李文杰

(西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 航空材料工程學(xué)院，西安 710089)

0 引言

線性平臺(tái)的定位性能在精密工業(yè)領(lǐng)域(如生物技術(shù)、半導(dǎo)體技術(shù)和醫(yī)用光學(xué))方面具有重要作用[1-2]。近年來(lái)，隨著光學(xué)和電子等技術(shù)的快速發(fā)展，對(duì)其精密線性系統(tǒng)的定位精度要求也逐漸提高[3]。定位精度受多種因素影響，大體可以分為幾何誤差、熱誘導(dǎo)誤差源、切削力誘導(dǎo)誤差源及其它誤差源等。

為實(shí)現(xiàn)超精密定位，需要消除這些誤差源產(chǎn)生的不精確性。從自由度角度分析誤差源可以得到6個(gè)自由度相關(guān)的誤差，分別是3個(gè)平移誤差和3個(gè)旋轉(zhuǎn)誤差。通?？梢酝ㄟ^(guò)離線法對(duì)定位誤差進(jìn)行測(cè)量，以提高定位平臺(tái)的定位精度。近年來(lái)已有相關(guān)研究學(xué)者對(duì)不同自由度線性平臺(tái)誤差源進(jìn)行研究，并應(yīng)用各種測(cè)量設(shè)備測(cè)量線性平臺(tái)的不同自由度相關(guān)誤差[4-5]。但是，設(shè)備性能很大程度上影響了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，誤差測(cè)量過(guò)程中需要利用最佳傳感器以提高測(cè)量精度。雙球桿可以用來(lái)研究幾何誤差的影響，但是該方法無(wú)法分辨出誤差的具體類型，同時(shí)球桿的分辨率也比其他測(cè)量系統(tǒng)的分辨率低[6]；激光干涉儀測(cè)量幾何誤差最精確，但是可適用性較差、耗時(shí)長(zhǎng)[7]。

另一方面，目前已有的研究所提出的精密定位平臺(tái)都是針對(duì)微位移范圍內(nèi)提高運(yùn)動(dòng)定位精度。因此，對(duì)于較大行程的線性平臺(tái)位移運(yùn)動(dòng)難以實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。同時(shí)，已有的相關(guān)研究需要對(duì)外部測(cè)量系統(tǒng)的定位和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制，不同納米定位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或測(cè)量系統(tǒng)會(huì)對(duì)不同自由度誤差補(bǔ)償產(chǎn)生限制[8-9]。并且，之前的研究主要集中在特定誤差源產(chǎn)生誤差的測(cè)量與補(bǔ)償方面，例如幾何誤差和熱誘導(dǎo)誤差等主要誤差源。但是，這些離線補(bǔ)償方法在最小化幾何誤差時(shí)是有用的，由于其時(shí)變誤差源的特點(diǎn)故不適合用于熱誘導(dǎo)誤差或動(dòng)態(tài)誤差。

基于以上研究，本文提出一種6自由度超精密線性定位系統(tǒng)，并對(duì)該精密定位系統(tǒng)幾何誤差、熱誘導(dǎo)誤差以及動(dòng)態(tài)誤差進(jìn)行測(cè)量并實(shí)時(shí)補(bǔ)償。該系統(tǒng)采用剛度高、響應(yīng)速度快的并聯(lián)柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)，通過(guò)對(duì)該定位平臺(tái)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，針對(duì)提高定位系統(tǒng)性能提出遞歸補(bǔ)償算法；最后對(duì)比誤差補(bǔ)償前后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析均方根誤差和峰谷值誤差，用來(lái)驗(yàn)證該裝置的有效性。

1 6自由度超精密定位平臺(tái)的設(shè)計(jì)

1.1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)

線性平臺(tái)能夠提供大的工作空間和快速的加速度。本文所提出的6自由度超精密定位系統(tǒng)安裝在線性平臺(tái)上，其原理如圖1所示。通過(guò)壓電驅(qū)動(dòng)器對(duì)多自由度柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)較高分辨率。線性系統(tǒng)坐標(biāo)系與末端執(zhí)行器坐標(biāo)系之間關(guān)系恒定，與機(jī)床指令無(wú)關(guān)，見(jiàn)下式：

(1)

6自由度超精密定位平臺(tái)裝置如圖2所示。驅(qū)動(dòng)組件包括基準(zhǔn)平臺(tái)、移動(dòng)平臺(tái)、6個(gè)壓電驅(qū)動(dòng)器以及6個(gè)柔性關(guān)節(jié)。壓電驅(qū)動(dòng)器位于基準(zhǔn)平臺(tái)和移動(dòng)平臺(tái)之間。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，驅(qū)動(dòng)元件結(jié)構(gòu)剛性強(qiáng)，響應(yīng)速度快。兩自由度關(guān)節(jié)與移動(dòng)平臺(tái)項(xiàng)相連，3自由度關(guān)節(jié)與基準(zhǔn)平臺(tái)相連。因此，驅(qū)動(dòng)組件可以實(shí)現(xiàn)6自由度運(yùn)動(dòng)(三平移三旋轉(zhuǎn))。5個(gè)電容式傳感器和參考鏡作為測(cè)量工具測(cè)量幾何誤差、熱誤差以及動(dòng)力學(xué)誤差。傳感器采集的數(shù)據(jù)用于對(duì)精密平臺(tái)5自由度誤差進(jìn)行補(bǔ)償(兩平移誤差和三旋轉(zhuǎn)誤差)。補(bǔ)償算法和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)保持最終的目標(biāo)位置。

圖1 微納定位平臺(tái)原理

圖2 6自由度超精密定位系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1.2 動(dòng)力學(xué)分析

測(cè)量和驅(qū)動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)用于識(shí)別運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的中心和定義參考坐標(biāo)系，通過(guò)Abbe誤差的最小化實(shí)現(xiàn)對(duì)誤差的精確測(cè)量和補(bǔ)償。用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法計(jì)算補(bǔ)償特定誤差所需要的壓電驅(qū)動(dòng)器位移Δli(i=1,2,3)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái){M}、基準(zhǔn)平臺(tái){B}以及關(guān)節(jié){i},{j}的坐標(biāo)系統(tǒng)定義如圖3所示。

圖3 動(dòng)力學(xué)反解坐標(biāo)系統(tǒng)

參數(shù)hb和rb分別表示基準(zhǔn)平臺(tái){B}和關(guān)節(jié){i}關(guān)于基準(zhǔn)平臺(tái)上的高度和半徑。同樣地，參數(shù)hu和ru分別表示相對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng){M}和關(guān)節(jié)坐標(biāo)系統(tǒng){j}關(guān)于移動(dòng)平臺(tái)上的高度和半徑。其中關(guān)節(jié)坐標(biāo)系統(tǒng){i}和{j}通過(guò)運(yùn)動(dòng)鏈進(jìn)行確定，見(jiàn)式(2)。利用齊次變換矩陣對(duì)系統(tǒng)剛性部分的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模，其中R和P分別表示關(guān)節(jié)坐標(biāo)系{i}相對(duì)于{j}的旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矢量。

(2)

式(2)中具體參數(shù)計(jì)算如下：

P=(xyz)T

(3)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)受工作空間大小的限制，柔性關(guān)節(jié)的使用大大降低了工作空間的大小。因此，工作空間分析要求運(yùn)動(dòng)可行性驗(yàn)證，利用正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法計(jì)算了動(dòng)平臺(tái)的位姿和壓電陶瓷的位移。定義兩個(gè)平臺(tái)坐標(biāo)系統(tǒng)中每個(gè)關(guān)節(jié)的速度為ai,bi(i=1,2,...,6)，計(jì)算壓電驅(qū)動(dòng)器的位移，表示為di(i=1,2,...,6)。采用高斯-牛頓方法，結(jié)合式(4)和式(5)計(jì)算位移與6自由度誤差之間的關(guān)系。其中，壓電驅(qū)動(dòng)器范圍為±7.5mm。

(4)

(5)

表1 納米定位平臺(tái)設(shè)計(jì)參數(shù)

2 誤差測(cè)量及補(bǔ)償

如圖4所示，利用參考平面鏡和5個(gè)電容式傳感器對(duì)線性平臺(tái)5自由度誤差進(jìn)行測(cè)量。在運(yùn)動(dòng)參考鏡和5個(gè)電容式傳感器條件下，位置誤差的標(biāo)準(zhǔn)不確定性顯著增加。因此，使固定在傳感器位置上的末端執(zhí)行器沿軸向移動(dòng)，并根據(jù)傳感器測(cè)得的數(shù)據(jù)估計(jì)幾何誤差。參考坐標(biāo)系統(tǒng)用來(lái)定義測(cè)量和驅(qū)動(dòng)坐標(biāo)系識(shí)別移動(dòng)平臺(tái)的中心和傳感器的位置si(i=1,2,...,5)。參數(shù)l,h和w分別表示傳感器距離、高度以及寬度。利用式(6)計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)mi(i=1,2,...,5)，其中下標(biāo)表示不同傳感器編號(hào)：

(6)

圖4 誤差測(cè)量裝置

測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度直接受到基準(zhǔn)面平面度和傳感器性能(線性度和分辨率)等不確定因素的影響。因此，為了評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的可靠性，對(duì)測(cè)量設(shè)備的不確定度因素進(jìn)行了分析，并計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。用測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定了5自由度誤差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。本文通過(guò)設(shè)置傳感器與參考坐標(biāo)系之間的最佳關(guān)系，測(cè)量出5自由度誤差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

利用傳感器si(i=1,2,...,5)得到的數(shù)據(jù)計(jì)算5自由度誤差和各傳感器數(shù)據(jù)與幾何誤差的關(guān)系，見(jiàn)式(7)。因此，可以對(duì)驅(qū)動(dòng)軸{X}上兩位置誤差(水平直線度誤差δyx和垂直直線度誤差δzx)和三轉(zhuǎn)動(dòng)誤差(旋轉(zhuǎn)誤差εxx、俯仰εyx和偏轉(zhuǎn)誤差εzx)進(jìn)行計(jì)算。估計(jì)誤差可用于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和壓電驅(qū)動(dòng)器位移Δli計(jì)算。因此，6自由度定位機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)沿固定參考鏡的恒定姿態(tài)直線進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。

(7)

除了前面所討論的誤差外，雙伺服系統(tǒng)的制造誤差和裝配誤差也影響到直線軸的精度。為此提出誤差補(bǔ)償算法進(jìn)行補(bǔ)償以提高定位精度。理想坐標(biāo)系統(tǒng){X}i應(yīng)遵循參考坐標(biāo)系{R}的x軸，但是實(shí)際坐標(biāo)系統(tǒng){X}a會(huì)發(fā)生偏離。位置μ包括6自由度運(yùn)動(dòng)(三平移和三旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))，本文中由于系統(tǒng)可以對(duì)線性平臺(tái)5自由度誤差進(jìn)行測(cè)量，所以μ表示兩平移和三旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如式(8)所示：

μ=(δxxδyxδzxεxxεyxεzx)T

(8)

補(bǔ)償?shù)倪^(guò)程就是使實(shí)際位置的坐標(biāo)系統(tǒng){X}a應(yīng)與理想坐標(biāo)系統(tǒng){X}i重合，但由于雙伺服系統(tǒng)的制造和裝配誤差，以及幾何、熱感應(yīng)和動(dòng)態(tài)誤差等時(shí)變誤差，使得兩個(gè)坐標(biāo)系的匹配變得復(fù)雜。因此，采用臨界運(yùn)動(dòng)Δμi(i=1,2,...,n)進(jìn)行i次補(bǔ)償?shù)玫窖a(bǔ)償后的補(bǔ)償坐標(biāo)系{X}ith，見(jiàn)式(9)：

Δμi=(δiεi)T

(9)

式中，δi=(δxx,iδyx,iδzx,i)T，εi=(εxx,iεyx,iεzx,i)T。

進(jìn)行i次補(bǔ)償后，μ+∑Δμi對(duì)剩余運(yùn)動(dòng)Δμi(i=1,2,...,n)進(jìn)行補(bǔ)償。當(dāng)殘余運(yùn)動(dòng)Δμi(i=1,2,...,n)在公差范圍內(nèi)時(shí)，迭代過(guò)程就完成了。因此，雙伺服系統(tǒng)根據(jù)給定的公差控制坐標(biāo)系對(duì)實(shí)際坐標(biāo)系統(tǒng){X}a進(jìn)行匹配，具體補(bǔ)償流程圖如圖5所示。通過(guò)動(dòng)力學(xué)反解計(jì)算壓電驅(qū)動(dòng)器特定運(yùn)動(dòng)位移Δli(i=1,2,...,6)，通過(guò)測(cè)量的運(yùn)動(dòng)來(lái)計(jì)算的補(bǔ)償值，以滿足公差內(nèi)的剩余運(yùn)動(dòng)Δμi(i=1,2,...,n)，本文中設(shè)定公差值為60nm。

圖5 補(bǔ)償算法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)

為便于獲得所需要的關(guān)節(jié)尺寸，采用高精度電火花線切割加工的方法制備納米定位平臺(tái)的柔性關(guān)節(jié)。其中電容式傳感器、壓電驅(qū)動(dòng)器和參考平面鏡參數(shù)如表2所示。由于受參考平面鏡大小的限制，整個(gè)系統(tǒng)設(shè)置為寬100mm、長(zhǎng)80mm、高78.5mm。參考鏡由微晶玻璃制造，不受熱誘導(dǎo)引起的誤差影響。驅(qū)動(dòng)器組件安裝在線性軸上，固定參考鏡以最小化Abbe誤差。

用LabVIEW軟件對(duì)5自由度誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量和補(bǔ)償，補(bǔ)償算法對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器位移Δli(i=1,2,...,6)進(jìn)行計(jì)算。用激光干涉儀對(duì)電容傳感器和參考鏡測(cè)量結(jié)果的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。當(dāng)使用激光干涉儀測(cè)量定位誤差時(shí)，必須考慮Abbe誤差以進(jìn)行精確測(cè)量。因此，激光干涉儀的測(cè)量坐標(biāo)系與補(bǔ)償機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的基準(zhǔn)坐標(biāo)系相匹配，以盡量減少測(cè)量系統(tǒng)之間的Abbe偏移。具體測(cè)量結(jié)果如圖6所示。由圖6a和圖6b可知，基于6自由度定位系統(tǒng)提出的誤差測(cè)量系統(tǒng)計(jì)算得到的平移誤差和旋轉(zhuǎn)誤差測(cè)量結(jié)果與激光干涉儀實(shí)際測(cè)量結(jié)果相吻合，兩個(gè)測(cè)量方法之間的最大差值在數(shù)據(jù)的可重復(fù)性之內(nèi)。另外，隨著定位系統(tǒng)線性軸向位置的增大，旋轉(zhuǎn)誤差逐漸減小，表明該系統(tǒng)適用于具有較大行程的定位。因此，驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)中所使用的測(cè)量系統(tǒng)有效性。平移運(yùn)動(dòng)的峰谷誤差值為2.17μm，轉(zhuǎn)動(dòng)誤差為8.22rad/s。

表2 實(shí)驗(yàn)裝置參數(shù)

(a)平移誤差

(b)旋轉(zhuǎn)誤差圖6 誤差測(cè)量系統(tǒng)驗(yàn)證對(duì)比實(shí)驗(yàn)

精密平臺(tái)的5自由度誤差補(bǔ)償前后對(duì)比結(jié)果如表3所示。在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，補(bǔ)償后位置誤差和旋轉(zhuǎn)誤差的PV值分別降低到7%和5%。位置均方根誤差和旋轉(zhuǎn)均方根誤差分別減少了91%和96%。動(dòng)態(tài)條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與穩(wěn)態(tài)結(jié)果相比有增加的趨勢(shì)。然而，RMSE和PV在理論的公差范圍(±0.2弧秒的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和±50 nm的位置運(yùn)動(dòng))。因此，驗(yàn)證了本文提出的誤差補(bǔ)償算法的有效性。

表3 誤差補(bǔ)償結(jié)果

4 結(jié)論

本文提出一種6自由度線性超精密定位系統(tǒng)。該系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)期望的線性定位同時(shí)能夠?qū)缀握`差、熱誘導(dǎo)誤差和動(dòng)態(tài)誤差引起的6自由度誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償。補(bǔ)償機(jī)制采用柔性鉸鏈來(lái)獲得超精密定位，同時(shí)采用聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)剛度高、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)。通過(guò)對(duì)工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，提出基于遞歸技術(shù)的補(bǔ)償算法，提高了系統(tǒng)的定位精度，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了測(cè)量系統(tǒng)和補(bǔ)償算法的有效性。