胡笑梅，華純良，王有剛，張子振

(安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠233030)

隨著計算機技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)信息系統(tǒng)已經(jīng)成為推進一個國家、乃至整個人類社會發(fā)展前進的重要手段，與此同時，信息安全問題也為日常工作過程中的信息共享帶來了挑戰(zhàn)，最典型的一個信息安全威脅便是計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播。為了有效防止網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，國內(nèi)外不少學(xué)者基于微分方程理論提出了多種利用網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，并取得了一定的研究成果[1-4]。文獻[2]研究了一類具有非線性免疫率的SIRS計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，文獻[5-7]研究了不同形式的具有分級感染率的計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型。但是，以上多數(shù)模型并未考慮反病毒軟件的免疫作用。最近，文獻[8]研究了如下具有直接免疫的SIRSA計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的穩(wěn)定性：其中，S(t)、I(t)、R(t)和A(t)分別表示易感主機、已感染主機、恢復(fù)狀態(tài)主機和免疫狀態(tài)主機（安裝有反病毒軟件）在時刻t的數(shù)量，C表示網(wǎng)絡(luò)中主機的常數(shù)接入率，αSA表示易感主機轉(zhuǎn)化為免疫主機的幾率，αIA表示已感染主機轉(zhuǎn)化為免疫主機的幾率，β表示易感主機的感染率，μ表示主機的自然“死亡”率，δ和σ均為狀態(tài)轉(zhuǎn)移率。但是，文獻[8]并未考慮網(wǎng)絡(luò)病毒在傳播過程中的時滯因素。眾所周知，時滯對動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著非常重要的影響，它可以使得一個動力系統(tǒng)由穩(wěn)定變得不穩(wěn)定，從而引起系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支。

Hopf分支是一種非常重要的非線性現(xiàn)象，對于計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型而言，這種現(xiàn)象表明模型所描述的網(wǎng)絡(luò)中幾類主機數(shù)量將由一種理想的穩(wěn)定狀態(tài)進入周期震蕩狀態(tài)，這將不利于網(wǎng)絡(luò)中計算機病毒傳播的有效控制。因此，研究計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的Hopf分支現(xiàn)象，對于計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的控制具有重要的理論指導(dǎo)意義[9]。同時，考慮到計算機網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏期，本文在模型(1)中進一步引入計算機網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏期時滯，得到下列具有時滯的SIRSA計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型：

其中，τ為計算機網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏期時滯。

1 Hopf分支的存在性

求解下列方程，

直接計算可得，如果條件(H1):

成立時，模型(2)存在唯一有病毒平衡點E*(S*,I*,R*,A*)，其中，

定理1對于模型(2)，如果條件(H1)～(H3)成立 ，則 當 τ∈[0,τ0)時 ，有 病 毒 平 衡 點E*(S*,I*,R*,A*)是局部漸近穩(wěn)定的；當τ=τ0時，模型(2)產(chǎn)生局部Hopf分支。

證明 模型（2）在E*(S*,I*,R*,A*)處的線性化部分特征方程為

當τ=0時，方程（4）變?yōu)?/p>

因此，根據(jù)赫爾維茨定理以及文獻[8]分析可知，當1＜R02＜R03時，方程(5)的根均具有負實部，即模型(2)局部漸近穩(wěn)定，其中，

當τ＞ 0時，令λ=iω(ω ＞ 0)為方程(4)的根，則

進而，有

其中，

令 ω2=v，則方程(7)變?yōu)?/p>

根據(jù)文獻[10]中對方程(8)根的分布情況的討論，我們假設(shè)

條件(H2)：方程(8)至少存在一個正實根v0，則方程(7)存在正實根ω0=，進而方程(4)存在一對純虛根±iω0= ±i。對于ω0，根據(jù)方程(6)可得

對方程(3)左右兩邊同時求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)：

2 仿真示例

選取下列參數(shù)C=10，αSA=0.000 45，αIA=0.002 5，β=0.2，μ=0.05，σ=0.8，δ=10，則模型(2)變?yōu)?/p>

經(jīng)過計算可知，系統(tǒng)(9)存在唯一有病毒平衡點E*(50.376,10.932 3,128.615 3,10.072 3)，進而計算得到ω0=0.966 8，τ0=0.458 7。根據(jù)定理1可知，當τ∈[0,τ0)時，系統(tǒng)(9)漸近穩(wěn)定，仿真效果如圖1，圖2所示。當τ＞τ0時，系統(tǒng)(8)失去穩(wěn)定并在τ0=0.458 7附近產(chǎn)生局部Hopf分支，仿真效果如圖3，圖4所示。

圖1 τ=0.35時，S-I-R相圖

圖2 τ=0.35時，I-R-A相圖

圖3 τ=0.525時，S-I-R相圖

圖4 τ=0.525時，I-R-A相圖

3 結(jié)論

本文在文獻[8]提出的SIRSA網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的基礎(chǔ)上，進一步引入了計算機網(wǎng)絡(luò)病毒的潛伏期時滯。相對于文獻[8]，本文所研究的模型更具一般性，主要研究了時滯τ對模型穩(wěn)定性的影響，所得結(jié)果是對文獻[8]研究工作的補充。研究表明，當時滯τ的取值足夠小時，可以更好地對計算機網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播進行有效控制。一旦時滯τ的取值超越臨界點τ0，模型將失去穩(wěn)定，并在τ0附近產(chǎn)生局部Hopf分支。這種情況下，將不利于計算機網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的控制。因此，應(yīng)該對于模型的Hopf分支進行有效控制，以便保證模型處于理想的穩(wěn)定狀態(tài)。但是本文并沒有對局部Hopf分支的性質(zhì)進行研究，這個問題我們今后將作進一步研究。。