段振云，孟森森，趙文珍，趙文輝

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

0 引言

在工程上，一般將直徑大于500mm的齒輪稱為大齒輪[1]。大齒輪是大型機(jī)械裝備中的重要零部件，其質(zhì)量、性能及壽命直接影響設(shè)備的經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)?，F(xiàn)在大齒輪制造技術(shù)水平正在不斷地提高，品種和規(guī)格也在不斷的擴(kuò)展，這對(duì)大齒輪測(cè)量技術(shù)以及測(cè)量?jī)x器提出了更高的要求，從而促進(jìn)了這一技術(shù)領(lǐng)域的發(fā)展[2]。

目前大齒輪測(cè)量主要依靠齒輪測(cè)量中心、三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)和激光跟蹤齒輪在位測(cè)量系統(tǒng)等，用“以大測(cè)大”的方式來(lái)完成[3-4]，但測(cè)量效率低且精度不高，限制了大齒輪制造水平的提高。在大齒輪齒廓的點(diǎn)位法測(cè)量中，確定大齒輪中心在測(cè)量坐標(biāo)系中的位置是重要的測(cè)量基礎(chǔ)。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)大齒輪中心測(cè)量方法進(jìn)行了大量研究[5]，但現(xiàn)有的測(cè)量方法都較為復(fù)雜。本文針對(duì)上述問(wèn)題，提出基于機(jī)器視覺(jué)在機(jī)測(cè)量大齒輪回轉(zhuǎn)中心的方法。

1 定半徑差測(cè)量方法

1.1 定半徑差測(cè)量方法模型

將兩個(gè)圓形貼片固定在如圖1所示的貼片板上，經(jīng)過(guò)精確測(cè)量得到兩貼片中心點(diǎn)之間的距離L。如圖2所示，貼片板固定在大齒輪上端面的徑向方向上，兩貼片中心點(diǎn)A和A′隨著大齒輪旋轉(zhuǎn)，形成半徑差為R=R-R′的兩個(gè)圓弧。Pi和Pi′為大齒輪旋轉(zhuǎn)到第i個(gè)位置時(shí)兩貼片中心點(diǎn)A與A′的位置，Pik和Pik′為第i+k個(gè)位置。

兩圓弧上任意兩個(gè)位置的弦長(zhǎng)lik和lik′之比等于圓弧半徑R和R′的比值。

圖1 貼片板的圖像

圖2 定半徑差測(cè)量方法模型

設(shè)所采集的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，貼片點(diǎn)A和A′的采樣點(diǎn)坐標(biāo)可記為：

其中，第i個(gè)與第i+k個(gè)采樣點(diǎn)之間的弦長(zhǎng)為：

(2)

設(shè)

則

(3)

aik應(yīng)為常量，為了消除其隨機(jī)誤差，采用最小二乘法對(duì)aik進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，使

(4)

最小，則

由式(3)可得圓弧半徑：

(5)

再利用半徑約束的最小二乘圓心擬合方法可得到大齒輪的中心點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)。

1.2 半徑差擬合模型的誤差分析

影響定半徑差最小二乘的擬合方法擬合精度的因素有弦長(zhǎng)比值aik和半徑差△R。

1.2.1 弦長(zhǎng)比值aik對(duì)半徑擬合誤差的影響

在測(cè)量?jī)x器精度一定的條件下，若弦長(zhǎng)的最大誤差為△l，則弦長(zhǎng)誤差導(dǎo)致的半徑擬合誤差ω1為：

一般△l<

(6)

從式(6)可以看出，當(dāng)測(cè)量?jī)x器精度一定時(shí)，弦長(zhǎng)長(zhǎng)度lik越大，半徑擬合誤差w1越小，但為了減小弦長(zhǎng)比值aik的隨機(jī)誤差，所取弦長(zhǎng)個(gè)數(shù)越多越好。在測(cè)量視野范圍一定的情況下，弦長(zhǎng)個(gè)數(shù)與弦長(zhǎng)長(zhǎng)度lik成負(fù)相關(guān)關(guān)系。因此，在保證足夠精度的前提下，應(yīng)選取較大的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度lik。

1.2.2 半徑差△R對(duì)半徑擬合誤差的影響

半徑差△R的誤差δ△R是由兩貼片中心點(diǎn)之間的距離測(cè)量誤差δL和兩貼片中心點(diǎn)的徑向夾角誤差θ構(gòu)成。如圖3所示，△R的誤差δr為：

δ△R=δLcosθ+ΔR(1-cosθ)

(7)

則由此產(chǎn)生的半徑R擬合誤差為：

(8)

可得：

(9)

該項(xiàng)誤差主要受L的測(cè)量誤差和固定貼片板時(shí)的方向誤差的影響，隨著距離測(cè)量誤差δL和徑向夾角誤差θ的增大而增大。

式(8)還可以簡(jiǎn)化為：

(10)

2 圓心擬合精度的仿真分析

為了對(duì)上述分析進(jìn)行驗(yàn)證，仿真一個(gè)半徑為2000mm的大齒輪，取半徑分別為1600mm和2000mm的圓，根據(jù)相機(jī)的拍照速度和大齒輪的旋轉(zhuǎn)速度，取其中20°的圓弧，采集圓周上60個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為采樣數(shù)據(jù)，考慮一系列誤差的影響加入±0.01mm的隨機(jī)誤差模擬實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)。

2.1 弦長(zhǎng)長(zhǎng)度lik的誤差仿真分析

分別取不同的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度lik，即不同的k與n的比值，且只取相距k個(gè)采樣點(diǎn)之間的弦長(zhǎng)計(jì)算半徑誤差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 k與n的比值對(duì)半徑誤差的影響

在上述條件下，取相距k及k以上的采樣點(diǎn)之間的弦長(zhǎng)計(jì)算半徑誤差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 k與n的比值對(duì)半徑誤差的影響

由圖4和圖5看出，取相距k及k以上的采樣點(diǎn)之間的弦長(zhǎng)時(shí)精度較高，但不同的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度對(duì)精度影響不大，考慮到會(huì)影響運(yùn)算速度，因此在保證精度的同時(shí)，選擇較大的k值，以便提高計(jì)算速度。

2.2 數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)的仿真分析

取不同數(shù)目的數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算半徑誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)半徑誤差的影響

從圖6中看出，半徑誤差隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而減小，因此應(yīng)適當(dāng)?shù)脑黾訑?shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2.3 半徑差與半徑比值的仿真分析

半徑差保持不變，取不同的半徑值，計(jì)算半徑誤差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7 半徑差與半徑的比值對(duì)半徑誤差的影響

從圖7看出，半徑誤差隨著半徑差與半徑比值的增加而減小。因此，可以通過(guò)增加半徑差的相對(duì)大小來(lái)提高圓心的擬合精度。

2.4 半徑差誤差的仿真分析

分別對(duì)半徑差附加不同的距離測(cè)量誤差，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

圖8 距離測(cè)量誤差對(duì)半徑誤差的影響

根據(jù)現(xiàn)有技術(shù)，兩貼片中心點(diǎn)之間的徑向夾角誤差可控制在1°內(nèi)，所以給兩圓上的數(shù)據(jù)點(diǎn)加上±1°范圍內(nèi)的徑向夾角誤差，其結(jié)果如圖9所示。

圖9 徑向夾角誤差對(duì)半徑誤差的影響

從圖8和圖9看出，距離測(cè)量誤差在半徑差誤差中占了主導(dǎo)作用，且半徑差誤差隨之增加而增加。

3 圓心擬合精度的實(shí)例分析

由于半徑差與半徑的比值決定測(cè)量的精度，為驗(yàn)證該方法的可行性，用小圓盤進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并推廣到大齒輪上。其中拍攝圖像的設(shè)備來(lái)源于文獻(xiàn)[6]。用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)該標(biāo)定圓盤上圓1與圓2、圓2與圓3之間的半徑差進(jìn)行測(cè)量，作為理論的半徑差，圓1與圓2之間的半徑差為8.010mm，圓2與圓3之間的半徑差為7.992mm，如圖10所示。

圖10 實(shí)際圓盤圖像

對(duì)所拍攝的30幅圖中的圓1、圓2、圓3進(jìn)行圖像處理，得出各個(gè)圓在每幅圖中的圓心位置，再利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)所測(cè)得的半徑差，使用本文方法對(duì)其進(jìn)行處理，以三坐標(biāo)測(cè)量出的圓1半徑104.982mm作為理論值，與無(wú)約束最小二乘擬合所得結(jié)果進(jìn)行比較。半徑差與半徑的比值分別為0.08、0.15時(shí)，其結(jié)果如表1所示。

表1 所測(cè)圓心偏差量結(jié)果(單位：mm)

由表1看出，以三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)所測(cè)結(jié)果為理論值，半徑差約束最小二乘擬合法所測(cè)誤差小于0.11mm，其精度明顯比最小二乘擬合法高；當(dāng)定半徑差與半徑比值變大時(shí)，定半徑差的最小二乘擬合法的精度達(dá)到0.0002mm，所以在實(shí)際的測(cè)量過(guò)程中，定半徑差與半徑比值的取值應(yīng)盡量大，以此來(lái)提高測(cè)量的精度。

當(dāng)大齒輪半徑為2000mm，半徑差為400mm時(shí)，齒輪中心位置誤差為0.033mm，一般齒輪中心位置誤差對(duì)齒廓總偏差的影響為其誤差值的1/4[7]，所以本文方法對(duì)大齒輪齒廓總偏差測(cè)量的影響為0.0083mm，5級(jí)精度大齒輪齒廓總偏差的允許值為0.025mm，所以本方法可用于大齒輪齒廓總偏差的測(cè)量。

4 結(jié)論

本文提出半徑差約束最小二乘圓擬合法測(cè)量大齒輪回轉(zhuǎn)中心，并對(duì)各種影響因素進(jìn)行理論分析及仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明測(cè)量誤差隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)、半徑差與半徑的比值的增加而減小；隨著半徑差誤差的增加而增加，距離測(cè)量誤差在半徑差誤差中占主導(dǎo)作用。本文以圓盤作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，結(jié)果表明半徑差約束的最小二乘法擬合精度明顯比無(wú)約束的最小二乘擬合法高，并且其測(cè)量結(jié)果接近于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量結(jié)果。本文方法對(duì)大齒輪齒廓總偏差測(cè)量的影響為0.0083mm，可用于大齒輪齒廓總偏差的測(cè)量。