周 斌

(汕尾市水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)院，廣東 汕尾 516600)

為確定水庫(kù)洪水位，需要根據(jù)水量平衡原理進(jìn)行水庫(kù)調(diào)洪演算。由于方程各項(xiàng)積分難以直接計(jì)算，需要時(shí)間分段、逐時(shí)段連續(xù)求解，工程中常采用梯形法進(jìn)行單步時(shí)段積分。有諸多學(xué)者嘗試了Runge-Kutta法、Lagrange插值[1]、三次樣條插值函數(shù)[2]等諸多數(shù)值方法以提高單步時(shí)段積分的精度。筆者曾對(duì)梯形法的積分誤差和傳播進(jìn)行了討論，提出了最大可能誤差的計(jì)算方法[3]以控制計(jì)算誤差風(fēng)險(xiǎn)。入庫(kù)洪水、泄洪能力和庫(kù)容的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如存在誤差，也將直接影響到計(jì)算的調(diào)洪成果精度，曾有學(xué)者對(duì)以上三者隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的蓄洪量的特性進(jìn)行了相關(guān)研究[4]。近年來(lái)隨著洪水預(yù)報(bào)技術(shù)的發(fā)展，不少學(xué)者也開(kāi)展了基于水文預(yù)報(bào)的調(diào)洪演算研究[5]。因此，分析基礎(chǔ)數(shù)據(jù)誤差對(duì)調(diào)洪成果精度的影響是必要的。

1 調(diào)洪演算的水量平衡基本方程

對(duì)任一時(shí)段(如t1→t2)，入庫(kù)水量減去出庫(kù)水量，等于該時(shí)段內(nèi)水庫(kù)增加或減少的蓄水量[5]，此時(shí)水庫(kù)水位由z1升降至z2，需滿足水量平衡方程：

(1)

式中Q(t)——入庫(kù)流量過(guò)程；q(z(t))——出庫(kù)流量過(guò)程；F(z)——水庫(kù)庫(kù)面面積；z(t)——庫(kù)水位隨時(shí)間的變化過(guò)程。

采用梯形數(shù)值積分法[6]，式(1)可改寫為常見(jiàn)的實(shí)用公式(以下稱實(shí)用水量平衡方程)：

(2)

式中Qt1、Qt2——時(shí)段始、末的入庫(kù)流量；qz1、qz2——時(shí)段始、末的出庫(kù)流量；Vz1、Vz2——時(shí)段始、末的庫(kù)容；Δt——計(jì)算時(shí)段，Δt=t2-t1。

2 時(shí)段內(nèi)的單步誤差方程及單步誤差傳遞規(guī)律

2.1 單一時(shí)段內(nèi)的水位變化量

式(2)為非線性方程，已知時(shí)段初的庫(kù)水位z1可以直接解得時(shí)段末的庫(kù)水位z2。為方便后續(xù)討論，先討論一個(gè)近似解答。

(3)

2.2 入庫(kù)洪水誤差產(chǎn)生的時(shí)段末水位單步誤差方程

在計(jì)算時(shí)段(如t1→t2)內(nèi)入庫(kù)洪水流量存在相對(duì)誤差ξQ，即入庫(kù)洪水流量可表述為(1+ξQ)Q(t)。由于誤差的存在，將使時(shí)段末水位產(chǎn)生誤差εQ-z 2(相對(duì)誤差為ξQ-z2)，即時(shí)段末的水位為z2+εQ-z2。則式(2)變?yōu)椋?/p>

(4)

將式(4)采用一階泰勒公式在z2處展開(kāi)，并略去高階微量，可寫為：

(5)

式(5)中消去式(2)，整理后有：

(6)

(7)

2.3 泄洪能力誤差產(chǎn)生的時(shí)段末水位單步誤差方程

如出庫(kù)流量(泄洪能力)存在相對(duì)誤差ξq，即出庫(kù)流量可表述為(1+ξq)q(z)。由于誤差的存在，將使時(shí)段末水位產(chǎn)生誤差εq-z2(相對(duì)誤差為ξq-z2)，即時(shí)段末的水位為z2+εq-z2。式(2)可寫為：

(8)

將式(8)采用一階泰勒公式在z2處展開(kāi)，并略去高階微量，可寫為：

(9)

式(9)中消去式(2)，整理后有：

(10)

(11)

2.4 庫(kù)容誤差產(chǎn)生的時(shí)段末水位單步誤差方程

如庫(kù)容曲線存在相對(duì)誤差ξV，即庫(kù)容可表述為(1+ξV)V(z)。由于誤差的存在，將使時(shí)段末水位產(chǎn)生誤差εV-z2 2(相對(duì)誤差為ξV-z2)，將使得時(shí)段末水位變?yōu)閦2+εV-z2，式(2)可寫為：

(12)

將式(12)采用一階泰勒公式在z2處展開(kāi)，并略去高階微量，可寫為：

(13)

式(13)中消去式(2)，整理后有：

(14)

(15)

2.5 水位誤差敏感性排序

(16)

(17)

(18)

2.6 單步誤差傳遞規(guī)律

根據(jù)前述方程，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差會(huì)產(chǎn)生單步計(jì)算時(shí)段末的水位誤差，匯總得從基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差傳遞至?xí)r段末的庫(kù)水位單步誤差的規(guī)律見(jiàn)表1。

表1 單步誤差傳遞規(guī)律

接近庫(kù)水位極大值(滿足Qt1+Qt2=2qz1)處ξQ-z2和ξq-z2存在奇點(diǎn)，且ξQ-z2和ξq-z2在奇點(diǎn)兩側(cè)正負(fù)號(hào)相反。

εV-z2在庫(kù)水位極大值兩側(cè)正負(fù)號(hào)相反。

εq-z2和εV-z2在庫(kù)水位極大值點(diǎn)前有交點(diǎn)，交點(diǎn)前|εq-z2|<|εV-z2|。

3 庫(kù)水位誤差累積方程及傳播規(guī)律

3.1 時(shí)段初、末的誤差傳播基本方程

對(duì)任一時(shí)段(如t1→t2)，如時(shí)段初存在水位誤差εz1(初始水位為z1+εz1)，將使時(shí)段末的水位變?yōu)閦2+εz2，有[3]：

(19)

3.2 洪水相對(duì)誤差產(chǎn)生的水位絕對(duì)誤差累積方程

水庫(kù)調(diào)洪演算時(shí)，第n時(shí)段末的庫(kù)水位總存在相對(duì)誤差ξQ，可通過(guò)式(6)和式(19)計(jì)算累積誤差，有：

(20)

3.3 出庫(kù)流量相對(duì)誤差產(chǎn)生的水位絕對(duì)誤差累積方程

水庫(kù)調(diào)洪演算時(shí)，第n時(shí)段末的庫(kù)水位總存在相對(duì)誤差ξq，可通過(guò)式(10)和式(19)計(jì)算累積誤差，有：

(21)

3.4 庫(kù)容相對(duì)誤差產(chǎn)生的水位絕對(duì)誤差累積方程

水庫(kù)調(diào)洪演算時(shí)，第n時(shí)段末的庫(kù)水位總存在相對(duì)誤差ξV，可通過(guò)式(14)和式(19)計(jì)算累積誤差，有：

(22)

3.5 累積誤差的傳播規(guī)律

4 算例

某中型水庫(kù)位于廣東省海豐縣境內(nèi)的黃江支流龍船溪上，壩址集雨面積23 km2，主河長(zhǎng)9.2 km，河道加權(quán)平均坡降1%，樞紐建筑物有1座主壩、5座副壩、溢洪道、2座灌溉輸水涵管、2座灌溉進(jìn)水閘。

溢洪道進(jìn)口控制段為無(wú)閘控制的開(kāi)敞式寬頂堰， 堰頂高程為12 m，凈寬35 m，控制段后接坡度為1∶8的陡槽段，陡槽后接消力池。以堰頂作為起調(diào)水位，遭遇洪水時(shí),即從溢洪道自動(dòng)按最大渲泄能力下泄洪水的調(diào)度方式計(jì)算遭遇百年一遇洪水的水庫(kù)調(diào)洪過(guò)程。為揭示基礎(chǔ)資料誤差對(duì)調(diào)洪成果的影響，在調(diào)洪成果的基礎(chǔ)上直接分析入庫(kù)洪水偏小10%(ξQ=-0.1)、溢洪道泄流能力偏大10%(ξq=0.1)、庫(kù)容偏大10%(ξV=0.1)產(chǎn)生的庫(kù)水位誤差情況。調(diào)洪過(guò)程和水位誤差變化過(guò)程見(jiàn)圖1，最高洪水位附近的誤差計(jì)算成果摘錄見(jiàn)表2。

從誤差圖可見(jiàn)，水位單步絕對(duì)誤差在庫(kù)水位上升期總體上以入庫(kù)流量的誤差影響最顯著，出庫(kù)流量的誤差影響最小；庫(kù)水位降落期則以出庫(kù)流量誤差影響最大，庫(kù)容誤差產(chǎn)生了制約庫(kù)水位下降的作用；累積水位誤差以入庫(kù)流量誤差的影響最為顯著，出庫(kù)流量誤差產(chǎn)生了持續(xù)了降低庫(kù)水位的影響；時(shí)段相對(duì)誤差的絕對(duì)值仍以入庫(kù)流量誤差影響最大，入庫(kù)流量和出庫(kù)流量的相對(duì)誤差在庫(kù)水位上升至最高點(diǎn)附近有奇點(diǎn)。入庫(kù)洪水、泄洪能力和庫(kù)容三要素的相對(duì)誤差對(duì)該水庫(kù)最高庫(kù)水位的影響程度，入庫(kù)洪水最大、泄洪能力最小。

表2 誤差計(jì)算成果摘錄

5 結(jié)語(yǔ)

采用水量平衡方程調(diào)洪演算時(shí)，洪水、泄洪能力和庫(kù)容等原始數(shù)據(jù)可能存在誤差，將影響到計(jì)算的調(diào)洪成果精度，分析評(píng)價(jià)這些基礎(chǔ)數(shù)據(jù)誤差對(duì)調(diào)洪成果的影響對(duì)工程安全是十分有必要的。各基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差對(duì)時(shí)段內(nèi)的水位單步誤差有著不同的影響，庫(kù)水位上升期以入庫(kù)洪水流量最為敏感，且對(duì)庫(kù)水位相對(duì)誤差存在放大效應(yīng)；庫(kù)水位升、降期，庫(kù)容誤差產(chǎn)生的水位單步誤差正負(fù)號(hào)相反，且相對(duì)誤差大于0時(shí)對(duì)庫(kù)水位相對(duì)誤差存在縮減效應(yīng)；最高庫(kù)水位處入庫(kù)洪水流量和泄洪能力的水位單步相對(duì)誤差存在奇點(diǎn)。對(duì)于水位傳播累積誤差，有著不同的影響，在庫(kù)水位上升期，入庫(kù)洪水流量最為敏感；庫(kù)容相對(duì)誤差大于0時(shí)對(duì)庫(kù)水位相對(duì)誤差仍保持了縮減效應(yīng)。