的鑿巖臺(tái)車釬桿運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償模型，采用多種群遺傳算法(MPGA)對(duì)誤差補(bǔ)償模型求逆解，對(duì)各關(guān)節(jié)變量不斷搜索和誤差補(bǔ)償，計(jì)算各關(guān)節(jié)優(yōu)化值，使釬桿達(dá)到期望位姿。

3.1 釬桿運(yùn)動(dòng)學(xué)MPGA模型

3.1.1 構(gòu)造初始種群

初始種群為MPGA算法的搜索出發(fā)點(diǎn)。本文構(gòu)造的初始種群數(shù)為10個(gè)，每個(gè)種群個(gè)體數(shù)為100個(gè)。設(shè)定每個(gè)關(guān)節(jié)值在個(gè)體的染色體中占據(jù)20個(gè)基因位置，保證算法的求解精度。

3.1.2 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

已知釬桿期望位姿為

式中：Rg為釬桿期望姿態(tài)矩陣；Pg為期望位置矩陣。

將種群中各個(gè)個(gè)體的關(guān)節(jié)值代入臂架運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償模型，得到個(gè)體的當(dāng)前釬桿位姿矩陣：

式中：Rc為釬桿當(dāng)前姿態(tài)矩陣；Pc為當(dāng)前位置矩陣。

構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

式中：ΔR=Rg-Rc，為各種群中個(gè)體的釬桿計(jì)算姿態(tài)和期望姿態(tài)的姿態(tài)誤差； ΔP=Pg-Pc，為釬桿計(jì)算位置和期望位置的位置誤差。

3.1.3 設(shè)計(jì)約束條件

根據(jù)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆結(jié)果，將各旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)角范圍縮減為θi±10°，將各移動(dòng)關(guān)節(jié)距離范圍縮減為di±0.2 m，優(yōu)化了各關(guān)節(jié)變量的搜索范圍，提高了算法的求解速度。

交叉率Pc決定了遺傳算法的全局搜索能力，傳統(tǒng)交叉率Pc取值范圍為0.7～0.9。MPGA采用多點(diǎn)交叉方式，增強(qiáng)了算法搜索能力，避免早熟收斂。

變異率Pm決定了局部搜索能力，傳統(tǒng)Pm取值范圍為0.001～0.050。由于搜索范圍已經(jīng)相對(duì)減小，需要增強(qiáng)局部搜索能力，因此，變異率Pm相對(duì)增大，取Pm為0.05。

3.1.4 構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)

采用輪盤賭法選擇適應(yīng)度高的個(gè)體進(jìn)入下一代，構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)F為

式中：a和b分別為姿態(tài)誤差和位置誤差的權(quán)重系數(shù)。姿態(tài)參數(shù)單位為 rad，位置參數(shù)單位為 m，兩者數(shù)量級(jí)相同。經(jīng)過大量測(cè)試確定權(quán)重系數(shù)為a=1，b=1.5～2.5。

3.1.5 優(yōu)化方案

采用移民算子，打破各種群的獨(dú)立性，將各種群的最優(yōu)個(gè)體引入其他種群，替代其他種群中的最劣個(gè)體，實(shí)現(xiàn)各種群協(xié)同進(jìn)化。

采用人工選擇算子，將每代中最優(yōu)個(gè)體放入精華種群，精華種群不進(jìn)行選擇、交叉和變異等操作，只記錄和更新每一代最優(yōu)種群。

3.2 求解精度分析

給定一組關(guān)節(jié)值(θ1=20°，θ2=-45°，d3=0.4 m，θ4=-15°，θ5=0°，d8=2.0 m)，推進(jìn)梁回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)角θ6和錨桿關(guān)節(jié)角θ7為0°，采用MATLAB進(jìn)行算法編程，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償模型所得到的釬桿位姿計(jì)算 20次逆解。對(duì)比計(jì)算關(guān)節(jié)值和給定關(guān)節(jié)值相對(duì)誤差平均值，結(jié)果如表2所示。旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的相對(duì)誤差遠(yuǎn)小于移動(dòng)關(guān)節(jié)的相對(duì)誤差，兩者相差1個(gè)數(shù)量級(jí)。這是因?yàn)殍弾r臺(tái)車結(jié)構(gòu)尺寸較大，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對(duì)位姿誤差的影響要遠(yuǎn)大于移動(dòng)關(guān)節(jié)的影響。大臂伸縮關(guān)節(jié)d3和推進(jìn)梁伸縮關(guān)節(jié)d8具有明顯互補(bǔ)關(guān)系，可以適當(dāng)提高適應(yīng)度函數(shù)中位置誤差的權(quán)重系數(shù)b，增大移動(dòng)關(guān)節(jié)對(duì)末端位姿的影響。

表2 逆解計(jì)算關(guān)節(jié)值及相對(duì)誤差平均值Table 2 Inverse calculation of joint value and average relative error value

分別選取算法中最快和最慢種群的進(jìn)化過程進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖8所示。MPGA算法在400代內(nèi)使適應(yīng)度達(dá)到0.99以上，求解能力強(qiáng)，收斂速度快，計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定可靠，不會(huì)發(fā)生早熟收斂現(xiàn)象。因此，將算法結(jié)束條件設(shè)置為計(jì)算到第400代種群。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

圖8 MPGA遺傳算法進(jìn)化曲線Fig.8 Evolution curves of MPGA genetic algorithm

圖9 隧道炮眼圖Fig.9 Borehole of tunnel

根據(jù)鑿巖臺(tái)車施工時(shí)的實(shí)際停車位置和炮眼設(shè)計(jì)，給定18組鑿巖臺(tái)車釬桿期望位姿值，期望位姿如圖9所示。其中，圓點(diǎn)位置代表釬桿定位位置，其上引出的線段為釬桿需要達(dá)到的姿態(tài)在掌子面上的投影。設(shè)定直徑為11 m級(jí)隧道掌子面距離鑿巖臺(tái)車大臂橫擺中心距離為12 m，圖示坐標(biāo)系水平向左為y軸，豎直向上為z軸，垂直掌子面向里為x軸。進(jìn)行基于誤差補(bǔ)償模型的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，得到各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)數(shù)值。在車間使用全站儀于大臂橫擺中心設(shè)站，驅(qū)動(dòng)臂架各關(guān)節(jié)至計(jì)算關(guān)節(jié)變量，利用全站儀測(cè)量釬桿位置，測(cè)量結(jié)果如表3所示(其中，[x,y,z]為期望坐標(biāo)，為臂架移動(dòng)后的釬桿實(shí)際坐標(biāo))。

表3 釬桿測(cè)量結(jié)果Table 3 Measuring results of drill rod

對(duì)比測(cè)試位置與期望位置的位置誤差，結(jié)果如圖10所示。從圖10可見：x方向平均誤差為0.031 m，y方向平均誤差為0.028 m，z方向平均誤差為0.029 m，總距離平均誤差為 0.056 m，并且總距離誤差均小于0.100 m，滿足工程實(shí)際定位要求。

圖10 釬桿末端位置誤差Fig.10 End position errors of drill rod

5 結(jié)論

1) 臂架負(fù)載和自重產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)誤差不容忽略，大臂撓度變形范圍為 0.04～0.12 m，端截面轉(zhuǎn)角范圍為0.46°～1.86°；軸向變形數(shù)量級(jí)為10-5～10-4，變形較小。推進(jìn)梁的動(dòng)態(tài)誤差規(guī)律與大臂的動(dòng)態(tài)誤差規(guī)律相同。

2) 針對(duì)工程中全電腦鑿巖臺(tái)車釬桿快速定位問題，提出了一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償模型和MPGA算法求逆解的釬桿定位方法，根據(jù)無(wú)誤差正向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解結(jié)果優(yōu)化各關(guān)節(jié)變量的搜索范圍，結(jié)合移民算子和人工選擇算子，提高算法的求解速度和收斂精度，得到給定位姿下的優(yōu)化關(guān)節(jié)變量。

3) 在車間對(duì)全電腦鑿巖臺(tái)車進(jìn)行釬桿定位試驗(yàn)，根據(jù)釬桿期望位姿矩陣求逆解得到優(yōu)化關(guān)節(jié)變量，驅(qū)動(dòng)臂架各關(guān)節(jié)至對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)變量，實(shí)測(cè)釬桿位置與期望位姿值誤差小于0.100 m，滿足工程實(shí)際定位要求。