呂瓊?cè)A

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版五年級上冊第66、67頁。

【教學(xué)過程】

一、情境引入

師：仔細觀察下圖，你能得到哪些數(shù)學(xué)信息？

生：我看到許多平面圖形：公園是三角形，足球場是長方形，競技場是四邊形，小廣場是平行四邊形。

（教師依次畫出抽象圖形）

師：如果和面積單元結(jié)合起來，你能計算哪幾個圖形的面積？

生：我能求出長方形和平行四邊形的面積，不過需要知道圖形的底和高的數(shù)據(jù)。

教師依次在抽象出的圖形上標出數(shù)據(jù)——

師：長方形面積怎么求？平行四邊形呢？

生：長方形面積=長×寬，足球場的面積是：200×150=30000（平方米）。

生：平行四邊形面積=底×高，小廣場的面積是：200×150=30000（平方米）。

師：大家還記得我們是怎樣研究平行四邊形面積的嗎？

生：沿平行四邊形的高線切割，平移再拼成長方形。

師：為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形？

生：長方形的面積已經(jīng)學(xué)過。

師：原來研究時是把未學(xué)習(xí)的新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)研究過的圖形。（板書：轉(zhuǎn)化）那轉(zhuǎn)化成的這個長方形和原來的平行四邊形有什么關(guān)系呢？

生：同底、同高、面積也相同。

（根據(jù)學(xué)生回答板書：面積相同、同底同高）

師：非常好，我們研究新圖形的時候經(jīng)常是通過將新圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形，尋找新舊圖形間的關(guān)系，來推導(dǎo)出新圖形的面積計算方法。

師：現(xiàn)在還剩三角形和四邊形，你建議先研究誰呢？為什么？

生：先研究三角形，因為四邊形可以分割成兩個三角形。

師：看來研究了三角形面積，就可以計算出這個四邊形的面積了，你們的想法很不錯。

二、研究直角三角形

1.研究三角形面積。

師：你會求平面圖中這個三角形的面積嗎？

生：這個三角形的面積很好求，就是足球場面積的一半。

師：這是一個——

生：直角三角形。

師：如果我們先研究直角三角形，你們可以自己獨立研究嗎？老師為大家準備了一幅圖，圖中每個小正方形的邊長為1，請研究圖中直角三角形的面積。請你寫一寫、畫一畫，說明你的想法。

（學(xué)生獨立活動，教師巡回、收取典型作品）

2.交流研究方法。

（1）倍拼法。

師：大家能看懂這位同學(xué)的方法嗎？

師：你能從這三方面（板書：轉(zhuǎn)化 關(guān)系 面積）來說一說他是怎么研究的嗎？轉(zhuǎn)化成什么圖形？轉(zhuǎn)化前后的圖形面積、底、高之間有怎樣的關(guān)系？所以這個三角形的面積可以怎樣計算？

（2）等拼法。

師：誰能從三方面來說一說這個研究方法？

師：看這里有一份方案，你們有什么想說的嗎？

生：其實他倆想法差不多，都是轉(zhuǎn)化成長方形。

生：不同的是一個是取了高的一半，所以算法是底×（高÷2），另外一個是取了底的一半，算法就是（底÷2）×高。

相同：都轉(zhuǎn)化成了長方形的面積；

不同：高÷2（半高）

底÷2（半底）。

師：黑板上有三種不同的方法，你能來分分類嗎？為什么？

生：我建議分兩類：一類是轉(zhuǎn)化成面積是2倍的長方形，一類是轉(zhuǎn)化成面積一樣的長方形。

生：我也覺得分兩類：一類是拼上一個完全一樣的三角形；另一類是取自己底或高的一半割下來補成長方形。

教師引導(dǎo)學(xué)生定名：倍拼法、等拼法。

3.回顧小結(jié)。

師：這些方法有什么相同的地方嗎？

生：無論是哪種方法，都是將直角三角形轉(zhuǎn)化成了我們學(xué)過的長方形來研究面積的計算方法。

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了直角三角形的面積是怎樣計算呢？

生：底×高÷2。

師：這個公園的面積是？

生：200×150÷2=15000（平方米），公園也挺大的。

師：下一步我們來研究什么？在研究前你有什么猜測？

生：是不是三角形的面積都等于底×高÷2？

生：是不是三角形的面積都可以用倍拼法和等拼法來研究？

三、研究銳角三角形和鈍角三角形的面積

1.明確研究要求。

研究形式：同桌兩人一組合作研究。

研究內(nèi)容：選擇一種三角形進行研究。

研究材料：練習(xí)紙中的方格紙和信封中的三角形（為了研究方便，每一種三角形都多打印了幾份，只需要選擇其中的一種進行研究就可以了）。

研究過程：按照練習(xí)中的提示研究，做好觀察、思考和記錄。

2.分組研究。

3.交流反饋。

（1）銳角三角形。

組1：倍拼法。

生：把兩個完全一樣的銳角三角形拼成一個平行四邊形。平行四邊形的面積就是三角形面積的2倍，平行四邊形的底就是銳角三角形的底，平行四邊形的高就是銳角三角形的高。

轉(zhuǎn)化后圖形的面積=底×高

↓

三角形的面積=底×高÷2

師：有問題嗎？除以2是什么意思？

生：“除以2”是因為先前算的“底×高”是一個平行四邊形的面積，這個平行四邊形的面積是三角形的2倍，所以要“除以2”。

師：解釋的非常清楚。組1的這一段推理也環(huán)環(huán)相扣，非常精彩。還有不同的方法嗎？

↓

轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形——面積倍拼

組2：等拼法。

生：我們找到高的一半，畫底邊的平行線，然后把上面的三角形旋轉(zhuǎn)下來，拼成一個與原三角形面積相等的平行四邊形。平行四邊形的底就是銳角三角形的底，平行四邊形的高是銳角三角形高的一半。

轉(zhuǎn)化后圖形的面積

=底×（高÷2）

↓

三角形的面積=底×高÷2

師：大家覺得怎么樣？

生：都是轉(zhuǎn)化成平行四邊形，這種轉(zhuǎn)化方法使平行四邊形面積與三角形面積相等。

師：那為什么還要除以2？

生：因為現(xiàn)在的高是原來的一半，其實是高除以2。

生：那我想到也可以底來除以2。我可以上來畫一下嗎？

師：大家能明白嗎？

轉(zhuǎn)化后圖形的面積

=（底÷2）×高

↓

三角形的面積=底×高÷2

師：通過研究發(fā)現(xiàn)，銳角三角形的面積怎樣計算？

生：銳角三角形的面積=底×高÷2。

（2）鈍角三角形。

師：那鈍角三角形的研究結(jié)果如何？（課件呈現(xiàn)收集到的典型方法）同學(xué)們看看你們屬于哪一種？或者現(xiàn)在你看懂了哪幾種？

重點講評：這里有一種不一樣的方法——

兩個直角三角形面積相減

↓

轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形

4.歸納三角形的面積公式。

師：仔細觀察直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的研究過程和結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三角形面積=底×高÷2。

生：轉(zhuǎn)化時，都用到了倍拼或者等拼的方法。

生：三角形的面積是和它等底、等高的平行四邊形面積的一半（長方形是特殊的平行四邊形），所以平行四邊形面積是底×高，三角形面積是底×高÷2。

生：不同的轉(zhuǎn)化方法，公式一樣，其實含義不太一樣，“÷2”可能是面積除以2，也可能是底或高除以2。

師：同樣的結(jié)論有不同的解釋。剛剛大家從知識的角度做了分析，那大家看看我們研究的過程，有沒有什么值得分享的？

生：我覺得我們從直角三角形開始研究很明智，因為直角三角形一看就是與它等底等高的長方形的一半，面積好算，而且直角三角形研究出來了，銳角三角形和鈍角三角形都可以仿照它來研究。

師：就是說遇到困難時，可以給圖形分分類，從比較特殊的、容易研究的開始。

四、總結(jié)

師：今天我們從比較特殊的直角三角形開始，研究了各類三角形的面積算法，不僅知道了三角形的面積計算方法，而且知道了為什么是底×高÷2。

生：我們還得到了一些研究的方法——倍拼法、等拼法。

生：研究圖形可以從特殊圖形開始。

【編輯點評】

呂瓊?cè)A老師的這一篇設(shè)計，較為突出的特點是能夠通過前后有邏輯聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)，層層遞進地支持學(xué)生自主探索、掌握三角形的面積計算方法，為學(xué)生增加了學(xué)習(xí)和表現(xiàn)的機會。

顧泠沅等人指出中國教師常常在教學(xué)過程中使用過程性變式，以推動學(xué)生有效地找到解決問題的方法。呂老師這節(jié)課例的四個任務(wù)即可理解為一組過程性變式。

首先，呂老師創(chuàng)設(shè)了一個計算社區(qū)活動場所面積的問題情境，情境中的平面圖形經(jīng)過精心設(shè)計，圖形和圖形之間有著特殊的聯(lián)系，一方面可用以復(fù)習(xí)本節(jié)課的基礎(chǔ)知識，包括面積的概念、長方形、平行四邊形的面積計算、轉(zhuǎn)化的思想等等；另一方面，引出了三角形面積計算的問題，特別是突出了直角三角形的面積計算。其次，基于對學(xué)生認知基礎(chǔ)的了解（前測表明，學(xué)生普遍容易將直角三角形和相應(yīng)的長方形面積相聯(lián)系），并輔以情境圖的直觀支持，教師大膽下放直角三角形的面積探索任務(wù)。在反饋時，注意了兩個層面的要求：從知識上，概括出直角三角形面積=底×高÷2，為進一步概括三角形面積公式指示方向；從方法上，整理、分類得到倍拼法和等拼法，為進一步探索銳角三角形和鈍角三角形的面積做引導(dǎo)。在此基礎(chǔ)上，引發(fā)更大范圍和更深程度的學(xué)生有效參與，學(xué)生在銳角三角形和鈍角三角形的探索活動中，深入體驗和反思三角形的面積推導(dǎo)方法、邏輯表達及算法意義，優(yōu)秀的學(xué)生還可以進一步創(chuàng)新方法，聯(lián)通比較，形成更高程度的對知識和方法的概括。整個教學(xué)設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，行云流水、質(zhì)樸扎實，可以看做有指導(dǎo)的探索活動的一種范式。