王智慧，徐文娟，周志成，王文龍，張 喆

(桂林特邦新材料有限公司，廣西桂林 541004)

1 引言

超硬復(fù)合片具有高硬度、高耐磨性、高導(dǎo)熱系數(shù)和高加工精度等優(yōu)點，可實現(xiàn)以車代磨，因之廣泛應(yīng)用于航天航空、汽車及工程機械等高端制造業(yè)領(lǐng)域[1]。超硬復(fù)合片是高價值的產(chǎn)品，使用商對復(fù)合片性能的穩(wěn)定性提出了很高的要求，希望產(chǎn)品能進行100%檢驗。然而復(fù)合片大多數(shù)質(zhì)量表征指標的檢驗是破壞性的，只能進行抽檢。在設(shè)計抽樣檢驗方案時，使用方希望使用方風險質(zhì)量p1小、使用方風險β低，而生產(chǎn)方則希望生產(chǎn)方風險α低，根據(jù)目前的超硬復(fù)合片生產(chǎn)水平，生產(chǎn)質(zhì)量不可能太高，即生產(chǎn)方風險質(zhì)量p0較大，操作比p1/p0可能會很小，而國標給出的檢驗方案為[2]：使用方風險β固定為10%，生產(chǎn)方風險α約為5%，操作比p1/p0大于2。若上述要求發(fā)生改變，就不能通過查國家標準進行超硬復(fù)合片計數(shù)型抽樣檢驗方案設(shè)計，因此，本文介紹一種利用excel中插入函數(shù)進行計數(shù)型一次及二次抽樣檢驗方案的設(shè)計方法，該方法只需會excel表操作，就會進行計數(shù)型一次及二次抽樣檢驗方案設(shè)計，可以滿足使用方提出的各種特殊質(zhì)量要求。

2 各概率分布函數(shù)的應(yīng)用范圍

利用下節(jié)論述的方法設(shè)計抽樣檢驗方案時,首先要確定概率分布函數(shù)。各概率分布函數(shù)的應(yīng)用范圍如表1所示〔3〕。表1中,N為批量,n為樣本數(shù),D為批中不合格品數(shù);p為批中不合格品率，p等于D/N，p的取值范圍為0～1;p’為批中不合格率(文獻〔3〕寫成單位產(chǎn)品的缺陷數(shù))，p’取值范圍為大于或等于0。為簡化起見，本文將不區(qū)分p及p’，全用p表示，在計件檢驗中，p表示不合格品率，在計點檢驗中，p表示不合格率。

表1 接收概率分布函數(shù)

3 計數(shù)型抽樣檢驗方案設(shè)計簡述

計數(shù)型抽樣分為計件型抽樣及計點型抽樣[4]。計件型抽樣檢驗是統(tǒng)計樣本中的不合格品數(shù)，樣本中不合格品數(shù)必定少于樣本數(shù)；計點型抽樣檢驗是統(tǒng)計樣本中的不合格數(shù)，樣本中的不合格數(shù)可以大于樣本數(shù)。

GB/T2828標準中將計數(shù)型抽樣檢驗分為一次抽樣檢驗、二次抽樣檢驗及五次抽樣檢驗[5]。表2為三種抽樣方案優(yōu)劣對比。

表2 三種抽樣方案優(yōu)劣對比列表

抽樣方案設(shè)計實際上是在己知使用方風險質(zhì)量p1、使用方風險β、生產(chǎn)方風險質(zhì)量p0、生產(chǎn)方風險α的條件下，求抽樣檢驗樣本量n、接收數(shù)Ac及拒收數(shù)Re。

設(shè)樣本量為n的樣本中恰好出現(xiàn)k次不合格品數(shù)或不合格數(shù)這一事件為X，則X為隨機事件，其概率用P{X=k}表示，它是風險質(zhì)量p、樣本量n及不合格品數(shù)或不合格數(shù)k的函數(shù)[6]。

對一次抽樣檢驗方案：設(shè)樣本量為n1、接收數(shù)為Ac及拒收數(shù)為Re，則該批產(chǎn)品接收的概率L用下式表示。

根據(jù)題意列出下列方程組：

Re=Ac+1;

聯(lián)合解上列各式,可求得一次抽樣檢驗方案:樣本量n1、接收數(shù)Ac及拒收數(shù)Re。

對二次抽樣檢驗方案：

設(shè)第一次抽樣檢驗的接收數(shù)及拒收數(shù)為AC1和Re1，第二次抽樣檢驗的接收數(shù)及拒收數(shù)為AC2和Re2,二次抽樣檢驗方案每一次抽樣檢驗的樣本量相同，均為n2。

Re2=AC2+1

令：Re1=AC1+m1+1 ；m1=1，2，3……;

m1表示AC1與Re1之間數(shù)字的個數(shù)，如AC1等于1，Re1等于5，中間有2、3、4共3個數(shù)字，則：m1=3;

令：AC2=Re1-1+m2；m2=0、1、2……; 則：AC2=AC1+m1+m2;

令：P0=P{X≤AC1}

P1=P{X=(AC1+1)}*P{X≤[Ac2-(AC1+1)]}=P{X=(AC1+1)}*P{X≤(m1+m2-1)}

P2=P{X=(AC1+2)}*P{X≤[Ac2-(AC1+2)]}=P{X=(AC1+2)}*P{X≤(m1+m2-2)}

……

Pm1=P{X=(AC1+m1)}*P{X≤[Ac2-(AC1+m1)]}=P{X=(AC1+m1)}*P{X≤m2}

L=P0+P1+P2+……+Pm1=F(AC1，Re1；AC2，Re2；n2；p0或p1)

L為接收概率;

根據(jù)題意，可列出下列方程組：

L0=F(AC1，Re1;AC2，Re2,n2,p0)=1-α

L1=F(AC1，Re1;AC2，Re2,n2,p1)=β

Re2=AC2+1

要求：AC1，Re1;AC2，Re2,n2全為正整數(shù)及盡量小。聯(lián)合解上述方程可求出AC1，Re1;AC2，Re2及n2。

經(jīng)查閱資料及參考GB/T 2828系列標準總結(jié)出下列規(guī)律：

(1)n1/n2≈1.55 ；n1為一次抽樣檢驗方案的樣本量，n2為二次抽樣檢驗方案每一次抽樣的樣本量；

(2)1≤m1≤AC， 0≤m2≤AC;

(3)一般來說：AC≥AC1≥AC/2-2 ；

其中n1、Ac為一次抽樣檢驗方案的樣本量和接收數(shù);

五次抽樣檢驗方案設(shè)計不適應(yīng)用excel表的引用函數(shù)進行計算。

4 幾種常用抽樣檢驗方案設(shè)計方法優(yōu)劣對比

利用上述原理，前人己將計算結(jié)果列成表，制成圖。因此，抽樣檢驗方案設(shè)計常用方法有：查表法、圖解法、編程法、excel表計算法，表3列出了它們的優(yōu)劣及應(yīng)用范圍。

表3 抽樣檢驗方案設(shè)計方法優(yōu)劣及應(yīng)用范圍列表

5 excel表在產(chǎn)品抽樣檢驗方案設(shè)計中的應(yīng)用

(1)excel表插入函數(shù)介紹

A.泊松分布

P{X=d}=POISSON(d,λ,FALSE) ；P{X≤d}=POISSON(d,λ,TRUE)

其中λ=n*p為泊松分布的期望值。

B.二項分布

P{X=d}=BINOM.DIST(d,n,p,FALSE) ；P{X≤d}=BINOM.DIST(d,n,p,TRUE)

式中：n為樣本量；為d樣本中不合格品數(shù)或不合格數(shù)；p為不合格品率或不合格率。

(2)一次抽樣方案設(shè)計程序

下面通過舉例說明用excel表插入函數(shù)進行一次抽樣檢驗方案設(shè)計的程序。現(xiàn)對批量N為1000片復(fù)合片產(chǎn)品的抗彎強度進行計件型一次抽樣檢驗方案設(shè)計,經(jīng)生產(chǎn)方和使用方協(xié)商，得知α為0.0405、p0為0.015、β為0.1、p1為0.1064。其步驟如下：

A.按表1規(guī)定確定接收概率分布函數(shù)。本例預(yù)選用二項分布函數(shù)。

B.設(shè)計excel表頭。表頭如圖1所示。圖1中n10是與生產(chǎn)方同風險α匹配的樣本量,n11是與使用方同風險β匹配的樣本量，令：B1=n11/n10，B1應(yīng)盡量接近于1。

C.求樣本量n1及接收數(shù)Ac。

計算過程及結(jié)果如圖1所示。

由圖1可得出下列結(jié)論：

A.當Ac取2，n1、n10、n11取49或50時與要求最接近，當n1為49時對生產(chǎn)方有利，當n1為50時對使用方有利。抽樣檢驗方案以誰優(yōu)先，最好在合同中約定。若合同中無約定，樣本量n1可取中位值。

本例不合格品出現(xiàn)的概率用服從二項分布求解，得Ac等于2，n1等于50或49;由于接收數(shù)Ac只能取整數(shù)，該解與要求有一定的差距。

當Ac等于2，n1等于50時，若保持風險質(zhì)量p0等于0.015及p1等于0.1064不變，則生產(chǎn)方風險α為0.0392，使用方風險β為0.0877;若保持生產(chǎn)方風險α等于0.0405及使用方風險β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風險質(zhì)量p0為0.0152，使用方風險質(zhì)量p1為0.103。當Ac等于2，n1等于49時，若保持風險質(zhì)量p0等于0.015及p1等于0.1064不變，則生產(chǎn)方風險α為0.0373，使用方風險β為0.0949;若保持生產(chǎn)方風險α等于0.0405及使用方風險β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風險質(zhì)量p0為0.0155，使用方風險質(zhì)量p1為0.105。

圖1 一次抽樣方案設(shè)計截圖Fig.1 The screenshot of single sampling

B. 本批的不合格品件數(shù)D=15件，遠小于樣本量n=50件，因此本例不合格品出現(xiàn)的概率用服從二項分布求解是不合適的。本例不合格品出現(xiàn)的概率最好用服從超幾何分布求解，但因超幾何分布求解比較復(fù)雜，而p1為0.1064只稍超0.1，因此，本例不合格品出現(xiàn)的概率用服從泊松分布求解比較合適。

C. 如圖1所示，不合格品出現(xiàn)的概率用服從泊松分布求解的結(jié)果為：Ac等于2，n1等于50，與不合格品出現(xiàn)的概率用服從二項分布求解的結(jié)果相似。本例用服從泊松分布求解的結(jié)果完全滿足要求是因為本例取自GB/T2828.1國標中的一組數(shù)據(jù)，且在國標中就是以服從泊松分布求解的，這也有利于判斷本文計算是否正確。

(2)二次抽樣方案設(shè)計程序

下面仍以上述例子說明用excel表插入函數(shù)進行二次抽樣方案設(shè)計的程序。

A.按表1規(guī)定確定接收概率分布函數(shù)。如上所述，本例選用泊松分布函數(shù)。

B.用excel表計算一次抽樣方案

由上述計算可得一次抽樣方案：Ac=2,n1=50

C.對二次抽樣方案的某些參數(shù)進行估計

n2≈n1/1.55=32；0≤AC1≤2

1≤m1≤2； 0≤m2≤2;

D.設(shè)計excel表頭

用excel表設(shè)計二次抽樣檢驗方案的表頭如圖2所示。第3行及第4行為試算欄，第6行～第13行為結(jié)果欄。與生產(chǎn)方有關(guān)數(shù)據(jù)行表示的數(shù)據(jù)為λ20、p0、L0;與使用方有關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)為λ21、p1、L1；

當m1=2時，計算接收概率有P0、P1、P2三列，對應(yīng)的第2行取1、2；

E.試算

對AC1=0～2，m1=1～2，m2=0～2，逐項試算，若生產(chǎn)方風險α接近0.0405，使用方風險β接近于0.1,再改變樣本量。幾種較優(yōu)設(shè)計方案如圖2所示。

F.方案選擇

從圖2可見，當AC1=0、m1=2、m2=1、n2=32～39時, 均滿足設(shè)計要求。

此時:Re1=AC1+m1+1=3;AC2=AC1+m1+m2=3;Re2=AC2+1 =4

此例二次抽樣檢驗方案為：AC1為0、AC2與Re1為3、Re2為4、n2為32與39之間任意整數(shù)(以合同約定等為準)，若合同未約定，取中位數(shù)n2等于36。GB/T2828.1標準中,取n2取32,主要是考慮樣本量的系列化及標準化。

圖2 二次抽樣檢驗方案設(shè)計截圖Fig.2 The screenshot of the secondary sampling

由于接收數(shù)AC1及AC2、拒收數(shù)Re1只能取整數(shù)，該解與要求有一定的差距。當n2等于32時，若保持風險質(zhì)量p0為0.015及p1為0.1064不變，則生產(chǎn)方風險α為0.0228，使用方風險β為0.0997；若保持生產(chǎn)方風險α等于0.0405及使用方風險β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風險質(zhì)量p0為0.0184，使用方風險質(zhì)量p1為0.1063，該方案對生產(chǎn)方有利。當n2等于39時，若保持風險質(zhì)量p0為0.015及p1為0.1064不變，則生產(chǎn)方風險α為0.0399，使用方風險β為0.041；若保持生產(chǎn)方風險α等于0.0405及使用方風險β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風險質(zhì)量p0為0.0151，使用方風險質(zhì)量p1為0.0872，該方案對使用方有利。當n2等于36時，若保持風險質(zhì)量p0等于0.015及p1等于0.1064不變，則生產(chǎn)方風險α為0.0319，使用方風險β為0.0603；若保持生產(chǎn)方風險α等于0.0405及使用方風險β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風險質(zhì)量p0為0.0163，使用方風險質(zhì)量p1為0.0945，該方案生產(chǎn)方及使用方利益均等。

5 結(jié)論

(1)利用excel表插入函數(shù)可以很方便地進行各種條件下的一次抽樣檢驗方案及二次抽樣檢驗方案的精準設(shè)計，克服了采用圖或表設(shè)計時，在某些特殊要求下設(shè)計精度不夠的問題;

(2)質(zhì)量設(shè)計人員掌握了用excel表插入函數(shù)進行一次抽樣檢驗及二次抽樣檢驗方案設(shè)計方法，可了解國標GB/T2828系列標準中圖或表數(shù)據(jù)來源，對更好地理解和應(yīng)用GB/T2828系列標準進行超硬復(fù)合片的抽樣檢驗方案設(shè)計是十分有益的。