趙穎玥，羅阿理

白矮星是銀河系絕大部分恒星的最終歸宿，銀河系中97%的恒星最終演化成白矮星。白矮星由于內部停止了核反應，演化非常簡單，就是不斷地冷卻，溫度越來越低，光度越來越暗，最后變成一顆黑矮星。根據光譜型，白矮星可以分為DA、DB、DC、DO、DZ、DQ等類型[1]，其中DA白矮星最多，大約占總數的75%。由于白矮星光度低，觀測相對困難，特別是獲得白矮星的光譜尤其困難。在斯隆數字巡天[2]之前，最大的光譜證認的白矮星星表是文[3]在1999年發(fā)布的，總數僅有2 000顆。在他們的星表里僅提供了白矮星的位置、星等、視差和自行等信息，由于光譜分辨率比較低，沒有提供白矮星的大氣參數。斯隆數字巡天使得光譜證認的白矮星的數量增長了10倍以上。文[4]在SDSS DR4中證認出9 000多顆白矮星；文[5]在SDSS DR7中證認出20 000多顆白矮星；文[6]在SDSS DR10中也發(fā)現了9 000多顆新的白矮星。目前光譜識別的白矮星樣本已經超過30 000個，這對研究白矮星的統計特性提供了數據基礎。

運動學可以幫助我們理解白矮星的星族歸屬，因此白矮星的視向速度測量非常重要。白矮星的視向速度測量相對較少，主要原因是以前的白矮星光譜的信噪比和分辨率較低。早期的白矮星運動學研究主要依靠白矮星的自行，而簡單地把視向速度設置為0[7]。文[8-9]首次比較精確地測量白矮星視向速度，但是他們的白矮星光譜分辨率比較高。測量低分辨率DA白矮星光譜的視向速度是一個相對困難的工作。DA白矮星光譜的特點是在光學波段由較寬的氫線和連續(xù)譜構成，另外由于斯塔克(Stark)效應，氫線的輪廓不對稱[10]，這使得線心法估計白矮星的視向速度誤差較大。為了得到低分辨率白矮星光譜的視向速度，本文介紹了一種基于白矮星參數選取模板光譜，通過相關方法獲得DA白矮星的視向速度。由于白矮星除了多普勒效應外，還有引力紅移效應，將總體效應稱為白矮星的APP速度。

1 基于白矮星參數確定模板的交叉相關方法確定DA白矮星的APP速度

1.1 DA白矮星光譜

DA白矮星光譜特征明顯，較好辨認，尤其是高溫白矮星。圖1(a)展示了1顆典型的白矮星和1顆主序星的光譜。綠色實線是主序星的光譜，黑色實線是白矮星的光譜。白矮星的4條氫線Hα，Hβ，Hγ和Hδ用黑實線標出?？梢钥闯鯠A白矮星光譜的特點是譜線非常少，僅有幾條比較強的氫線，而且線特別寬。兩條光譜具有相同的分辨率，主序星的氫線要比對應的白矮星氫線窄很多。如果僅憑借一條氫線估計APP速度，寬線的線心不容易確定，誤差相對較大，因此用氫線線心估計白矮星的APP速度精度較低。

圖1(b)展示了白矮星的4條氫線的放大圖。從上到下分別是Hα，Hβ，Hγ和 Hδ。4條線都表現出輪廓的非對稱性，這是由Stark效應產生的[10]。Hα相對好一些，Hβ，Hγ和Hδ呈現明顯的輪廓不對稱。這對利用線心估計APP速度造成了一定的困難。

圖1 (a)綠色實線是一顆主序星光譜，黑色實線是一顆白矮星光譜，其中4條氫線在下方標出；(b)白矮星光譜的4條氫線的放大顯示Fig.1 (a)Green solid line represents the spectrum of a Main Sequence star while the black solid line is the spectrum of one white dwarf star.Hα、 Hβ、 Hγ、 and Hδ are marked with short solid lines；(b)the zoomed Hα、 Hβ、 Hγ、 and Hδ lines

1.2 模板匹配和交叉相關方法計算DA白矮星的APP速度

計算APP速度的方法主要有兩種：(1)利用多條譜線的線心估計；(2)利用模板光譜基于交叉相關估計[11]。由于白矮星的光譜特點，線心方法不能得到準確的速度，所以利用基于模板光譜的交叉相關方法估計視向速度。

利用白矮星的理論光譜作為模板光譜。理論光譜是文[12]計算的。整個模型光譜庫的有效溫度從5 000 K到80 000 K，表面重力加速度從7.0到9.5。

為了得到準確的APP速度，首先要從模型光譜庫中選出最適合的模板光譜。這里說的適合，就是選出的模板光譜要和目標光譜具有較一致的大氣參數，即相近的有效溫度和表面重力加速度。

模板匹配過程如下：首先對模型光譜和觀測光譜進行重新采樣，間隔為0.01 nm，根據DA光譜的特點，在沒有譜線的位置選出8個連續(xù)譜窗口(3 862，3 939，4 035，4 219，4 490，4 693，5 025，5 254)。在這8個窗口計算每一條理論光譜和觀測光譜的流量比，然后擬合流量比和波長的5階多項式函數。隨后整條理論光譜和這個多項式相乘并計算和觀測光譜的卡方差。最小卡方差對應的理論光譜作為最終選取的模型光譜。

選出模型光譜后，用交叉相關方法估計白矮星的APP速度。流程如下：

首先設定最小速度Vmin，最大速度Vmax和速度增量Vdelt。然后從最小速度開始，目標光譜進行相應的移動后和模板光譜計算相關系數，然后增加一個速度增量繼續(xù)計算，一直到最大速度，這樣就建立了相關系數和速度的關系，也就是相關函數。接下來尋找相關函數的最大值，最大值對應的速度就是最終計算得到的APP速度。

1.3 方法測試

利用模擬光譜測試方法的可靠性，模擬光譜的生成是在理論光譜的基礎上增加噪音，形成一定信噪比的光譜。然后再假設一定的APP速度，進行相應的移動，作為一個模擬光譜。隨后利用1.2節(jié)中的方法對這些模擬光譜進行APP速度的測量，圖2展示了對信噪比為20的模擬光譜進行測試的結果。

圖2 測試樣本的誤差和溫度的關系Fig.2 Relation between the error and the effective temperature

圖2中，從左上角到右下角展示了APP速度為80 km/s～-80 km/s的模擬光譜的測試結果。橫坐標表示有效溫度，縱坐標表示速度的誤差。每一幅圖表示一條誤差隨溫度變化的曲線。總的來看，誤差在低溫區(qū)相對較大。從5 000 K到9 000 K，誤差呈現下降趨勢，在5 000 K時誤差最大。而且總體誤差和速度本身有關。速度絕對值越大，誤差相對越大。對于有效溫度高于10 000 K的光譜，白矮星的速度誤差小于10 km/s。

2 對觀測樣本進行APP速度測量

利用上文介紹的方法對SDSS DR7[13]中的DA白矮星樣本進行了APP速度測量。這個樣本共包含2萬多顆白矮星，并且提供了白矮星的有效溫度、表面重力加速度、質量等信息。其中信噪比大于20的DA白矮星2 000多顆。圖3展示了對一顆DA白矮星進行APP速度測量的例子。實線表示相關系數相對于APP速度的函數，虛線是最大相關系數對應的速度值。這個速度就是計算得到的這顆白矮星的APP速度。

圖3 計算一顆白矮星APP速度的相關函數，橫坐標是速度序列，縱坐標是相關系數。虛線是最大相關系數對應的速度值Fig.3 The correlation function of APP velocity measurement for a DA white dwarf.Dashed line indicates the position of max correlation coefficient

2.1 白矮星的引力紅移計算

在計算APP速度之前，首先計算白矮星的引力紅移。公式如下：

其中，M為白矮星的質量；log g為白矮星的表面重力加速度；R為白矮星的半徑；log g⊙為太陽的表面重力加速度，這里取4.44。這個公式來自于萬有引力公式的變換：

其中，M為白矮星的質量；R為白矮星的半徑；Vg為白矮星的引力紅移。這個公式來自于文[14]。

首先根據白矮星的質量利用(1)式計算白矮星的半徑，然后根據(2)式估計白矮星的引力紅移。圖4(a)顯示了這個樣本的引力紅移和視向速度的分布，可以看出引力紅移主要分布在10～80 km/s。大部分集中在30 km/s附近。這也和白矮星的質量主要分布在0.6倍太陽質量一致。

2.2 白矮星的視向速度測量

對于這2 000個白矮星樣本，測量了它們的APP速度。APP速度和引力紅移之差就是白矮星的視向速度。圖5展示了確定白矮星模板光譜的例子。紅色虛線為相對于觀測光譜(黑色實線)符合最好的模板光譜，這個模板光譜用來計算白矮星的APP速度。圖4(b)展示了白矮星的視向速度和日心距離的關系。我們統計了日心距離在1 000 pc范圍內的視向速度的平均值和彌散，共分了10個區(qū)間，間隔為100 pc。矩形框表示每一個區(qū)間內視向速度的平均值，速度彌散用誤差棒的形式表示?？梢钥闯觯招木嚯x在100 pc和1 000 pc之間，視向速度平均值在0附近。這也證實了以前對白矮星的視向速度假設為0是合理的。

圖4 (a)整個觀測樣本的白矮星的引力紅移和視向速度的關系；(b)觀測樣本中白矮星的視向速度和日心距離的關系，綠色虛線表示視向速度為0的線，紫色矩形框表示某一日心距離范圍內的視向速度的平均值及其彌散Fig.4 (a)relation between the gravitational redshift and the radial velocity；(b)relation between the radial velocity and the distance.Rectangles represent the average radial velocity with a distance bin

圖5 觀測光譜和理論模型光譜擬合的一個例子。黑色實線為觀測的光譜，紅色虛線為相應的匹配最佳理論光譜Fig.5 An example for fitting between the observed spectrum and the theoretical spectrum.Black solid line represents the observed spectrum while the red dotted line is the theoretical spectrum

3 結 論

基于白矮星參數選取模板進行匹配來測量DA白矮星的視向速度，對于有效溫度高于10 000 K的DA白矮星，能夠得到較準確的視向速度，精度在10 km/s以內。通過對2 000多顆高信噪比白矮星的視向速度分析發(fā)現，視向速度平均值整體趨向于0，這表明以前的研究在計算白矮星的運動學信息中假設白矮星的速度為0是比較合理的。

致謝：感謝國家天文臺的梁熙龍博士對本文的評論和建議。