康小峰

1對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見稿）》指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.這些核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個整體.”六大核心素養(yǎng)各自都有其豐富的內(nèi)涵，它們在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)活動中體現(xiàn)，又通過學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動內(nèi)化為自身的核心素養(yǎng).這就要求數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)要從素養(yǎng)的高度來進行，為素養(yǎng)而教，用學(xué)科育人.概言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅起到指導(dǎo)和引領(lǐng)的作用，也彰顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價值.

2對例題教學(xué)的認識

例題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，它不僅能幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，還能讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).然而，當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，雖然師生每天都在進行大量的例題講解和訓(xùn)練，但學(xué)生的考試結(jié)果依然是不理想.究其原因，有些教師還是以自己的“一廂情愿”展開教學(xué)：教師講的多，學(xué)生參與的少;教師教法單一，學(xué)生沉悶;課堂貪多貪全，學(xué)生囫圇吞棗;忽視思維過程教學(xué)，不給學(xué)生充分時間思考;就題論題，缺乏對例題的優(yōu)化處理和必要的反思.那么，如何在例題教學(xué)中提升學(xué)生思維能力，拓展學(xué)生思維空間，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)就成了一個很重要的課題.本文擬探析如何在高中例題教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3核心素養(yǎng)視角下的例題教學(xué)案例分析

3.1案例呈現(xiàn)

案例 若實數(shù)x，y滿足x²+y²-2y=0，且（k-l）x-y-3k+5≤0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為———.（以下簡稱原題）

波利亞先生將數(shù)學(xué)解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實施計劃、回顧反思等四個階段，筆者認為教師的例題教學(xué)也應(yīng)遵循波利亞的四部曲，為學(xué)生的解題作一個良好的示范.接下來我們就從這四個方面展開.

3.2教學(xué)實施

弄清問題

（l）外顯條件有哪些？

實數(shù)x，y滿足二元方程x²+y²-2y=0且使不等式（k-l）x-y-3k+5≤0成立，等等.

（2）內(nèi)隱條件有哪些？

有序?qū)崝?shù)數(shù)組（x，y）可看成是以x²+y²-2y=0為圓上的點，同時始終位于直線（k-l）x-y-3k+5=0一側(cè)區(qū)域內(nèi)（包括邊界）.

（3）隱蔽條件有哪些？

對學(xué)生來說，挖掘直線（k-l）x-y-3k+5=0恒過點（3，2）是困難的，但這會為解題指明新方向，因為數(shù)形結(jié)合是解決恒成立問題的重要數(shù)學(xué)思想，往往會使解題直觀、簡潔.

說明 讓學(xué)生通過觀察與合作交流發(fā)現(xiàn)，任何一個數(shù)學(xué)問題的表征都是多元化的，一般可從代數(shù)和幾何兩個角度來切入.如本題從代數(shù)角度看它是一個有變量制約關(guān)系的二元不等式恒成立問題;從幾何角度理解它是圓上的動點始終在一條過定點的動直線的一側(cè)區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的線性規(guī)劃問題.這一表征過程讓學(xué)生獲取了“如何解這道題”的邏輯起點、推理目標(biāo)以及溝通條件與結(jié)論之間聯(lián)系的更多信息.有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

擬定計劃

（l）屬于什么知識板塊？

顯然屬于不等式板塊，主要考查方程問題和恒成立問題.

（2）涉及哪些相關(guān)知識？

主要涉及圓和直線的方程、以及直線與圓的位置關(guān)系、不等式等等.

（3）最終目標(biāo)是什么？

最終目標(biāo)明確，求參數(shù)k的取值范圍.

（4）完成目標(biāo)有哪些途徑？

分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;利用圓的參數(shù)方程，再分離參數(shù)求最值;利用直線和圓的位置關(guān)系求解.

說明 通過對相應(yīng)知識的回憶為后續(xù)解題策略的實施提供了良好的知識基礎(chǔ)，有利于真正讀懂題意，教會學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，將一個不等式恒成立問題通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，或是直線與圓的位置關(guān)系問題，從宏觀上把握了整個題目的解題方向，為解題計劃的實施埋下了伏筆.培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和轉(zhuǎn)化化歸思想.

實施計劃

按照剛才的思路嘗試去解決：

解法1（直接分離參數(shù)）：

原不等式可化為k（x-3）≤x+y-5，參數(shù)k的分離取決于x與3的大小.

問題l：如何判斷x與3的大小？

學(xué)生陷入了困境.

問題2：請大家回憶一下，在橢圓的幾何性質(zhì)一節(jié)中我們?nèi)绾翁剿鳈E圓上點橫、縱坐標(biāo)的取值范圍的？能否從方程與曲線的關(guān)系來看方程x²+y²-2y=0呢？

經(jīng)提醒，有學(xué)生將方程變形為x²+（y-1）²=1，利用（y-1）²的非負性得出-1≤x≤1.

又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這是一個圓心在（0，l）半徑為1的圓的一般式方程，畫圖可得圓上點橫坐標(biāo)x的范圍在[-l，l].從而k≥（x+y-5）/（x-3），接下來就是如何求

人一Jμ（x，y）=（x+y-5）/（x-3）的最大值，大部分學(xué)生先通過分離常數(shù)將表達式變形為μ（x，y）=l+（y-2）/（x-3）.

問題3：我們?nèi)绾蝸砬螅▂-2）/（x-3）的最大值呢？

對學(xué)生來說這并非輕而易舉的事情，二元函數(shù)的最值常見處理策略是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值，但本題顯然行不通.有學(xué)生提出用圓的參數(shù)方程將（y-2）/（x-3）轉(zhuǎn)化為（sinθ-1）/（cosθ-3），再求三角函數(shù)的最值，通過運算得出[（sinθ-1）/（cosθ-3）]=（1-3cosθ-sinθ）/（cosθ-3）²，因求不出極值點，所以無功而返.

問題4：同學(xué)們能否從目標(biāo)式（y-2）/（x-3）的形式入手，比如聯(lián)想它的幾何意義等等.

經(jīng)過全班同學(xué)的討論，大家一致認為（y-2）/（x-3）可看成是圓上的動點P（x，y）與定點Q（3，2）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為過點Q向圓引切線，求切線斜率的最大值，具體解法略.

解法 l 是在師生的共同合作中逐步走向深入的，大方向是分離參數(shù)，但接下來的操作卻極其坎坷，比如判斷x與3的大小關(guān)系，教師并不是直接告知結(jié)果，而是啟發(fā)學(xué)生回憶課本中探索橢圓上點坐標(biāo)范圍的過程，試圖引導(dǎo)學(xué)生將課本上的方法遷移過來，培養(yǎng)了學(xué)生的知識遷移能力;再如求（y-2）/（x-3）的最大值，用圓的參數(shù)方程處理后陷入了無法求出極值點的困境，此時教師提醒學(xué)生及時調(diào)整解題方向：從形的角度來審視目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)了學(xué)生的解題監(jiān)控能力和從數(shù)學(xué)思想的高度把握解題方向的意識.于不知不覺中提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng).其解題的策略和所需的核心素養(yǎng)，可用圖l表示.

解法2（數(shù)形結(jié)合法）

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，從不同角度看問題會有不同的感受.換一種視角去觀察，換一種方式去思考，也許會有意外的驚喜.

問題5：如果從形的角度，實數(shù)x，y滿足x²+y²-2y=0，它是一個圓，方程的解與圓上的點對應(yīng)，于是有了動點，這些動點都在同一個圓上，現(xiàn)在實數(shù)x，y又滿足（k-l）x-y-3k+5≤0，這個不等式的幾何背景又是什么呢？前面有無這樣的研究經(jīng)歷？

___有，“線性規(guī)劃”中關(guān)于不等式表示平面區(qū)域的研究.

接下來，學(xué)生主動提出了新問題：動點（x，y）既在圓x²+y²-2y=0上運動，又在直線（k-l）x-y-3k+5=0的一側(cè)區(qū)域內(nèi)（包括邊界），那直線與圓具有怎樣的位置關(guān)系呢？

經(jīng)過討論、交流，大家一致認為直線與圓是相離的.

問題6：從幾何視角原題轉(zhuǎn)化為解析幾何背景下的直線與圓的相離問題，如何來刻畫它呢？

學(xué)生自然知道：用點到直線的距離來刻畫，接下來大家躍躍欲試，由|4-3k|/[√（k-1）²+1]≥1，解得k≤l或k≥7/4.

問題7：答案對嗎？再畫畫圖試試？

一些反應(yīng)較快的學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線（k-1）x-y—3k+5=0恒過定點（3，2），結(jié)合圖形得出k≥7/4.

解法2從形的視角將一個二元限制條件下的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化一個線性規(guī)劃問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題，達到將一般意義下參數(shù)k的求解轉(zhuǎn)化為帶有濃厚幾何背景下參數(shù)的求解（k-l可看成是直線的斜率），考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng);由于教師啟發(fā)得當(dāng)，學(xué)生進而產(chǎn)生主動學(xué)習(xí)的傾向，這是必然的，又是自然的，主動地、數(shù)學(xué)地提出問題也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要因素;而在求解的過程中，發(fā)現(xiàn)不易舍去的兩解，倘若迎難而上，則會無功而返;這時，注意到動直線恒過定點，利用圓在直線一側(cè)的特殊性，數(shù)形結(jié)合，輕松應(yīng)對，從而達到以靜制動的效果，考查學(xué)生高水平的直觀想象素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)思想，樹立敢于質(zhì)疑善于思考的科學(xué)精神.解法2中解題的策略和所需的核心素養(yǎng)，可用圖2表示.

回顧反思

我們能否把這個計劃或者解法做點修正，使得上述利用圓的參數(shù)方程消元求解不留遺憾，解題過程更簡潔一些，優(yōu)美一些呢？那就做個全面的“回頭看”：直接代入圓的參數(shù)方程得（k-1）cosθ-sinθ+4-3k≤0，下一步如何處理，分離參數(shù)會重蹈覆轍，因此需要調(diào)整解題方向，認真觀察不等式左邊形式，這就需要啟發(fā)學(xué)生去回顧聯(lián)想以前，特別是“三角恒等變換”中的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從中去發(fā)現(xiàn)自己所用的方法，并用之于當(dāng)前新問題的探究學(xué)習(xí)中去，最終得出√（k-1）²+lcos（θ+φ）+4-3k≤0，分離參數(shù)得cos（θ+φ）≤（3k-4）/√[（k-1）²+1]……

在基本完成原題的教學(xué)任務(wù)之后，還要去做什么？——反思小結(jié).

問題8：以上三種解法基于什么角度得到的？它們的適用范圍是什么？對今后解題有何啟發(fā)？

問題9：哪種方法最簡單？為什么簡單？

問題lo：你會嘗試變題嗎，試試看？

說明 解法 l中圓參數(shù)方程運用的再思考，是教師借助學(xué)生已有的經(jīng)驗，幫助學(xué)生建立具體的經(jīng)驗和新問題之間的聯(lián)系，實現(xiàn)原解法從失敗到成功的完美過渡，培養(yǎng)了學(xué)生的知識遷移能力和思維的深刻性.這種“遇到問題怎么辦”具有方法論層面的意義.學(xué)生的這種自主探究能力，是核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).反思小結(jié)是例題教學(xué)的高潮處，也是點睛之筆，一個小小的問題串大大激發(fā)了學(xué)生對不同解題思維活動分析和解法比較的好奇心，使處于不同層次的學(xué)生會對現(xiàn)有的思維活動產(chǎn)生同化與順應(yīng)，促使其改進現(xiàn)有的思維方式，為下次同類問題的思維活動和方法選擇提供可借鑒的經(jīng)驗.有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4基于核心素養(yǎng)的例題教學(xué)的思考

例題教學(xué)的過程，就是教師帶領(lǐng)學(xué)生逐漸解開“謎底”的過程.從這個意義上講，數(shù)學(xué)例題教學(xué)就是一種“想問題”的過程，我們要順應(yīng)學(xué)生的認知，創(chuàng)設(shè)有利于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)情境，把“想”的過程呈現(xiàn)出來，教會學(xué)生遇到一個陌生的問題怎么去想，如何“從無到有”地尋找思路和調(diào)整策略，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題和解決問題，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與教師的講授無縫對接.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下的例題教學(xué)可從以下幾方面入手：

4.1在問題表征中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

現(xiàn)在的例題教學(xué)往往是，審題上老師替代包辦，舍不得花時間讓學(xué)生獨立審題，接下來便在“制訂計劃”上大做文章一各種方法狂轟濫炸，學(xué)生聽得云里霧里，實質(zhì)是沒有在“弄清問題”上下功夫的結(jié)果，我們知道例題教學(xué)很大程度上就是問題解決的教學(xué)，而問題表征是問題解決的前提，如果一個問題被合理地表征也就意味著問題解決前進了一大步，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從問題的條件和結(jié)論出發(fā)，不斷提取、轉(zhuǎn)換相關(guān)信息，通過符號表征、語言表征、操作表征、圖形表征等多種不同的表征形式，幫助學(xué)生，理解題目的深層次結(jié)構(gòu)，逼近問題的本質(zhì)，激活其已有的知識和經(jīng)驗，探索出不同的解題思路，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.2在問題思考中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是高高在上、不可捉摸的，它是有形的.正如王尚志教授所說：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能離開數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用、創(chuàng)新……它們綜合體現(xiàn)在‘發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程中.”筆者的理解是，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是以知識為載體，以問題為紐帶，在“發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題”的過程中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維來思考問題，這是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，也是學(xué)生需要具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).現(xiàn)行常見的例題教學(xué)形式是，學(xué)生到講臺板演、向同學(xué)表達自己的想法，這些活動雖較傳統(tǒng)的例題教學(xué)有很大改進，但仍只局限于“呈現(xiàn)解題的結(jié)果”，卻掩蓋了“怎么想的”和“怎么想到的”思維過程.怎樣讓學(xué)生學(xué)會思考？就是要讓學(xué)生在思考的過程中，去學(xué)會思考.這就要求教師設(shè)計好階梯型的問題串，通過提問的形式發(fā)現(xiàn)思路，并不斷引導(dǎo)學(xué)生去補充和評價，表達出自己的想法.比如，這個問題這樣想有什么弊端，能完善嗎？還有別的想法嗎？能改進嗎？最佳解決方案是什么？等等.在教學(xué)中，教師要有意識地讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作探究、互動交流中親身經(jīng)歷思考的過程，為其今后找到解題突破口和順利推進解題思維奠定基礎(chǔ)，只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)才能得到真正發(fā)展.