謝 愷,秦鵬程

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院,安徽 合肥 230031)

炮位偵校雷達(dá)是保障炮兵全天候、全天時(shí)獲取戰(zhàn)場(chǎng)情報(bào)信息不可或缺的重要偵察裝備[1]。數(shù)據(jù)處理方法是決定炮位偵校雷達(dá)性能的關(guān)鍵技術(shù)之一[2]。隨著新型炮位偵校雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展,可以精確測(cè)量彈丸多普勒信息。由于多普勒信息中包含了彈丸的位置、速度等信息,充分利用多普勒信息可完善傳統(tǒng)彈丸測(cè)量模型。由于技術(shù)原因,傳統(tǒng)的炮位偵校雷達(dá)數(shù)據(jù)處理中,通常沒有應(yīng)用多普勒信息[2-3]。針對(duì)上述問題,王庭輝等提出了一種基于最小二乘擬合并充分利用徑向速度數(shù)據(jù)的新的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)策略[4];WU等也是將徑向速度納入彈道方程,建立了一種新的彈道運(yùn)動(dòng)模型[5]。但上述算法沒有針對(duì)炮位偵校雷達(dá)對(duì)多普勒信息進(jìn)行詳細(xì)建模,且未用真實(shí)的炮位偵校雷達(dá)數(shù)據(jù)對(duì)算法進(jìn)行分析驗(yàn)證。

為了進(jìn)一步提高外推算法的優(yōu)化性能,本文對(duì)炮位偵校雷達(dá)高精度的多普勒信息進(jìn)行建模處理,并將速度信息作為第四維觀測(cè)向量納入測(cè)量方程,完善彈道模型,以提高彈道目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的精度,構(gòu)建基于多普勒信息的七維狀態(tài)向量彈道外推模型[6]。并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行無跡卡爾曼濾波處理,以充分利用測(cè)量信息,提高算法的定位精度。最終提出了基于多普勒信息的七維狀態(tài)向量無跡卡爾曼濾波算法(七態(tài)DB-UKF算法),并結(jié)合真實(shí)彈道數(shù)據(jù)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 彈道模型

1.1 狀態(tài)方程

通常情況下,彈丸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式要結(jié)合彈丸運(yùn)動(dòng)模型來選取,對(duì)于射程不大的火炮,通常使用質(zhì)點(diǎn)彈道模型,取彈丸位置和速度變量作為狀態(tài)變量[7]?，F(xiàn)有的卡爾曼濾波方法中彈道系數(shù)是在每次濾波過程中以其為常數(shù)的條件下,將相鄰兩點(diǎn)的速度、加速度濾波值代入彈道方程進(jìn)行粗略估計(jì)求得的,這種估計(jì)形式存在較大的誤差,甚至超出了彈道系數(shù)的理論范圍,只能采用硬限幅的方式對(duì)其進(jìn)行限制。

本文采用非線性估計(jì)的方式求解彈道系數(shù),將其納入彈道方程,進(jìn)行濾波處理和參數(shù)估計(jì)[6]。為此,定義狀態(tài)向量為

x=(x1x2x3x4x5x6x7)=(xyzvxvyvzCb)

(1)

式中:(x,y,z)為彈道的位置(坐標(biāo))諸元;vx,vy,vz為彈道的速度諸元;Cb為彈道系數(shù)。

彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程可當(dāng)作狀態(tài)方程寫為

(2)

1.2 觀測(cè)方程

通常情況觀測(cè)量是狀態(tài)變量的線性組合,一般為雷達(dá)到彈丸的距離Rr、方位角α、俯仰角β,加入速度信息v后,可表示為

y=(Rrαβv)

(3)

雷達(dá)系統(tǒng)的測(cè)量方程可寫成如下的形式[4-5]:

(4)

式中:U為零均值高斯白噪聲,其方差為Q。為得到測(cè)量向量中的速度信息,對(duì)多普勒信息作出以下處理。

任意t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的多普勒頻率fd(t)(隱含t)為[8-9]

(5)

式中:λ=c/fc為雷達(dá)的工作波長(zhǎng)信號(hào),傳播速度取為光速c。因此,彈丸的徑向速度可表示為

(6)

多普勒頻率fd可通過雷達(dá)多普勒濾波器組數(shù)據(jù)加權(quán)得到。

某新型炮位偵校雷達(dá)的俯仰項(xiàng)測(cè)量采用頻掃體制,頻率fc與天線俯仰角θ存在映射關(guān)系[10],可表示[9]為

(7)

式中:θ為波束指向方向,λ0為基準(zhǔn)波長(zhǎng),f0為基準(zhǔn)頻率,l為連接相鄰頻向單元的線長(zhǎng)度,d為線陣間隔距離,l/d為重疊因子。頻率、方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系在實(shí)際雷達(dá)裝備的工程實(shí)踐中常以表格形式體現(xiàn),如表1所示。

表1 頻掃天線頻率、方向?qū)φ毡?/p>

表1中顯示了34個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的指向角正弦值。頻掃天線電磁信號(hào)的頻率fc對(duì)應(yīng)各波束指向θ,表中最低頻率點(diǎn)為9 GHz,步進(jìn)頻率為20 MHz。

隨著新型炮位偵校雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展,測(cè)角精度得到有效提高,按表1對(duì)應(yīng)得到的信號(hào)頻率準(zhǔn)確度也相應(yīng)提升;此外,隨著雷達(dá)信號(hào)處理硬件資源更豐富,多濾波器組組數(shù)增加,得到的多普勒頻率測(cè)量精度更高。因此,由式(6)得到的多普勒速度信息具有較高的精度。為驗(yàn)證多普勒速度信息的精度,對(duì)式(6)求導(dǎo):

(8)

將某新型炮位偵校雷達(dá)的典型參數(shù)代入式(8),可得多普勒速度誤差約為0.5 m/s。

2 無跡卡爾曼濾波(UKF)方法

UKF通過使用確定性采樣點(diǎn)來近似非線性分布的矩,它以UT變換為基礎(chǔ),采用線性最小均方估計(jì)的更新框架來進(jìn)行時(shí)間遞推。UKF的計(jì)算量與擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)處于同一量級(jí),但不需要求導(dǎo)計(jì)算Jacobian矩陣,可以處理不可導(dǎo)的非線性函數(shù),而且非線性分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算精度至少達(dá)到2階,性能優(yōu)于EKF[11-12]。以下為UKF算法。

將式(2)、式(4)離散化,可得非線性高斯離散時(shí)間系統(tǒng):

(9)

式中:x(k)∈Rnx為系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài),y(k)∈Rny為k時(shí)刻的觀測(cè)量;V(k)和U(k)分別為加性過程噪聲和測(cè)量噪聲,其協(xié)方差分別為R和Q。考慮一個(gè)L維高斯隨機(jī)變量x,經(jīng)過非線性變換后得到:

y=g(x)

(10)

(11)

(12)

(13)

通過下列方法可以計(jì)算變量y的均值和方差:

Yi=g(Xi),i=0,1,…,2L

(14)

(15)

(16)

針對(duì)式(9)～式(16)描述的系統(tǒng),UKF算法流程如下。

①初始化。

(17)

②計(jì)算樣點(diǎn)。

(18)

③時(shí)間更新。

Xk|k-1=f[Xk-1]

(19)

(20)

(21)

Yk|k-1=h[Xk|k-1]

(22)

(23)

④測(cè)量更新。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

3 仿真及分析

本文以122榴彈為例,利用靶場(chǎng)彈道精密測(cè)量雷達(dá)數(shù)據(jù),進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算,主要仿真條件如下。①?gòu)椡璋l(fā)射條件:初速v0=700 m/s,射角θ0=19.5°;②取雷達(dá)測(cè)量誤差:σr=6.5 m,σβ=σε=1.5 mil,σvr,d=0.4 m/s;③雷達(dá)距離炮位15 km,雷達(dá)初始采樣點(diǎn)的俯仰角為3.1°,采樣間隔300 ms,從初始采樣點(diǎn)繼續(xù)探測(cè)18個(gè)彈道點(diǎn)后采樣中止。采用兩點(diǎn)差分法對(duì)狀態(tài)進(jìn)行初始化。

分別建立六維狀態(tài)向量三維觀測(cè)向量、七維狀態(tài)向量三維觀測(cè)向量的彈道模型,用EKF、UKF對(duì)雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理[14],同時(shí),在以上算法觀測(cè)信息中加入多普勒速度形成基于多普勒速度信息的濾波算法,并重復(fù)上述過程,得到外推起點(diǎn),用龍格-庫(kù)塔法[15]外推發(fā)射點(diǎn)。進(jìn)行10 000次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),得到每種算法的定位精度圓中間誤差(Ecp)[16]、算法所需時(shí)間、彈道系數(shù)誤差、位置誤差以及速度誤差。

表2 外推算法仿真對(duì)照表

接下來對(duì)應(yīng)用多普勒信息的各算法進(jìn)行分析,比較其優(yōu)化效果。

表3 多普勒信息優(yōu)化效果對(duì)照表

由表3可以看出:上述各算法的計(jì)算量處于同一量級(jí),應(yīng)用多普勒信息后,使用EKF的外推算法定位精度優(yōu)化幅度比使用UKF外推算法的優(yōu)化幅度要高;使用七態(tài)濾波外推算法定位精度優(yōu)化幅度比使用六態(tài)濾波外推算法的優(yōu)化幅度要高。為分析以上算法改進(jìn)項(xiàng)取得的優(yōu)化效果,對(duì)考慮多普勒信息前后,各算法位置、速度、彈道系數(shù)誤差進(jìn)行了比較,圖1～圖3所示。

圖1給出了10 000次蒙特卡洛仿真中,濾波得到19個(gè)雷達(dá)采樣點(diǎn)(N)位置均值與精密測(cè)量雷達(dá)數(shù)據(jù)相應(yīng)各點(diǎn)差的均方根值Rp。由圖1可以看出:將多普勒信息納入觀測(cè)方程后,六態(tài)EKF外推算法的位置誤差略有上升;六態(tài)UKF外推算法的位置誤差有較大幅度的下降;七態(tài)EKF、七態(tài)UKF外推算法的位置誤差有少量增加。

圖2給出了10 000次蒙特卡洛仿真中,濾波得到19個(gè)雷達(dá)采樣點(diǎn)速度均值與精密測(cè)量雷達(dá)數(shù)據(jù)相應(yīng)各點(diǎn)的差的均方根值Rv。由圖2可以看出:應(yīng)用多普勒信息的六態(tài)算法和七態(tài)EKF外推算法可以有效降低濾波終點(diǎn)的速度誤差,而應(yīng)用多普勒信息的七態(tài)UKF外推算法濾波終點(diǎn)的速度誤差與原來處在同一水平。

將靶場(chǎng)彈道精密測(cè)量雷達(dá)數(shù)據(jù)相鄰兩點(diǎn)的速度、加速度濾波值代入彈道方程,求得彈道系數(shù)[4],作為仿真中的真實(shí)彈道系數(shù)。六態(tài)算法利用仿真雷達(dá)數(shù)據(jù),按上述方式求得彈道系數(shù);七態(tài)算法通過濾波得到彈道系數(shù),彈道系數(shù)性能對(duì)比如圖3所示,圖中S為仿真次數(shù)。是否加入多普勒信息對(duì)六態(tài)算法中彈道系數(shù)精度基本沒有影響,如圖3(a)、圖3(b)所示。而由圖3(c)、圖3(d)可以看出:考慮多普勒信息的七態(tài)濾波外推算法的彈道系數(shù)誤差RC有較大幅度降低,且誤差值均低于0.05。

綜上所述,可以得到以下結(jié)論:①EKF濾波估計(jì)精度相對(duì)較低,加入高精度的多普勒信息后能大幅度降低估計(jì)誤差,提高定位精度,結(jié)果如表3中六態(tài)EKF、七態(tài)EKF外推算法結(jié)果所示。②七態(tài)濾波外推算法將彈道系數(shù)納入狀態(tài)方程。因此,彈道方程中考慮多普勒信息,能有效提高彈道系數(shù)的估計(jì)精度,進(jìn)而降低外推誤差。但加入多普勒信息對(duì)六態(tài)算法的彈道系數(shù)精度沒有太大影響,而UKF算法本身又具有較高的估計(jì)精度,因此,加入多普勒信息后參數(shù)估計(jì)優(yōu)化效果較小,會(huì)出現(xiàn)表3中六態(tài)UKF定位精度提高幅度不大的現(xiàn)象。③由于位置誤差造成的影響將會(huì)直接疊加在外推落點(diǎn)上,而外推過程中的彈道系數(shù)誤差、速度誤差卻通過誤差累積使其影響不斷擴(kuò)大。雖然在圖1中六態(tài)EKF、七態(tài)外推算法應(yīng)用多普勒信息后算法的位置誤差稍有增加,但位置誤差主要是平移到定位誤差上,與速度誤差、彈道系數(shù)誤差等放大到定位誤差的累積效應(yīng)相比,基本可以忽略。因此,外推得到的炮位仍然具有較高的定位精度。

4 結(jié)論

本文針對(duì)傳統(tǒng)炮位偵校雷達(dá)觀測(cè)信息中對(duì)多普勒信息利用不完整的情況,提出針對(duì)具體炮位偵校雷達(dá)的多普勒速度信息作為第四觀測(cè)維,綜合各算法改進(jìn)項(xiàng)建立基于多普勒信息的七態(tài)UKF外推算法。對(duì)新算法位置誤差、速度誤差、彈道系數(shù)誤差進(jìn)行分析,總結(jié)取得外推精度、效率優(yōu)化效果的影響因素。該算法提高了彈道系數(shù)等參數(shù)估計(jì)精度,仿真分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:在同一計(jì)算水平下,該方法具有更高的定位精度。

本文基于單個(gè)系統(tǒng)模型進(jìn)行了彈道外推,如果遇到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與模型不符時(shí),會(huì)引起較大誤差。下一步將對(duì)交互多模(IMM)算法進(jìn)行研究,使用2個(gè)或更多的模型來描述彈道外推過程中的系統(tǒng)狀態(tài),最后通過有效的加權(quán)融合進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì),增強(qiáng)了模型的適應(yīng)性。