程卓然

初等函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，也是同學(xué)們在解題過程中最常使用到的一類函數(shù).它包括常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，以及這些函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算所得到的新的復(fù)合函數(shù)，在分析學(xué)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用.作為高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)之一，學(xué)好初等函數(shù)知識的重要性不言而喻.為此，本文對高中初等函數(shù)學(xué)習(xí)中的一些難點(diǎn)問題進(jìn)行了詳細(xì)分析，并結(jié)合自身學(xué)習(xí)體會，給出了相應(yīng)的學(xué)習(xí)對策，以期能夠有效幫助同學(xué)們切實(shí)提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績.

一、初等函數(shù)的概念定義

根據(jù)我們所接觸到的高中數(shù)學(xué)不同版本的教材及教輔書籍中的相關(guān)內(nèi)容，關(guān)于初等函數(shù)概念的定義目前主要有以下三種闡述：

（1）初等函數(shù)指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及復(fù)合所得到的函數(shù)；

（2）初等函數(shù)指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及復(fù)合，并且是用一個(gè)新的解析式所表達(dá)出來的函數(shù)；

（3）初等函數(shù)指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及復(fù)合，并且能夠用一個(gè)新的解析式所表達(dá)出來的函數(shù).

由以上定義來看，初等函數(shù)的滿足條件之一是基本初等函數(shù)要經(jīng)過有限次數(shù)的運(yùn)算和復(fù)合，其中定義（1）并沒有對初等函數(shù)的形式作出要求，而定義（2）、定義（3）則是對初等函數(shù)表達(dá)形式的要求程度不同，定義（2）要求必須用解析式表達(dá)，而定義（3）則是說可用解析式表達(dá)，可見兩個(gè)定義并非是等價(jià)的.在我們實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常會遇到一些函數(shù)的初等性不容易判定的情況，繼而在解題時(shí)產(chǎn)生困惑.因此，要想徹底掌握初等函數(shù)的性質(zhì)和具體應(yīng)用，我認(rèn)為，理清教材中關(guān)于初等函數(shù)的定義是關(guān)鍵，只有這樣才能靈活運(yùn)用初等函數(shù)知識來進(jìn)行解題.

二、高中數(shù)學(xué)初等函數(shù)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)分析與對

策建議

1.基本概念意義混淆不清.

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)f（x）中的自變量和方程式中的未知數(shù)均用x表達(dá)，不少同學(xué)在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)常常容易將這兩個(gè)概念混淆不清，解題時(shí)感到無從下手.究其原因主要是對于“變量”這一概念的理解還停留在初中時(shí)期的“未知數(shù)”階段，所以在解題時(shí)仍然習(xí)慣于用等量代換的方式來解決問題.針對這一問題，在學(xué)習(xí)初等函數(shù)這部分知識時(shí)，可以有意識地將函數(shù)與方程實(shí)例進(jìn)行對比，在老師的幫助下理清自變量與未知數(shù)這兩個(gè)概念之間的區(qū)別.

2.忽視定義域.

許多同學(xué)在解題時(shí)常常只關(guān)注解析式本身，卻忽略了定義域的重要性，導(dǎo)致求出錯(cuò)誤的結(jié)果.這一問題出現(xiàn)的原因一方面與平時(shí)缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣有關(guān)，另一方面則是由于對函數(shù)基本概念定義的理解不透徹.事實(shí)上，在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，就已經(jīng)提出了函數(shù)的三要素，分別為定義域、對應(yīng)法則和值域.因此，高中階段在重視初等函數(shù)的解析式同時(shí)，還應(yīng)充分考慮函數(shù)本身的定義域問題，養(yǎng)成“定義域優(yōu)先”的良好解題意識.

3.將函數(shù)圖像的對稱性與對稱變換混為一談.

例：（1）若對于任意x∈R，有f（x+5）=f（9-x），則求函數(shù)f（x）圖像的對稱軸.

（2）求函數(shù)y=f（5+x）與函數(shù)y=f（9-x）的圖像的對稱軸.

解：（1）根據(jù)題目中給出的條件可知，函數(shù)f（x）圖像本身關(guān)于某一條對稱軸對稱，且該對稱軸上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)必然為點(diǎn)（x+5，0）和（9-x，0）的重點(diǎn)，所以不難求出對稱軸為：x=（x+5）+（9-x）2=7.

（2）不難看出，函數(shù)y=f（5+x）是函數(shù)y=f（x）向左平移五個(gè)單位得到的，而函數(shù)y=f（9-x）則是由函數(shù)y=f（-x）向右平移九個(gè)單位得到的，所以這兩個(gè)函數(shù)圖像的對稱軸為：x=9-52=2.

在解該題時(shí)，同學(xué)們經(jīng)常會分不清（1）是函數(shù)自身關(guān)于某一個(gè)軸對稱，而（2）是兩個(gè)函數(shù)關(guān)于一條軸對稱，所以在解題時(shí)很容易混淆兩種解題方法，盲目答題，求出錯(cuò)誤的答案.為此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)一定要從根本上理解透徹函數(shù)圖像的性質(zhì)和變換特點(diǎn)，然后再進(jìn)行解題.

綜上所述，初等函數(shù)知識在我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位，需要我們高度重視.一方面，要認(rèn)真解讀課本上關(guān)于初等函數(shù)形式的表述要求，準(zhǔn)確判定函數(shù)的初等性，理清變量與未知數(shù)概念定義的區(qū)別.另一方面，還應(yīng)注重培養(yǎng)自己形成良好的解題習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎伎寄芰?，牢固掌握初等函?shù)的解題技巧，不斷提高自身的數(shù)學(xué)綜合能力水平.