江蘇省南通中學(xué) 徐德均

同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)數(shù)列和函數(shù)有什么聯(lián)系嗎？

其實，數(shù)列是離散型函數(shù)，它可以看成以正整數(shù)集N*（或正整數(shù)集N*的有限子集｛1，2，3，…，k｝）為定義域的函數(shù)an=f（n），當自變量n按照從小到大的順序依次取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值．

下面我們通過對兩道考題的分析來說明：在將數(shù)列問題轉(zhuǎn)為函數(shù)問題后，運用導(dǎo)數(shù)判斷數(shù)列的增減性，揭示數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)屬性．

一、探求數(shù)列的最?。ù螅╉?/h2>

例1已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=n3-27n+1（n∈N*），試問數(shù)列｛an｝是否存在最小項？若存在．請求最小項；若不存在，請說明理由．

分析判斷數(shù)列｛an｝是否存在最小項，通常采取的方法是根據(jù)數(shù)列｛an｝的通項公式，作差：d=an+1-an=［（n+1）3-27（n+1）+1］-（n3-27n+1）=3n（n+1）-26（n∈N*），當n=1，2時d＜0，當n≥3時，d＞0，從而判斷數(shù)列｛an｝的增減性，得到數(shù)列各項的大小關(guān)系a1＞a2＞a3＜a4＜a5＜…，從而判斷數(shù)列｛an｝存在最小項為a3=-53．

考慮到數(shù)列｛an｝的第n項an是關(guān)于項數(shù)n的三次函數(shù)，其所對應(yīng)的三次函數(shù)為f（x）=x3-27x+1（x≥1），所以可利用導(dǎo)數(shù)的方法先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再求函數(shù)f（x）的最小值，從而可求得數(shù)列｛an｝的最小項．

事實上，當1＜x＜3時，f′（x）=3x2-27＜0，函數(shù)f（x）=x3-27x+1在（1，3）上是減函數(shù)；當x＞3時，f′（x）=3x2-27＞0，函數(shù)f（x）=x3-27x+1在（3，+∞）上是增函數(shù)．函數(shù)f（x）=x3-27x+1（x≥1）的最小值為f（3）=-53，從而可知數(shù)列｛an｝存在最小項為a3=-53．

點評通過作差，比較數(shù)列中的項的大小，求數(shù)列中的最小項，是從整體看數(shù)列的變化的趨勢；而利用導(dǎo)數(shù)，先判斷數(shù)列的增減性，再求數(shù)列中項的最小值，則具有用函數(shù)看數(shù)列本質(zhì)的觀點，但需要注意的是，由數(shù)列的通項公式對應(yīng)連續(xù)函數(shù)的最大（?。┲滴幢厥菙?shù)列的最大（?。╉棧畵Q言之，數(shù)列通項公式對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)單調(diào)，則數(shù)列具有增減性；但是數(shù)列具有增減性，數(shù)列的通項公式對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)未必單調(diào)．如遞增數(shù)列｛an｝的通項公式為an=n3-2．5n+1（n∈N*），其通項公式所對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)f（x）=x3-2．5x+1在（-∞，1．25）上是減函數(shù)，在（1．25，+∞）上是增函數(shù)，其最小值為f（1．25），因此其在［1，+∞）上不是增函數(shù)，f（1．25）不是數(shù)列｛an｝的最小項，數(shù)列｛an｝的最小項為f（1）=-0．5．

二、探求數(shù)列恒成立問題中的參數(shù)的最值

例2（2019年江蘇卷20題第（2）②問）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”．已知數(shù)列｛bn｝（n∈N*）滿足其中Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項和．設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M-數(shù)列”｛cn｝（n∈N*），對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．

分析根據(jù)條件易得bn=n，（n∈N*）．可設(shè)“M-數(shù)列”｛cn｝的公比為q．

則條件ck≤bk≤ck+1轉(zhuǎn)化為qk-1≤k≤qk，其中k∈N*且k≤m，m∈N*．

所以，當k=1時，q≥1；當k=2，3，…，m時，都有恒成立．

所以當x=e時，函數(shù)f（x）取得最大值f（e）．所以，f（1）＜f（2），f（3）＞f（4）＞…，

所以m≥5．分別取k=3，6時，得3≤q3，且q5≤6，從而243=35≤q15≤63=216，

所以q不存在．因此，所求實數(shù)m的最大值為5．

點評題中在將不等式ck≤bk≤ck+1轉(zhuǎn)為當k=2，3，…，m時，都有恒成立后，求數(shù)列｝最大項得公比q的取值范圍，是通過構(gòu)造數(shù)列的對應(yīng)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，得到數(shù)列的增減性與最大值f（3），確定，進而求得實數(shù)m的最大值為5．

通過以上兩道例題，同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的作用？是的，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極大（?。┲档瘸Ｓ玫姆椒ǎ谟脤?dǎo)數(shù)研究數(shù)列問題時，同學(xué)們也要注意數(shù)列的增減性與函數(shù)的單調(diào)性是兩個不同的概念，要靈活運用．