李超元，黃美發(fā)，江艷燕，江佳煒

(桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

在齒輪泵等一系列復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)中，裝配體及零部件的精度受高溫和熱載荷的影響不可忽略。傳統(tǒng)的公差模型把零件假定為剛體，忽略了機(jī)械系統(tǒng)在熱載荷下零件的熱變形，導(dǎo)致零件公差設(shè)計(jì)不夠合理，難以達(dá)到機(jī)械產(chǎn)品的功能要求。因此，需要一種能夠綜合考慮尺寸公差、形位公差和熱載荷的公差分析方法。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)實(shí)際工況下的公差設(shè)計(jì)領(lǐng)域進(jìn)行了大量的研究[1-7]，大都假定零件為剛體，未考慮熱變形對(duì)公差的影響。Samper[5]將變形引入到彈性剛度矩陣中，為實(shí)際工況建模提供了理論基礎(chǔ)；張為民[6]在進(jìn)行實(shí)際工況建模時(shí)，細(xì)化了靜力載荷影響。Benichou[7]等考慮了溫度的影響，將熱變形相關(guān)公式引入公差模型中，但分析模型過(guò)于簡(jiǎn)單。

因此，本文提出了基于熱變形下的齒輪泵建模方法。先采用雅克比旋量法建立公差建模，再利用有限元分析獲取零件在熱載荷下的變形信息，修正理想公差模型，量化熱變形對(duì)裝配體影響。其修正后的公差模型可對(duì)齒輪泵性能進(jìn)行預(yù)測(cè)和改進(jìn)。

1 基于雅克比旋量法的公差建模

公差建模需準(zhǔn)確無(wú)誤地表述公差域邊界，公差建模包括公差表達(dá)與公差累積。雅克比旋量模型[1]是一種結(jié)合了雅克比矩陣和小位移旋量理論(small displacement torsor, SDT)的三維建模方法。

雅克比旋量模型建立了裝配體功能要求(Functional Requirement, FR)和零件功能要素(Functional Elements, FE)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，表示如下：

[FR]=[J][FE]

(1)

(2)

(3)

式中，[C1i]3×1,[C2i]3×1,[C3i]3×1為局部坐標(biāo)系i相對(duì)于全局坐標(biāo)系0在x，y，z軸的單位方向向量。[Wni]為斜對(duì)稱(chēng)位置矩陣，表示坐標(biāo)系n相對(duì)于坐標(biāo)系i上的位置變動(dòng)，其表達(dá)式如下所示：

(4)

SDT模型是采用一種近似線(xiàn)性思想，由于公差變動(dòng)范圍很小，故用小矢量變動(dòng)來(lái)表示三維歐式空間點(diǎn)集運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型, 為了更好地描述特征的相對(duì)于名義表面變動(dòng)，引入?yún)^(qū)間算法來(lái)表示旋量參數(shù)變動(dòng)區(qū)間。

(5)

(6)

根據(jù)旋量理論,功能要素[FEi]可分為單個(gè)零件的內(nèi)部副和多個(gè)零件接觸的運(yùn)動(dòng)副。其公差域及旋量參數(shù)與相應(yīng)約束不等式可通過(guò)文獻(xiàn)[3]獲得。

2 熱變形下的雅克比旋量法公差建模

2.1 零件變形量的數(shù)學(xué)表示

裝配體零件在實(shí)際工作工況下，由于會(huì)受到多方面因素的影響，如負(fù)載、溫度等。本文研究齒輪泵中軸旋轉(zhuǎn)時(shí)與孔在滑動(dòng)摩擦下帶來(lái)的熱流量引起溫度變化，使軸在摩擦區(qū)域內(nèi)沿溫度梯度方向徑向均勻變形，導(dǎo)致孔軸配合間隙減少，進(jìn)而影響齒輪泵功能要求。如何提取零件的變形信息進(jìn)行數(shù)學(xué)表示，是熱變形下的公差建模的關(guān)鍵。零件功能要素的尺寸、形狀、位置的變動(dòng)，可以看作理想零件在6個(gè)自由度上的變動(dòng)，其向量矩陣△如下:

(7)

式中，△μ，△ν，△ω分別表示在熱變形情況下，零件坐標(biāo)系i沿x，y，z坐標(biāo)軸的平移量；△α，△β，△γ分別表示在熱變形情況下，零件坐標(biāo)系i繞x，y，z坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)量。每個(gè)零件的6個(gè)變形量，可以通過(guò)計(jì)算或有限元仿真得到。

2.2 雅克比旋量模型修正

當(dāng)零件受熱變形后，局部坐標(biāo)系i修正為i′，因此必須對(duì)功能要素[FE]和其相關(guān)的雅克比矩陣[J]都要進(jìn)行修正。由于旋轉(zhuǎn)軸為回轉(zhuǎn)體，徑向位置不變，只需修正受軸向變形影響局部坐標(biāo)。修正后的雅克比旋量模型中的各組成部分及其表達(dá)式如下所示：

(8)

式中，[Cxi]、[Cyi]、[Czi]分別為坐標(biāo)系i繞x，y，z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換矩陣，△α，△β，△γ為其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

[RPTi′]-1=[RPTi]-1[Cxi][Cyi][Czi]

(9)

(10)

(11)

將式(8)～式(10)代入式(2)得到修正后的雅克比矩陣，合并式(11)并代入式(1)中得到熱變形下的雅克比模型。

3 齒輪泵公差建模

3.1 理想情況下的公差模型

齒輪泵常廣泛應(yīng)用于靜壓導(dǎo)軌和液壓閥門(mén)等機(jī)械系統(tǒng)傳功裝置。圖1為一簡(jiǎn)易齒輪泵圖[3], 該裝配體由泵體(P1)、主動(dòng)輪(P2)、從動(dòng)輪(P3)三部分組成。該裝配體的功能要求需確保兩齒輪之間的嚙合間隙。泵體材料為鑄鐵，齒輪材料為45鋼，齒數(shù)z=10，模數(shù)m=1.5,額定轉(zhuǎn)速3150r/min，額定壓力為25MPa。

圖1 齒輪泵尺寸與特征局部坐標(biāo)系

如圖1所示，標(biāo)出全局坐標(biāo)系及各局部坐標(biāo)系，全局坐標(biāo)系0建立泵體內(nèi)在主、從動(dòng)輪分度圓嚙合中心處，在全局坐標(biāo)系下，局部坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)O1(O8)，O2，O3，O4，O5(O6)，O7分別為(0,0,0)，(0,-7.5,0)，(-27,-7.5,0)，(-23,-7.5,0)， (-20.5,7.5,0)，(0,7.5,0)。根據(jù)前面所介紹的雅克比公差旋量理論，以及公式(2)計(jì)算雅克比矩陣[J]FEi。

根據(jù)零件的特征要素、公差配合以及裝配特點(diǎn)，建立齒輪泵的裝配連接圖，如圖2所示。

圖2 齒輪泵的裝配連接圖

FE1和FE7分別表示主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的嚙合處的分度線(xiàn)尺寸公差，內(nèi)部副FE2、FE4和FE6，運(yùn)動(dòng)副FE3、FE5所對(duì)應(yīng)的特征，都可參考文獻(xiàn)[4]并根據(jù)公差類(lèi)型和公差值求出，功能要求FR控制兩齒輪分度線(xiàn)的裝配間隙，將所求的[J]FEi和[FEi]代入公式(1)求得FR的值。

3.2 熱變形下的公差建模

3.2.1 熱載荷求解與對(duì)流換熱系數(shù)求解

齒輪泵高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，齒輪軸與泵體孔之間相對(duì)滑動(dòng)摩擦?xí)a(chǎn)生大量的熱，為了方便計(jì)算，齒輪軸與泵體孔相對(duì)滑動(dòng)近似看作軸承與軸頸之間相對(duì)滑動(dòng)。軸承與軸頸摩擦發(fā)熱量公式：

H=f·F·v=fBdpv

(12)

式中，H為摩擦熱流量；f為滑動(dòng)摩擦系數(shù)，45鋼與鑄鐵有潤(rùn)滑條件下的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.05～0.15，滑動(dòng)摩擦取0.1；F為徑向載荷；p為平均壓力；v為相對(duì)滑動(dòng)速度，dB為軸直徑與有效寬。徑向載荷跟液壓泵功率有關(guān)，故根據(jù)下面公式求解。

齒輪泵流量公式：

Q=7Zm2Bn

(13)

式中，B為齒輪齒寬；Z為齒輪齒數(shù)；m為齒輪模數(shù)；n為齒輪泵的轉(zhuǎn)速。液壓齒輪泵功率公式：

P=Pp×Q/np

(14)

式中，P為齒輪泵的驅(qū)動(dòng)功率；Pp為液壓齒輪泵的最大工作壓力；取泵額定壓力的0.8倍；Q為液壓齒輪泵的流量；np為液壓齒輪泵的總體效率，齒輪泵取np=0.7，解得P=4194W，故電機(jī)選擇4kW。

齒輪轉(zhuǎn)矩T=9550·p/n=12.13N·m，齒輪徑向力F=2Ttanα/d=589N，軸的徑向力也是589N。解得摩擦熱流量為77.6W。

在熱分析中，熱傳遞主要方式有熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射。齒輪泵主要散熱方式是熱傳導(dǎo)和熱對(duì)流。對(duì)流換熱系數(shù)是重要邊界條件，它表示固體與流體之間換熱能力，對(duì)齒輪泵有限元溫度場(chǎng)影響很大。由努謝爾特準(zhǔn)則可知，對(duì)流換熱系數(shù)求解公式為：

α=Nu·λf/L

(15)

式中，Nu為努謝爾特?cái)?shù)，λf為流體熱傳導(dǎo)系數(shù)；L為特征尺寸。齒輪端面的對(duì)流換熱系數(shù)，可根據(jù)潤(rùn)滑油的流動(dòng)狀態(tài)，努謝爾特?cái)?shù)Nu，雷諾數(shù)Re，普朗特?cái)?shù)Pr以及齒輪端面局部半徑Rc確定。

式中，λf為液壓油導(dǎo)熱系數(shù),ρf為液壓油密度，vf為液壓油導(dǎo)熱率，cf為液壓油比熱容。雷諾數(shù)Re=386，故液壓油流動(dòng)狀態(tài)為層流[8]，由表1中L-HL46液壓油性能參數(shù)，求得普朗特?cái)?shù)Pr=563，故努謝爾特?cái)?shù)公式為：

Nu=0.6λfPr(Re)1/2/(0.56+0.26Pr1/2+Pr)2/3=97，故α=966 W/m2·℃。

齒輪齒面與液壓油之間的強(qiáng)迫對(duì)流換熱系數(shù)[9]為α=0.228Re0.731Pr1/3λf/L，解α=937 W/m2·℃。

由表1潤(rùn)滑油性能參數(shù)，可求出68號(hào)潤(rùn)滑油的雷諾數(shù)Re和普朗特?cái)?shù)Pr，齒輪軸與潤(rùn)滑油之間的強(qiáng)迫對(duì)流換熱系數(shù)為α=0.133Re2/3Pr1/3λf/L，解得α=910 W/m2·℃。

表1 液壓油與潤(rùn)滑油性能參數(shù)

3.2.2 主、從動(dòng)輪變形量提取與公差修正

在ANSYS workbench軟件中選用熱-結(jié)構(gòu)耦合[9]分析，采用間接耦合的方法。先進(jìn)行溫度場(chǎng)分析，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，進(jìn)而得到主從動(dòng)輪變形。添加材料屬性，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，添加熱載荷，設(shè)置邊界條件，設(shè)置初始溫度為22℃，添加流換熱系數(shù)。由于主、從動(dòng)輪是回轉(zhuǎn)體，故在徑向方向的變形量近似相同故只給出y軸方向變形量。溫度云圖和總變形及x，y軸方向變形云圖如圖3所示。

溫升主要集中在摩擦區(qū)域上。由總變形云圖可知，軸的變形集中在摩擦區(qū)域內(nèi)，且在摩擦區(qū)域中心處徑向變形量最大，變形量在摩擦中心截面有對(duì)稱(chēng)性，故局部坐標(biāo)03，06不變，未摩擦部分區(qū)域變形量很小可忽略。x軸方向變形云圖可知，主齒輪中局部坐標(biāo)01，02沿x方向平移量△μ= 0.0083mm，從齒輪中局部坐標(biāo)07，08沿x方向平移量△μ=0.0056mm，根據(jù)式(2)、式(10)，對(duì)其相應(yīng)的雅克比矩陣進(jìn)行修正。由y軸方向變形云圖可知，主動(dòng)軸摩擦中心處徑向變形為0.003mm，從動(dòng)軸摩擦中心處徑向變形為0.0024mm。主、從孔軸配合最大間隙減少到0.031mm，0.0322mm，需修正變形后的[FE3]，[FE5]。其余的雅克比矩陣[J]和功能要素[FE]不變。求解考慮熱變形后的裝配體功能要求[FR′]。

比較[FR]與[FR′]各自由度上的旋量變動(dòng)范圍，由于熱變形的影響，齒輪泵裝配間隙變動(dòng)在y與z方向上的平動(dòng)量分別減少了12.9%，13.4%；其轉(zhuǎn)動(dòng)量減少了9.5%。這不僅會(huì)加大零件的磨損，影響傳動(dòng)效率，還對(duì)齒輪使用壽命也是不利。

圖3 云圖

4 結(jié)論

結(jié)合有限元仿真和雅克比旋量理論。分別建立了理想情況下齒輪泵公差模型和熱變形下的公差模型，其模型結(jié)果能對(duì)齒輪泵性能進(jìn)行預(yù)測(cè)和改進(jìn)。

將該方法應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)系統(tǒng)，可在CAD/CAPP/CAM集成中起橋梁作用。

由于實(shí)際工況十分復(fù)雜，故在后續(xù)的裝配體公差建模中需要考慮多種耦合情況。