王 鵬，朱長鋒，鄭志軍，虞吉林

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230026;2.中國工程物理研究院總體工程研究所,四川 綿陽 621999)

多胞材料在高速?zèng)_擊下具有變形局部化的典型特征。Reid等[1-2]研究了由圓環(huán)組成的一維系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)沖擊行為，提出了“結(jié)構(gòu)沖擊波”的概念，并在對木材的動(dòng)態(tài)壓潰實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了壓潰帶的沖擊波傳播特征。Zheng等[3]、Liu等[4]在對隨機(jī)蜂窩的動(dòng)態(tài)沖擊中觀察到3種變形模式，即均勻模式、過渡模式和沖擊模式。張新春等[5]、胡玲玲等[6]探討了胞元構(gòu)型對蜂窩結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)沖擊性能的影響。Zou等[7]認(rèn)為蜂窩中傳播的沖擊波波陣面在高速?zèng)_擊下具有胞元尺寸的寬度。Liao等[8]采用了局部應(yīng)變場計(jì)算方法表征了蜂窩鋁中一維沖擊波的傳播并得到了沖擊波速度的大小。一系列的一維沖擊波模型被發(fā)展來表征多胞材料中塑性壓潰行為，如R-PP-L模型(率無關(guān)、剛性-理想塑性-鎖定假設(shè))[2,9-10]和R-PH模型(率無關(guān)，剛性-塑性硬化假設(shè))[11-13]。然而，大部分的沖擊波模型都是基于準(zhǔn)靜態(tài)名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線得到的，直接得到動(dòng)態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在實(shí)驗(yàn)上是困難的。

多胞材料在動(dòng)態(tài)沖擊下存在變形局部化和應(yīng)力增強(qiáng)等現(xiàn)象，名義應(yīng)力應(yīng)變曲線失去了物理意義[4]。Zheng等[13]通過對泡沫鋁的三維細(xì)觀有限元模型的分析得到了波后應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)，并提出了D-R-PH(動(dòng)態(tài)，剛性-塑性硬化)模型來表征動(dòng)態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變行為。Barnes等[14]、Sun等[15]分別對開孔泡沫和閉孔泡沫進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究，也得到了多胞材料的動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。但這些研究都是針對沖擊模式下的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，對過渡模式下的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的認(rèn)識(shí)仍然不清楚。此外，文獻(xiàn)[13-15]中波后應(yīng)力都是由撞擊端的名義應(yīng)力得到的，缺少對材料內(nèi)部局部應(yīng)力信息的直接表征。

認(rèn)識(shí)多胞材料在中速過渡模式下的應(yīng)力應(yīng)變行為，對于完整地理解多胞材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系有重要意義。本文中將采用截面應(yīng)力計(jì)算方法研究基于細(xì)觀有限元模型的隨機(jī)蜂窩結(jié)構(gòu)在恒速?zèng)_擊下的應(yīng)力分布，分析沖擊波在隨機(jī)蜂窩中的傳播特性，表征隨機(jī)蜂窩的動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

1 數(shù)值模型

1.1 細(xì)觀有限元模型

采用二維Voronoi技術(shù)構(gòu)造隨機(jī)蜂窩結(jié)構(gòu)，詳細(xì)建模過程參見文獻(xiàn)[3]。如圖1，蜂窩試件的長和寬均為50 mm，試件的不規(guī)則度為0.3，由500個(gè)胞元組成。試件相對密度ρ0/ρs= 0.1，其中ρ0為蜂窩試樣變形前的初始密度，ρs為基體材料的密度。蜂窩試件的平均胞元尺寸約為2.5 mm，其值定義為與平均胞元面積相等的圓的直徑。

圖1 Voronoi蜂窩試件細(xì)觀有限元模型Fig.1 A cell-based finite element model of a Voronoi honeycomb specimen

采用ABAQUS/Explicit有限元軟件對蜂窩材料的恒速壓潰過程進(jìn)行數(shù)值模擬。胞壁材料由S4R殼單元(4節(jié)點(diǎn)，減縮積分、沙漏控制、有限膜應(yīng)變)進(jìn)行模擬。通過網(wǎng)格收斂性分析將模型劃分了10 480個(gè)殼單元，平均單元長度約為0.2 mm?；w材料屬性設(shè)置為彈性-理想塑性，材料參數(shù)設(shè)置為泊松比ν= 0.3，彈性模量E= 66 GPa，屈服應(yīng)力σy= 175 MPa，基體密度ρs= 2 700 kg/m3。所有接觸面均定義為通用接觸，摩擦因數(shù)取為0.02。為了模擬面內(nèi)變形，模型中所有節(jié)點(diǎn)的面外變形均被限制。

蜂窩試件的左右兩端設(shè)置兩個(gè)剛性面，左側(cè)剛性面以恒定不變的速度v沿x方向向右壓縮試件。在壓縮過程中右側(cè)剛性板為固支端，如圖1所示。

1.2 截面應(yīng)力計(jì)算方法

(1)

(2)

2 結(jié) 果

2.1 一維應(yīng)力分布

沖擊速度分別為200和50 m/s時(shí)的應(yīng)力分布如圖2所示。在任意名義應(yīng)變時(shí)刻下，應(yīng)力會(huì)在某個(gè)位置發(fā)生陡然減小，并且這個(gè)位置隨著名義應(yīng)變的增大往試件右側(cè)移動(dòng)。這說明在高速和中速撞擊下試件內(nèi)均存在沖擊波的傳播，應(yīng)力發(fā)生急劇變化的位置即為沖擊波波陣面的位置，中速撞擊下的波陣面區(qū)域相較于高速撞擊更加平緩。從圖2可以明顯地觀察到應(yīng)力增強(qiáng)現(xiàn)象，跨過沖擊波陣面，應(yīng)力由波前應(yīng)力迅速增加到波后應(yīng)力并幾乎保持不變。

圖2 兩種沖擊速度下的應(yīng)力分布圖Fig.2 One-dimensional stress distributions at two impact velocities

2.2 基于應(yīng)力分布得到?jīng)_擊波速度

圖3 一維的應(yīng)力分布及其應(yīng)力梯度分布Fig.3 One-dimensional stress distributions and the corresponding stress gradients

可以由應(yīng)力分布梯度來確定沖擊波波陣面Φ的位置，如圖3所示。應(yīng)力分布梯度反映了一維應(yīng)力在加載方向上的變化，在應(yīng)力梯度絕對值達(dá)到最大的拉格朗日坐標(biāo)位置，應(yīng)力變化最快，這個(gè)位置即為當(dāng)前時(shí)刻沖擊波波陣面的位置。中速和高速壓潰下波陣面位置均可以采用此方法得到。不同沖擊速度下得到的波陣面位置隨沖擊時(shí)間變化關(guān)系如圖4所示。在恒速壓縮情形下，沖擊波的波陣面位置與沖擊時(shí)間關(guān)系為線性關(guān)系。可通過對線性關(guān)系擬合得到的斜率來預(yù)估沖擊波速度。從圖4中可以看出，沖擊速度越大，斜率越大，則相應(yīng)的沖擊波速度也越大。

圖4 不同沖擊速度下沖擊波位置隨時(shí)間的關(guān)系Fig.4 Variation of shock front position with impact time at different impact velocities

2.3 一維沖擊波理論

除了由有限元結(jié)果直接得到的應(yīng)力信息來得到?jīng)_擊波速度之外，一維沖擊波理論也可以對蜂窩中的沖擊波傳播行為進(jìn)行描述。由應(yīng)力波理論[17]，跨波陣面的質(zhì)量和動(dòng)量守恒關(guān)系分別為:

vB(t)-vA(t)=vs(t)(εB(t)-εA(t))

(3)

σB(t)-σA(t)=ρ0vs(t)(vB(t)-vA(t))

(4)

式中:vs(t)是沖擊波速度,σB、εB、vB為波后方的應(yīng)力、應(yīng)變和速度，σA、εA、vA為波前方的應(yīng)力、應(yīng)變和速度。聯(lián)立這兩個(gè)守恒關(guān)系可以得到?jīng)_擊波速度與波前波后應(yīng)力、應(yīng)變的關(guān)系為：

(5)

圖5 一維應(yīng)力和應(yīng)變分布及其理想化Fig.5 One-dimensional stress and strain distributions and the idealizations

如果能直接從有限元結(jié)果中得到波前和波后應(yīng)力/應(yīng)變信息，就可以由式(5)計(jì)算得到?jīng)_擊波速度的大小。為了簡便，這里將這種結(jié)合沖擊波理論和數(shù)值模擬結(jié)果的方法叫做一維沖擊波理論方法。

通過對一維應(yīng)力和應(yīng)變分布求平均值，可以得到波前和波后的應(yīng)力和應(yīng)變，如圖5所示。圖中一維應(yīng)變分布采用文獻(xiàn)[8]提出的局部應(yīng)變計(jì)算方法得到。在求平均的過程中，為了消除沖擊波波陣面平均效應(yīng)的影響，將緊鄰波陣面附近1.5倍胞元半徑Rc內(nèi)的數(shù)據(jù)排除掉。波后應(yīng)力和應(yīng)變信息由沖擊端到Φ-1.5Rc區(qū)域內(nèi)平均得到，波前應(yīng)力應(yīng)變信息由Φ+1.5Rc到支撐端區(qū)域平均得到。再由式(5)就可以得到不同沖擊速度下的沖擊波速度。

2.4 沖擊波速度的比較

通過截面應(yīng)力和局部應(yīng)變場等有限元方法以及一維沖擊波理論方法都可以得到?jīng)_擊波速度。此外，也可由已有的沖擊波模型得到?jīng)_擊波速度的大小。由R-PP-L模型[2]得到的沖擊波速度為:

vs=v/εL

(6)

式中:εL為多胞材料的鎖定應(yīng)變。由R-PH模型[13]得到的沖擊波速度為:

(7)

式中:C為多胞材料的塑性硬化參數(shù)。在本文中，εL=0.64，C=0.226 MPa。

圖6 不同方法得到的沖擊波速度的比較Fig.6 Comparison of shock wave speeds obtained using different methods

由不同方法得到的沖擊波速度如圖6所示。由一維沖擊波理論方法以及R-PH沖擊波模型得到的沖擊波速度比較接近有限元方法得到的沖擊波速度，并且與沖擊速度的差值均為一個(gè)常值，即材料沖擊參數(shù)。然而由R-PP-L模型預(yù)估得到的沖擊波速度明顯高于有限元結(jié)果。這是由于R-PP-L模型采用的是鎖定不變的壓實(shí)應(yīng)變，實(shí)際上其值小于動(dòng)態(tài)壓潰的壓實(shí)應(yīng)變。由質(zhì)量守恒關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，壓實(shí)應(yīng)變越小，沖擊波速度越大。R-PH模型中的壓實(shí)應(yīng)變是隨沖擊速度變化的動(dòng)態(tài)應(yīng)變，因此更加適合描述多胞材料在動(dòng)態(tài)壓潰下的沖擊波傳播。

3 分析和討論

3.1 沖擊波速度的一致近似

前文中通過應(yīng)力分布得到了高速?zèng)_擊下的沖擊波速度與沖擊速度的關(guān)系。在中等沖擊速度下，仍然可以觀察到?jīng)_擊波傳播的現(xiàn)象[4,8]，因此仍然采用應(yīng)力梯度分布方法來確定沖擊波速度的大小，結(jié)果見圖7。當(dāng)沖擊速度很高的時(shí)候，沖擊波速度與沖擊速度呈線性關(guān)系并且兩者之間的差值幾乎為一個(gè)常數(shù)[13]。但隨著沖擊速度的減小，沖擊波速度趨近于常數(shù)。因此，沖擊波速度對沖擊速度的一階導(dǎo)數(shù)在低速和高速下分別趨于0和1，從低速到高速的完整曲線具有明顯的S型特征。利用S函數(shù)(sigmoid function)，沖擊波速度對沖擊速度的一階導(dǎo)數(shù)可以寫作：

(8)

式中:a和b為待定參數(shù)。上式的積分形式可以寫作：

(9)

圖7 沖擊波速度與沖擊速度的關(guān)系Fig.7 Variations of the shock wave speed with the impact velocity

3.2 動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的一致近似

在本文中考察的恒速?zèng)_擊情形中，若取εA=0,vA=0,vB=v和σA=σ0，由跨波陣面的守恒關(guān)系式(3)和(4)有:

(10)

將式(9)代入上式，可得：

(11)

與有限元結(jié)果的比較如圖8所示，圖中虛線對應(yīng)于式(11)。可見式(11)與有限元結(jié)果存在一定的誤差。事實(shí)上，在恒速?zèng)_擊下，沖擊波波陣面前方的應(yīng)變和粒子速度不能直接忽略。

圖9給出了不同沖擊速度下試件中的速度分布情況，局部粒子速度在沖擊波波陣面位置附近約兩個(gè)胞元區(qū)間內(nèi)急劇變小。當(dāng)沖擊速度為中等大小時(shí)，波陣面位置處的粒子速度變化更為平緩。整個(gè)波前區(qū)域處于低速狀態(tài)，近似呈線性分布，與沖擊速度的大小關(guān)系不大。沖擊波前方的粒子速度和變形不能忽略，可以通過圖9估算vA≈10 m/s，初始壓潰應(yīng)變?chǔ)臕取準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中常用的ε0=0.02。因此，由跨波陣面的守恒關(guān)系式(3)和(4)有:

(12)

將式(9)代入上式，可得:

(13)

圖8 波后應(yīng)變和波后應(yīng)力隨沖擊速度的變化Fig.8 Variations of strain and stress behind shock front with impact velocity

(14)

式中:α=vA/a,β=b/a,γ=c/a和B=ρ0a2。因此，式(14)給出恒速?zèng)_擊下動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的一致近似關(guān)系。準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的比較如圖10所示。在圖10中，準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線及動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)由有限元計(jì)算得到，動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線由式(14)得到。在動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的曲線上的每個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)著特定的一個(gè)沖擊速度。在高應(yīng)變情形下，動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系位于準(zhǔn)靜態(tài)曲線右側(cè)，這與已有文獻(xiàn)中的結(jié)論一致。隨著應(yīng)變的減小，動(dòng)態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系逼近準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線。

圖9 不同沖擊速度下的速度分布Fig.9 Velocity distributions at different impact velocities

圖1 0 準(zhǔn)靜態(tài)及動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.10 Quasi-static and dynamic stress-strain relations

4 結(jié) 論

采用細(xì)觀有限元模型研究了隨機(jī)蜂窩結(jié)構(gòu)在恒速?zèng)_擊下的動(dòng)態(tài)性能，采用截面應(yīng)力計(jì)算方法得到了隨機(jī)蜂窩試件內(nèi)的應(yīng)力分布和沖擊波速度，比較了高速?zèng)_擊下由不同方法得到的沖擊波速度與沖擊速度的關(guān)系。結(jié)果表明，R-PP-L模型高估了沖擊波速度，但R-PH模型以及一維沖擊波理論得到的沖擊波速度與有限元模擬得到的結(jié)果接近。在沖擊速度很高的時(shí)候，沖擊波速度與沖擊速度的關(guān)系趨于線性，但隨著沖擊速度的減小，沖擊波速度不斷減少并趨于常數(shù)。最后，發(fā)展了可以表征沖擊波速度與沖擊速度的關(guān)系的一致近似模型，并基于一維沖擊波理論發(fā)展了動(dòng)態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一致近似模型。這個(gè)模型可以對多胞材料在過渡模式及沖擊模式下的動(dòng)態(tài)壓潰行為進(jìn)行表征。