薛秋萍

背景描述

專題研究課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型之一，是教學(xué)過程中不可或缺的重要部分。專題復(fù)習(xí)既能夠系統(tǒng)地加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解和記憶，又可以對前面學(xué)習(xí)中遺漏的知識進(jìn)行填補(bǔ)和完善。所以說，高質(zhì)量的專題復(fù)習(xí)課可以促進(jìn)學(xué)生各種能力的發(fā)展。

在以往的觀課中，我發(fā)現(xiàn)很多教師所開設(shè)的專題復(fù)習(xí)課卻是習(xí)題課。課堂上，學(xué)生們埋頭題海，老師也僅是陪練而已。一節(jié)課下來，會做的再做了一遍，不會的仍然不會。那么如何設(shè)計專題復(fù)習(xí)課，讓專題課真正起到應(yīng)有的作用呢？

我在學(xué)生學(xué)習(xí)圖形相似的基礎(chǔ)上，開設(shè)了一堂“動點運動形成有一個大小不變角的三角形的研究”的展示課。教學(xué)的定位是“辨析清楚研究對象，突出方法重選擇，滲透思想提能力”，創(chuàng)新的設(shè)計過程、豐富的學(xué)生活動，催生了精彩的數(shù)學(xué)課堂，取得了良好的教學(xué)效果，受到了觀課老師的一致好評。

過程展示

師生對話辨析對象

（PPT展示）已知，如圖在Rt△ACB中，∠ C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點 P由 B出發(fā)沿 BA方向向點 A勻速運動，速度為 1cm/s;點 Q由 A出發(fā)沿 AC方向向點 C勻速運動，速度為 2cm/s.若 P、Q同時出發(fā)，運動的時間為t（s）（0

大小不變角？生：△APQ，△BCP，△ APC師：為什么要強(qiáng)調(diào)“大小”不變？生：說明跟位置無關(guān)，只要確保大小不變即可。師：本節(jié)課，我們研究的對象就是△APQ，△BCP，△ APC這樣的有一個大小不變角的三角形。合作探究編制問題師：回憶一下，學(xué)習(xí)至今，我們對三角形的研究有哪些內(nèi)容？生：三角形的相似、三角形的現(xiàn)狀（等腰三角形、直角三角形）。師：很好，還有其他補(bǔ)充嗎？生：三角形的面積、周長、三角形的邊、角等。師：現(xiàn)在，我們以△ APQ為研究對象，補(bǔ)充完整問題。在點P、Q在運動過程中，當(dāng) t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形 .（獨立思考、組內(nèi)合作、代表發(fā)言）生：在點P、Q在運動過程中，當(dāng) t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ ABC相似？是直角三角形？是等腰三角形？的面積等于△ ABC面積的一半？ ……

師：同學(xué)們，集合全班智慧，圍繞三角形的邊角及其現(xiàn)狀，編制了非常多的問題。下面請同學(xué)們以小組為單位一起解決上述問題。

梳理知識構(gòu)建方法

師：同學(xué)們在解決上述編制的問題中，你們覺得有困難的是哪個問題？

生：（3）根據(jù)問題△ APQ是等腰三角形，因為不明確哪兩條邊相等，所以我們對△ APQ的邊進(jìn)行分類，但是只會做AP=AQ，其他兩種沒有做出來。

師：很好，請坐。那么其他組有做出來的嗎？

生：我們組過點 P作 PH ⊥ AC，借助相似算出 PH，AH，再求出 QH，進(jìn)而利用勾股定理求出 PQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三邊兩兩相等，構(gòu)建三個方程，從而求出 t的值。

師：這位同學(xué)實質(zhì)是借助代數(shù)方法，先利用勾股定理算出△ APQ的三邊，然后依據(jù)三邊兩兩相等，構(gòu)建三個方程，但是過程比較艱難。有不同的而且更有效的方法嗎？

生：當(dāng) AQ=PQ時，我們組過 Q作 QH ⊥AB，利用等腰三角形三線合一得出 AH，進(jìn)而利用△ AQH ∽△ ABC的比例線段構(gòu)建方程，求出 t的值。當(dāng) AP=PQ，同理可求出t。

師：抓住△ AQP的不變角∠ A，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，尋找相似，構(gòu)建方程，順利解決。非常簡潔，漂亮！

師：請同學(xué)們談?wù)劇敖忸}之道”。

學(xué)生適當(dāng)交流，形成以下共識：解決有一個大小不變角的三角形的相關(guān)問題的時候，抓牢這個不變角，尋找相似或者作垂直構(gòu)建相似來解決。

師：同學(xué)們在解題過程中可謂左右逢源，體現(xiàn)了方法選擇的價值。下面，請同學(xué)們選擇有效的方法解決老師給出一些變式問題，進(jìn)而感悟問題變式的本質(zhì)。

選擇方法感悟變式

（PPT展示）

（1）當(dāng)

t為何值時，PQ ∥BC.

（2）當(dāng)

t為何值時，PQ ⊥BA.（3）如圖，以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，①當(dāng) t為何值時，平行四邊形 AQPD為矩形？②當(dāng) t為何值時，平行四邊形 AQPD為菱形？師：請同學(xué)們談?wù)劷鉀Q以上問題的策略。生：問題（1）（2）先畫圖定位，抓住不變角，易

找到相似三角形，從而求解。（3）利用特殊四邊形的性質(zhì)，很容易得出△ APQ的相關(guān)性質(zhì)。如平行四邊形AQPD為矩形，即 PQ ⊥ AC;平行四邊形 AQPD為菱形，即 PQ=AQ.

師：分析到位，感悟頗深。同學(xué)們在解題過程中，盡量做到以下三點：知識聯(lián)想——性質(zhì)的合理選擇;思路調(diào)控——方向的準(zhǔn)確選擇;思維引領(lǐng)——方法的靈活選擇。

師（結(jié)束語）：本節(jié)課，我們以師生合作交流的方式共同探究了動點運動形成有一個大小不變角的三角形的研究的有關(guān)問題，大家充分地體會到研究問題的一般方法，同時感悟到解決數(shù)學(xué)問題，知識是基礎(chǔ)，思想是靈魂，方法是核心。解決問題時，我們要善用數(shù)學(xué)思想方法作為指導(dǎo)，根據(jù)給出的問題條件，靈活地、恰當(dāng)?shù)剡x擇方法來解決問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，希望同學(xué)會反思會總結(jié)，會探索會研究，以此提高學(xué)習(xí)效果，實現(xiàn)自我夢想和追求。

教學(xué)感悟

以問題編制為主要形式，在問題的設(shè)計中構(gòu)建完備知識網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)大師華羅庚告誡學(xué)生讀書有兩個過程，第一個過程是“由薄到厚”，第二個過程是“由厚到薄”，專題復(fù)習(xí)課就是這里的“薄”，學(xué)生不再是一無所知，而是已經(jīng)知道，且知道得十分精煉。專題復(fù)習(xí)課離不開題，但要把解題和知識梳理結(jié)合起來，為復(fù)習(xí)服務(wù)。

本節(jié)課，筆者在環(huán)節(jié)二設(shè)計了活動——合作探究編制問題，讓學(xué)生在編制問題的同時自行梳理三角形的相關(guān)知識點、提煉方法、滲透思想，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)自我完善和方法體系的自我建構(gòu)。

以解決問題為主要策略，在方法的選擇中提升數(shù)學(xué)解題能力

動點問題的研究要善于“察題觀圖”，依據(jù)研究的圖形特征去靈活地選擇解題方法，進(jìn)而避免計算走彎路。如“在點 P、Q在運動過程中，當(dāng) t為何值時，以點 A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？”的求解過程中，很多同學(xué)利用代數(shù)法把三角形三邊先用 t表示出來，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三邊兩兩相等，構(gòu)建三個方程。這種方法理論上可行，但是由于計算過程過于繁瑣，導(dǎo)致學(xué)生最終半途而廢。歸其原因是學(xué)生形成了代數(shù)法求動態(tài)等腰三角形的思維定勢。其實，觀察△ APQ的變化特點，抓住∠ A的不變性，構(gòu)造相似，這樣思路更自然。

在解題的十字路口，教師要引導(dǎo)學(xué)生停下腳步，細(xì)心觀察研究對象，深思熟慮后，再作出最優(yōu)化的解題的方向。在遇到一題多解時，要引導(dǎo)學(xué)生對方法特點作出恰如其分的評判。在教學(xué)中，教師要給學(xué)生搭建開放性思維平臺，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，促進(jìn)他們相互啟發(fā)，活躍思維，

最終歸納出一些解題的策略。

以問題變式為主要手段，在思想的滲透中培養(yǎng)思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想方法對指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題的作用是不可低估，其培養(yǎng)不是老師在課堂總結(jié)時強(qiáng)調(diào)一下就能輕松實現(xiàn)的，而是需要老師將其無時無刻滲透在解決問題的整個過程中。課堂上，對解題思路的分析、對解題方法的探尋，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用，又要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)價值。對于動點運動形成有一個大小不變角的三角形的研究，其基本思想方法是“統(tǒng)一”，其基本思路是借助相似，將已知條件和待求結(jié)論統(tǒng)一到邊的關(guān)系上或統(tǒng)一到角的關(guān)系上，再借助相關(guān)的公式來解決，或通過作輔助線，構(gòu)造三角形相似，實現(xiàn)問題的“轉(zhuǎn)化”。

在教學(xué)中，筆者根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)特點靈活變式問題，既可以提高學(xué)生對題目的敏感度，又可以幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題和學(xué)習(xí)習(xí)慣。此舉措有效地提高了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，進(jìn)而提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

綜上，專題研究課的有效性研究是一個需要不斷探索、研究和完善的課題，活動過程的設(shè)計、典型例題的精選、問題變式的深遠(yuǎn)、策略方法的總結(jié)等等都是十分重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。因此，教師在上專題復(fù)習(xí)課前，既要圍繞復(fù)習(xí)內(nèi)容的重點和難點，結(jié)合教材內(nèi)容精心設(shè)計教學(xué)活動，以例題為載體展開教學(xué)，進(jìn)而幫助學(xué)生梳理知識結(jié)構(gòu)，建立方法網(wǎng)絡(luò);同時又要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會恰當(dāng)選擇解題方法，引導(dǎo)學(xué)生體會知識的發(fā)生、發(fā)展過程，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。只有這樣，學(xué)生才能脫離題海，走向研究，學(xué)會學(xué)習(xí)，而我們的課堂才會精彩靈動、本真高效。

（太倉市第二中學(xué)）