周曉勤，謝雪范，馬 偉，孫厚野，薛 迪，吳 凱

(1.吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130025；2.北京航星機(jī)器制造有限公司，北京 100013)

0 引言

自由曲面廣泛應(yīng)用于航空航天、光學(xué)元件、汽車、船舶及模具等領(lǐng)域[1]，其主要功能的實(shí)現(xiàn)不僅取決于幾何設(shè)計(jì)，而且也依賴于加工質(zhì)量，如光學(xué)元件表面加工寄生的納/微尺度波紋或殘高，會(huì)對(duì)其色散系數(shù)造成較大的影響，繼而惡化其成像質(zhì)量[2]。因此，通過(guò)表面形貌仿真進(jìn)行加工質(zhì)量控制和工藝參數(shù)優(yōu)化對(duì)于自由曲面元件設(shè)計(jì)及加工極具現(xiàn)實(shí)意義，其研究受到國(guó)內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注。

近年來(lái)，針對(duì)球頭銑刀銑削表面形貌的仿真研究已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展，例如，A Antoniadis等[3]通過(guò)將球頭銑刀刀刃和加工表面離散，然后運(yùn)用Z-map法獲得平面銑削的三維幾何形貌，并開(kāi)發(fā)出表面形貌仿真軟件。S Ehsan Layegh K等[4]通過(guò)沿進(jìn)給方向截取進(jìn)給速度矢量的垂直面，并分析該垂直面內(nèi)不同切削行刀刃擺線運(yùn)動(dòng)投影，以此建立平面銑削表面形貌仿真模型。W H Zhang[5]、譚剛[6]等使用牛頓迭代法解非線性方程組生成球頭銑刀銑削平面和圓柱面的表面形貌。常樹(shù)禹[7]從刀具切削形成的包絡(luò)面出發(fā)，基于Biharmonic樣條曲面插值方法獲得平面銑削表面形貌仿真模型，該方法可避免Z-map法運(yùn)算效率低的缺點(diǎn)，但仿真精度難于控制。從現(xiàn)已報(bào)道的相關(guān)文獻(xiàn)看，針對(duì)平面和柱面等簡(jiǎn)單面形的銑削表面形貌仿真，無(wú)論是理論方法還是技術(shù)手段均已十分成熟。

然而，目前針對(duì)自由曲面等復(fù)雜表面銑削加工的三維形貌仿真鮮有報(bào)道，究其原因，自由曲面的加工軌跡通常難以在時(shí)域內(nèi)建立運(yùn)動(dòng)方程并準(zhǔn)確描述，但建立任意切削時(shí)刻與刀位點(diǎn)位置之間的映射關(guān)系又是表面形貌仿真必不可少的環(huán)節(jié)。針對(duì)該問(wèn)題，彭芳瑜[8]、趙厚偉[9]等通過(guò)計(jì)算刀具每次插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)中進(jìn)給速度的三向分量(fx,fy,fz)，建立刀位點(diǎn)的三向運(yùn)動(dòng)方程并求解刀位點(diǎn)位置，這種方法是有效的，但考慮到加工軌跡是逼近自由曲線的折線段，這種方法計(jì)算冗雜，不利于編程實(shí)現(xiàn)。文章旨在提出新方法，能夠簡(jiǎn)潔地表達(dá)任意切削時(shí)刻與刀位點(diǎn)位置之間的映射關(guān)系，以便于實(shí)現(xiàn)諸如自由曲面這類復(fù)雜曲面表面形貌仿真。

1 自由曲面銑削表面形貌建模

1.1 工件模型

如圖1所示，以理想加工表面上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)建立工件坐標(biāo)系{Ow;Xw,Yw,Zw}，在XwOwYw平面內(nèi)設(shè)置仿真區(qū)域并按仿真精度要求劃分網(wǎng)格，而后將網(wǎng)格沿Zw向投影至工件待加工表面，生成工件的Z-map模型。仿真時(shí)，以二維數(shù)組H(x,y)保存加工表面上任意點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)的z坐標(biāo)，切削過(guò)程中H(x,y)不斷更新，并以最終的H(x,y)和對(duì)應(yīng)的x、y坐標(biāo)為特征點(diǎn)生成加工表面的三維形貌[10]。H(x,y)初始化為軸向切深。

1.2 刀刃掃掠點(diǎn)模型

為清楚地表達(dá)刀具相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)以及考慮到主軸回轉(zhuǎn)誤差，如圖2所示，使用工件坐標(biāo)系、刀具坐標(biāo)系{Ot;Xt,Yt,Zt}及主軸坐標(biāo)系{Os;Xs,Ys,Zs}來(lái)確定任意時(shí)刻、任意刀刃微元在工件坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)。

圖1 工件的 Z-map模型 圖2 銑削運(yùn)動(dòng) 坐標(biāo)系 圖3 刀刃微元 示意圖

從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析表面形貌的形成過(guò)程，是參與切削的刀刃與工件發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)從而去除工件材料，并由加工表面殘留材料形成表面形貌。刀刃不同部位切削殘留量顯然不同，因此需要分析每一個(gè)刀刃微元相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)情況。如圖3所示，刀具坐標(biāo)系內(nèi)任意切削時(shí)刻t，∠α所表征的刀刃微元坐標(biāo)，需要經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，映射到工件坐標(biāo)系內(nèi)，變換過(guò)程如式(1)所示。

(1)

(2)

(3)

(4)

式(3)中，Δdr為主軸回轉(zhuǎn)偏心誤差；Δα1為主軸回轉(zhuǎn)偏心初相；Δda為軸向竄動(dòng)誤差；Δα2為軸向竄動(dòng)初相。

式(4)中，la為主軸坐標(biāo)系繞工件坐標(biāo)系Xw軸的旋轉(zhuǎn)角度；ta為主軸坐標(biāo)系繞Yw軸的旋轉(zhuǎn)角度，{x(t)，y(t)，z(t)}表示t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的刀位點(diǎn)位置。

(5)

1.3 刀位點(diǎn)位置檢索算法

由1.2節(jié)可知，t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的刀位點(diǎn)位置{x(t)，y(t)，z(t)}實(shí)質(zhì)上描述了刀位點(diǎn)刀具軌跡信息，因此如何獲取{x(t)，y(t)，z(t)}就成為建立刀刃掃掠點(diǎn)模型的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)。一般的解決方法是根據(jù)規(guī)劃刀位點(diǎn)建立三向運(yùn)動(dòng)方程描述刀具軌跡，但由于刀位點(diǎn)須密集規(guī)劃，插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)的速度矢量方向不斷變化，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)方程非常繁雜，不利于計(jì)算機(jī)編程求解。基于上述基本情況，文章提出了一種矢量檢索算法用于獲取t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的刀位點(diǎn)位置，其核心思想是將銑刀在相鄰刀位點(diǎn)間的直線插補(bǔ)視為一個(gè)進(jìn)給矢量，并記錄每個(gè)矢量的起終點(diǎn)時(shí)刻及位置信息，而后通過(guò)檢索記錄，找出任意給出的切削時(shí)刻t相對(duì)應(yīng)的進(jìn)給矢量，進(jìn)而計(jì)算出該時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的刀位點(diǎn)位置。仿真前，須提前規(guī)劃加工表面的刀具軌跡并提取出離散的刀位點(diǎn)。

記一次進(jìn)給過(guò)程中的qm個(gè)按加工時(shí)間排序的刀位點(diǎn)構(gòu)成的空間點(diǎn)集為矩陣A，A中的第q行元素表示第q個(gè)刀位點(diǎn)，并用Aq表示；記t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的目標(biāo)刀位點(diǎn)位置為Q={x(t)，y(t)，z(t)}；算法的具體步驟如下：

Step1：輸入刀位點(diǎn)矩陣A、時(shí)刻t及進(jìn)給速度vf；

Step2：初始化刀位點(diǎn)循環(huán)變量q=1、插補(bǔ)起始時(shí)刻循環(huán)變量tst=0及行循環(huán)變量r=1；計(jì)算A中刀位點(diǎn)的數(shù)目qm；初始化記錄矩陣B；

Step3：刀位點(diǎn)循環(huán)終止條件判斷(q

Step4：計(jì)算由刀位點(diǎn)Aq指向刀位點(diǎn)Aq+1的矢量模長(zhǎng)l、單位方向向量ve，并按等式ten=tst+l/vf計(jì)算刀位點(diǎn)Aq+1對(duì)應(yīng)的插補(bǔ)終止時(shí)刻ten，而后將刀位點(diǎn)Aq、Aq+1對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)信息Qst、Qen及ve、tst、ten作為一行元素存儲(chǔ)于記錄矩陣B中；

Step5：tst=ten；q=q+1；重復(fù)Step3；

Step6：插補(bǔ)起始時(shí)刻循環(huán)終止；刀位點(diǎn)循環(huán)終止；

Step7：調(diào)用矩陣B、刀位點(diǎn)的數(shù)目qm；

Step8：行循環(huán)終止條件判斷(r

Step9：尋的條件判斷(tst≤t≤ten)；若判斷為真，則執(zhí)行Step10，否則執(zhí)行Step11；

Step10：行循環(huán)終止，取tst、ten所在行的Qst及ve，按等式Q=Qst+ve(t-tst)計(jì)算并輸出Q；

Step11：r=r+1；重復(fù)Step7；

Step12：行循環(huán)終止，輸出“t不在當(dāng)前進(jìn)給切削時(shí)間范圍內(nèi)”；

至此，使用上述算法可獲得仿真所需的{x(t)，y(t)，z(t)}。

1.4 生成表面形貌

獲取工件模型及刀刃掃掠點(diǎn)模型后，就可以使用Z-map法[11]，以近似替代的方式求出工件模型與刀刃掃掠點(diǎn)模型的邏輯交點(diǎn)，并完成二維數(shù)組H(x,y)的更新，獲得三維表面形貌。

2 仿真實(shí)例

為驗(yàn)證上述方法，在MATLAB中生成非均勻有理B樣條曲面(Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS)作為設(shè)計(jì)的自由曲面，按上述方法步驟進(jìn)行銑削表面形貌仿真。NURBS曲面的控制點(diǎn)陣CP如式(6)所示，相應(yīng)的權(quán)因子陣為4×4單位陣，U向和V向階次均為3。

(6)

式中，x1=-0.1；x2=0.4；x3=0.8；x4=1.3；y1=-0.2；y2=0.8；y3=1.6；y4=3。

銑削仿真中，加工參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 加工參數(shù)

仿真時(shí)表1中全部測(cè)試組加工傾角均為30°，軸向切深為0.3mm，且均采取單向行切、順銑加工方式。球頭銑刀直徑為10mm，2刃，螺旋角30°(右旋)。設(shè)計(jì)曲面如圖4所示，第1～3組參數(shù)的仿真結(jié)果分別如圖5～圖7所示。

觀察對(duì)比仿真結(jié)果，測(cè)試組1、2進(jìn)給量較大，因此輸出形貌反映出明顯的球頭銑刀銑削加工紋理特征；而測(cè)試組3進(jìn)給量較小，加工殘留高度極小，輸出形貌比較接近設(shè)計(jì)曲面，與實(shí)際加工經(jīng)驗(yàn)相符，證明上述檢索算法能夠應(yīng)用于表面形貌仿真。

圖4 設(shè)計(jì)曲面

圖5 測(cè)試組1的輸出形貌

圖6 測(cè)試組2的輸出形貌

圖7 測(cè)試組3的輸出形貌

3 結(jié)論

文章提出了一種描述切削刃相對(duì)運(yùn)動(dòng)的新方法，它不需要建立切削時(shí)間與刀位點(diǎn)位置之間具體的函數(shù)表達(dá)式，而是根據(jù)刀具的插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，以矢量檢索算法求出任意切削時(shí)刻對(duì)應(yīng)的刀位點(diǎn)位置。與建立三向運(yùn)動(dòng)方程的一般方法相比，該方法將對(duì)三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)方程求解替換為對(duì)特定單一進(jìn)給矢量的檢索，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，利于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。經(jīng)仿真實(shí)例檢驗(yàn)，以這種新算法為基礎(chǔ)所建立的表面形貌仿真模型是合理有效的，可以用于自由曲面表面形貌幾何仿真。