趙正陽,印興耀,宗兆云

(1.中國石油大學(xué)(華東),山東青島266580;2.海洋國家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室,山東青島266580)

縱波在地下含流體巖石中傳播時會引起巖石孔隙內(nèi)流體的流動,按照尺度的不同,可以將流體的流動大致分為宏觀尺度、微觀尺度和中觀尺度的流動。同時,不同尺度的流體流動都會對縱波的傳播產(chǎn)生影響,使縱波出現(xiàn)衰減和速度頻散現(xiàn)象[1]。

BIOT針對孔隙內(nèi)流體的宏觀流動對彈性波的影響給出了比較完整的論述,形成了一套研究雙相介質(zhì)彈性波傳播問題的Biot理論[2-4]。Biot理論認(rèn)為,當(dāng)彈性波在各向同性均勻多孔介質(zhì)內(nèi)傳播時,孔隙內(nèi)的流體會產(chǎn)生宏觀尺度上的流動。由于流體的慣性作用,使得流體的運(yùn)動速度小于固體的運(yùn)動速度,流體流動的滯后使得流體與固體之間產(chǎn)生了內(nèi)摩擦力,從而導(dǎo)致彈性波的衰減和速度頻散。雖然Biot理論成功預(yù)測了慢縱波的存在,但由于理論假設(shè)的局限性,Biot理論得到的彈性波衰減和速度頻散程度都遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)結(jié)果[5]。

MAVKO等[6]認(rèn)為含流體多孔巖石中還存在一種微觀尺度的噴射流動,且這種流動會造成彈性波更強(qiáng)的衰減和速度頻散。造成流體產(chǎn)生噴射流動的主要原因是當(dāng)彈性波在介質(zhì)內(nèi)傳播時,由于介質(zhì)內(nèi)孔隙可壓縮性的差異,使流體從裂縫中進(jìn)入鄰近孔隙;或由于介質(zhì)部分飽和,使流體進(jìn)入含高壓縮性氣體的孔隙。

對于部分飽和巖石,由于存在局部非均勻性,介質(zhì)內(nèi)部還會存在一種中觀尺度的流體流動。很多學(xué)者都對部分飽和巖石中彈性波的傳播規(guī)律進(jìn)行了研究。White理論詳細(xì)論述了彈性波在具有局部非均勻性的部分飽和模型中的傳播規(guī)律[7-8];DUTTA等[9-10]通過求解Biot方程,分析了White模型內(nèi)的衰減及速度頻散現(xiàn)象;杜偉等[11]構(gòu)建了一個裂隙孔隙介質(zhì),給出了垂直于周期性層狀孔隙介質(zhì)層面?zhèn)鞑サ目v波的頻散方程,再結(jié)合線性滑動裂隙模型推導(dǎo)出垂直于裂隙傳播的縱波的等效介質(zhì)模型;為了研究縱波的耗散過程,SUN等[12]提出了一種飽含兩種不相容流體的3層部分飽和模型;CHEN等[13]通過分析地震波衰減和反射行為,認(rèn)為波致流體流動受多相流體的影響;未晛[14]基于隨機(jī)斑塊飽和孔隙介質(zhì)模型(CRM),建立了改進(jìn)的隨機(jī)斑塊飽和孔隙介質(zhì)模型(MCRM),研究了中觀尺度斑塊飽和對地震波衰減和速度頻散特征的影響。

Biot理論、噴射流機(jī)制和White理論都是從單一尺度流體流動的角度出發(fā),對雙相介質(zhì)內(nèi)的彈性波傳播規(guī)律進(jìn)行研究。但當(dāng)彈性波在地下實(shí)際巖石中傳播時,孔隙內(nèi)流體的流動形式十分復(fù)雜,用單一尺度的流動模型進(jìn)行描述不合理。

DVORKIN等[15]認(rèn)為,當(dāng)縱波在含流體多孔介質(zhì)內(nèi)傳播時,流體的宏觀流動和微觀噴射流動同時存在。他們同時考慮了這兩種尺度的流動,建立了一種統(tǒng)一的一維Biot-噴射流(Squirt)模型(BISQ模型),并推導(dǎo)了縱波相速度和品質(zhì)因子的表達(dá)式,研究了縱波的衰減和速度頻散現(xiàn)象。BISQ模型是一種典型的孔隙彈性理論,很多學(xué)者都以BISQ模型為基礎(chǔ),研究孔隙介質(zhì)內(nèi)流體的宏觀和微觀流動。DIALLO等[16]對BISQ模型進(jìn)行了改進(jìn),重新推導(dǎo)了介質(zhì)內(nèi)的平均流體壓力項(xiàng),使其不含噴射長度;楊頂輝等[17]首先對各向同性介質(zhì)的BISQ模型進(jìn)行了詳細(xì)的回顧,并提出了各向異性介質(zhì)的BISQ模型;杜藝可等[18]以Biot理論為基礎(chǔ),利用平面波分析推導(dǎo)了縱波相速度和衰減因子的解析表達(dá)式,并與BISQ理論進(jìn)行了深入對比;YANG等[19]建立了一個含多相流的黏彈性BISQ模型,研究了低孔低滲條件下的波衰減和速度頻散現(xiàn)象;LIU等[20]對BISQ模型中噴射長度為負(fù)值或具有非零虛部的情況進(jìn)行了研究;楊盈盈等[21]以BISQ模型為基礎(chǔ),改進(jìn)了Pride震電耦合理論,研究了震電耦合波的傳播特性;凌云等[22]將Zener線性體和BISQ模型的作用機(jī)理相結(jié)合,建立了Zener-BISQ模型,研究了縱波在新模型中的衰減和速度頻散現(xiàn)象。

與單一尺度的Biot理論相比,BISQ模型雖然與實(shí)際情況更為吻合,但其仍無法解釋彈性波在地震頻段內(nèi)的衰減和頻散現(xiàn)象。造成彈性波在地震頻段內(nèi)衰減和頻散的主要原因是流體的中觀流動,因此很多學(xué)者將流體的中觀流動與宏觀流動相結(jié)合,研究彈性波在含流體孔隙介質(zhì)內(nèi)的傳播規(guī)律。BA等[23]同時考慮了流體的宏觀流動和中觀流動,建立了一種雙孔模型,推導(dǎo)了該模型的波動方程,研究了雙孔模型中的局部流體流動過程。BA等[24]在雙孔模型的基礎(chǔ)上,考慮了球狀內(nèi)含物內(nèi)部的流體動能,重新推導(dǎo)了模型的波動方程;BA等[25]提出了一種新的雙孔模型,研究了含黏土孔隙的致密粉砂巖中的強(qiáng)速度頻散現(xiàn)象;SONG等[26]提出了有效動態(tài)剪切模量的解析解,并通過分析S波衰減和速度頻散,研究了波致流體流動與剪切模量之間的關(guān)系;BA等[27]建立了一種雙重雙孔模型并推導(dǎo)了模型的控制方程,研究了構(gòu)造和飽和度的非均勻性對彈性波衰減和速度頻散的影響;ZHAO等[28]將White層狀部分飽和模型與雙孔模型相結(jié)合,建立了層狀雙孔模型,研究了縱波的衰減和速度頻散。為了預(yù)測雙孔介質(zhì)中的衰減和速度頻散,ZHENG等[29]推導(dǎo)了一種新的波動方程,并利用解析法求解該方程。很多學(xué)者以雙孔模型為基礎(chǔ),研究了兩種尺度流體流動的共同作用對彈性波反射系數(shù)的影響。DAI等[30]計(jì)算了流體飽和單孔和雙孔介質(zhì)分界面處的反射和透射系數(shù),認(rèn)為反射和透射系數(shù)與頻率和入射角有關(guān)。為了分析波致流體流動對反射系數(shù)的影響,ZHAO等[31]將PRIDE等[32]建立的雙孔模型作為研究背景,計(jì)算了彈性波在模型分界面處的反射和透射系數(shù);賀鵬飛等[33]認(rèn)為P波在半空間自由邊界處的反射系數(shù)與入射角和頻率有關(guān),并利用雙孔介質(zhì)模型理論對這種設(shè)想進(jìn)行了驗(yàn)證。

BISQ理論同時考慮了流體的宏觀流動和微觀噴射流動,雙孔模型將宏觀流動和中觀局部流動相結(jié)合,但目前很少有文獻(xiàn)提到將3種尺度流體流動同時考慮的模型。本文在ZHAO等[28]建立的層狀雙孔模型的基礎(chǔ)上,考慮微觀尺度噴射流的影響,建立含橫向噴射流的層狀部分飽和模型,研究縱波的衰減和速度頻散特性。首先建立含橫向噴射流的層狀部分飽和模型;然后通過求解模型中的平均流體壓力推導(dǎo)波動方程,計(jì)算縱波的相速度和品質(zhì)因子;最后,利用數(shù)值模型分析了3種尺度共同作用下縱波的衰減和速度頻散特性,同時研究了巖石參數(shù)對衰減和速度頻散的影響。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 含橫向噴射流的層狀部分飽和模型

以ZHAO等[28]建立的層狀雙孔模型為基礎(chǔ),引入孔隙內(nèi)流體的橫向噴射流,建立含橫向噴射流的層狀部分飽和模型,如圖1所示。

圖1 層狀部分飽和模型a 周期性層狀部分飽和模型; b 含橫向噴射流的層狀部分飽和模型

WHITE等[8]建立了一個含氣層和含水層交替排列的周期性層狀部分飽和模型,如圖1a所示,圖中h1和h2表示模型每一層的厚度。我們以圖1a中的黑框?yàn)榭v向切面,在周期層狀部分飽和模型中選取一個兩層的圓柱形單元體,如圖1b所示,其中上層介質(zhì)內(nèi)飽含水,下層介質(zhì)內(nèi)飽含氣,X1和X2分別表示單元體第一層的厚度和模型的總厚度。當(dāng)縱波沿圖中黑色箭頭所示方向在模型介質(zhì)內(nèi)傳播時,孔隙內(nèi)的流體會產(chǎn)生宏觀尺度的流動,如圖中藍(lán)色箭頭所示。由于模型上、下兩層介質(zhì)內(nèi)飽含了兩種不同的流體,所以在兩層介質(zhì)間還會產(chǎn)生中觀尺度的局部流體流動,如圖中綠色箭頭所示。在實(shí)際地下巖石中,流體微觀尺度的噴射流動與宏觀尺度的流動同時發(fā)生,所以在模型中再引入垂直于縱波傳播方向的橫向噴射流,如圖1b中的紅色箭頭所示,這樣就在同一個模型中同時考慮了宏觀、微觀和中觀尺度的流體流動。圖1b中的R表示橫向噴射長度,同時表示圓柱形單元體的半徑。

1.2 波動方程

BIOT利用拉格朗日方程推導(dǎo)了各向同性多孔介質(zhì)的波動方程[4],本文將此方法推廣到含橫向噴射流的層狀部分飽和模型中,可以得到一維拉格朗日方程為:

(1)

(2)

其中,A,N,Qm和Rm表示剛度系數(shù);e和ξm分別表示介質(zhì)固體和流體部分的體應(yīng)變。

將(2)式和(A1)式代入(1)式,可以得到含橫向噴射流的層狀部分飽和模型的一維波動方程:

(3a)

(3b)

(3c)

其中,ρ00,ρ01,ρ02,ρ11,ρ22表示模型介質(zhì)的密度系數(shù);b1和b2分別表示上層和下層介質(zhì)的耗散系數(shù);變量上面兩點(diǎn)表示對時間求二階導(dǎo)數(shù)。

由于模型上、下兩層間存在流體的局部流動,故還需用一個控制方程來描述這種流動。本文將ZHAO等[28]給出的控制方程推廣到飽含兩種流體的圓柱形單元體模型中,可以得到:

(4)

1.3 3種尺度流體流動同時存在情況下的平均流體壓力

DVORKIN等[15]推導(dǎo)了含橫向噴射流的平均流體壓力方程,本文將其推導(dǎo)過程推廣到3種尺度流體流動同時存在的情況,即加入中觀尺度局部流體流動的影響。上層介質(zhì)的流體質(zhì)量守恒方程為:

(5)

式中:ν(1)表示上層介質(zhì)內(nèi)流體的徑向位移。根據(jù)DVORKIN等[15]的推導(dǎo),孔隙度與流體密度的時間導(dǎo)數(shù)可以寫為:

其中,

式中:Ks和Kd1分別表示模型介質(zhì)的顆粒體積模量和上層介質(zhì)的干燥體積模量;c01表示上層介質(zhì)內(nèi)流體的聲波速度。將(6)式、(7)式代入(5)式,得到:

(10)

其中,

流體的橫向噴射流動同樣滿足波動方程,且固體部分在徑向上沒有移動,故根據(jù)(3b)式可以得到:

(13)

并將此平面波解代入(13)式,可以得到:

(16)

將(14)式到(19)式代入(10)式,得到:

(20)

求解(20)式,可以得到:

(21)

式中:J0和J1分別表示零階和一階貝塞爾函數(shù);

(22)

(21)式即為同時存在3種尺度流體流動的上層介質(zhì)內(nèi)流體的平均壓力。

類似的,下層介質(zhì)內(nèi)流體的平均壓力可以寫為:

(23)

式中:

其中,c02表示下層介質(zhì)內(nèi)流體的聲波速度,Kd2表示下層介質(zhì)的干燥體積模量。

將(21)式和(23)式代入(3)式,就可以得到含橫向噴射流的層狀部分飽和模型的最終波動方程(具體過程見附錄B)。

1.4 相速度和品質(zhì)因子

為了研究3種尺度流體流動同時存在時縱波的衰減和速度頻散現(xiàn)象,利用平面波分析求解(3)式和(4)式,計(jì)算縱波的相速度和品質(zhì)因子。

將(17)式、(18)式、(19)式和(29)式代入(3)式和(4)式,可以得到3類縱波(快縱波和第1、第2類慢縱波)的波數(shù)解(具體過程見附錄C)。3類縱波的相速度和品質(zhì)因子可以寫為:

(30)

其中,k表示3類縱波的復(fù)波數(shù),ω表示圓頻率。

2 數(shù)值模擬

根據(jù)(30)式可以求得3類縱波的相速度和品質(zhì)因子,分析縱波的衰減和速度頻散特性。計(jì)算過程中需要的巖石參數(shù)如表1所示,其中μs和ρs分別表示固體顆粒的剪切模量和密度;Kf1和Kf2分別表示上、下兩層介質(zhì)內(nèi)流體的體積模量。

表1 含橫向噴射流的層狀部分飽和模型的巖石參數(shù)

圖2給出了利用5種孔隙彈性理論計(jì)算得到的快縱波相速度和衰減因子曲線。本文所建立的含橫向噴射流的層狀部分飽和模型以層狀雙孔模型為基礎(chǔ),從圖5中可以看出,在低頻范圍內(nèi),這兩種模型的頻散和衰減曲線差別不大,且都與采用White理論得到的頻散和衰減曲線吻合較好。在高頻范圍內(nèi),這兩種模型的頻散和衰減曲線差別很大,引入了橫向噴射流后,頻散程度大幅提高,產(chǎn)生頻散的頻率范圍增大,衰減增大,衰減峰向低頻方向移動,且高頻范圍內(nèi)的頻散和衰減曲線與采用BISQ理論得到的頻散和衰減曲線吻合較好。層狀雙孔模型只考慮了孔隙流體的宏觀和中觀流動,這種模型雖然能較好地描述縱波在低頻范圍內(nèi)的頻散和衰減現(xiàn)象,但由于Biot理論得到的結(jié)果遠(yuǎn)小于實(shí)際情況,故層狀雙孔模型無法較好地描述縱波在高頻范圍內(nèi)的頻散和衰減現(xiàn)象。含橫向噴射流的層狀部分飽和模型同時考慮了3種尺度的流體流動,不僅保留了縱波在低頻范圍內(nèi)的頻散和衰減,而且很好地描述了縱波在高頻范圍內(nèi)的高頻散和強(qiáng)衰減現(xiàn)象。

圖3給出了模型內(nèi)含氣飽和度不同時快縱波相速度和衰減因子曲線。從圖3中可以看出,當(dāng)模型內(nèi)的含氣飽和度逐漸增加時,低頻范圍內(nèi)的相速度先減小再逐漸增加,頻散程度逐漸減小,低頻衰減先增大再逐漸減小;高頻范圍內(nèi)的相速度逐漸減小,頻散程度也逐漸減小,高頻衰減變化不大。從圖3a中也可以看出,當(dāng)含氣飽和度從0變化到10%時,相速度明顯減小,說明相速度對模型中是否存在氣體較為敏感。此外,在低頻范圍內(nèi),當(dāng)含氣飽和度在較低范圍內(nèi)變化時相速度曲線變化較為明顯;在高頻范圍內(nèi),當(dāng)含氣飽和度在較高范圍內(nèi)變化時相速度曲線變化較為明顯,說明相速度曲線對模型的含氣飽和度有較好的指示作用。

圖2 不同孔隙彈性理論計(jì)算得到的快縱波相速度(a)和衰減因子(b)曲線

圖3 模型含氣飽和度不同時快縱波相速度(a)和衰減因子(b)曲線

圖4是模型內(nèi)孔隙度不同時快縱波相速度和衰減因子曲線圖。從圖4中可以看出,隨著模型孔隙度的減小,頻散曲線向速度增加的方向移動,衰減峰值略有下降。此外,隨著孔隙度的減小,低頻范圍內(nèi)的頻散曲線和衰減峰向低頻方向移動,這說明在低孔低滲巖石中,縱波更容易在地震頻段內(nèi)產(chǎn)生衰減和速度頻散現(xiàn)象。

圖5是模型內(nèi)噴射長度不同時快縱波相速度和衰減因子曲線圖。從圖5中可以看出,隨著噴射長度的增加,高頻范圍內(nèi)的頻散曲線和衰減峰向低頻方向移動,同時由于噴射長度與中觀尺度流體流動過程無關(guān),所以低頻范圍內(nèi)的頻散曲線和衰減峰無明顯變化。

模型內(nèi)不僅存在快縱波,還存在兩類慢縱波,兩類慢縱波相速度和衰減因子曲線如圖6所示。從圖6 中可以看出,在低頻范圍內(nèi),兩類慢縱波相速度基本為0,在高頻范圍內(nèi)相速度隨著頻率的增加而增大,但第一類慢縱波相速度增加更明顯。第一類慢縱波的衰減因子在低頻范圍內(nèi)隨著頻率的增加而增大,在高頻范圍內(nèi)隨著頻率的增加而減小;第二類慢縱波在低頻范圍內(nèi)衰減因子幾乎為0,在高頻范圍內(nèi)隨著頻率的增加而減小。

圖4 模型內(nèi)孔隙度不同時快縱波相速度(a)和衰減因子(b)曲線

圖5 模型內(nèi)噴射長度不同時快縱波相速度(a)和衰減因子(b)曲線

圖6 兩類慢縱波相速度(a)和衰減因子(b)曲線

3 結(jié)論

本文在層狀雙孔模型的基礎(chǔ)上,引入橫向噴射流,同時考慮了3種尺度流體流動對縱波傳播的影響,建立了含橫向噴射流的層狀部分飽和模型,推導(dǎo)了模型的波動方程,并通過分析平面波,計(jì)算了縱波的相速度和品質(zhì)因子,研究了縱波的衰減和速度頻散特性。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),與層狀雙孔模型相比,本文建立的模型不僅可以在低頻范圍內(nèi)描述縱波的衰減和速度頻散現(xiàn)象,還可以在高頻范圍內(nèi)很好地描述縱波的高頻散和強(qiáng)衰減現(xiàn)象,說明含橫向噴射流的層狀部分飽和模型是一個較為合理的跨尺度理論模型。本文同時分析了部分巖石參數(shù)對縱波衰減和速度頻散特性的影響,結(jié)果表明,頻散曲線對模型的含氣飽和度有較好的指示作用;隨著模型孔隙度的減小,頻散曲線向速度增加的方向移動,且低頻范圍內(nèi)的頻散曲線和衰減峰向低頻方向移動;隨著噴射長度的增加,高頻范圍內(nèi)的頻散曲線和衰減峰向低頻方向移動,低頻范圍內(nèi)的頻散曲線和衰減峰無明顯變化。