舒阿秀，王禮想，夏祥偉

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

設(shè)G=（V，E）為n階簡(jiǎn)單連通圖，其頂點(diǎn)集V=V（G）={v1，v2，…，vn}，邊集E=E(G)為V的二元重集構(gòu)成的集合[1]。 稱(chēng)E中元素{u，v}（u≠v）為G的邊，邊{u，v}簡(jiǎn)記為uv。記為G的補(bǔ)圖，其頂點(diǎn)集V(=V(G)，邊集E()為把G中所有不相鄰頂點(diǎn)對(duì)連接起來(lái)得到的邊的集合。頂點(diǎn)v的度dG（v）是指G中與v關(guān)聯(lián)的邊數(shù)，G的最小度記為δ(G)。G中vi到vj的最短路的長(zhǎng)度，定義為vi與vj之間的距離，記作dG（vi，vj）。 如果圖G的每個(gè)頂點(diǎn)的度均為n-1，則稱(chēng)G為完全圖，記作Kn。如果圖G=（V，E）的頂點(diǎn)集V可以被劃分為互不相交的子集X和Y，使得V=X∪Y且任意邊e={u，v}均滿(mǎn)足u∈X，v∈Y或u∈Y，v∈X，則稱(chēng)G為二部圖，可記作G=（X，Y；E）。 若|X|=p，|Y|=q，并且X中所有頂點(diǎn)與Y中所有頂點(diǎn)都相鄰，則稱(chēng)G=（X，Y；E）為完全二部圖，記作 Kp,q。 設(shè) G1=（V1，E1）與 G2=（V2，E2）是兩個(gè)頂點(diǎn)不交的簡(jiǎn)單圖，它們的并圖為G1∪G2=（V1∪V2，E1∪E2），又記為G1+G2；若G1=…=Gk，則用kG1來(lái)表示G1∪…∪Gk；它們的聯(lián)圖為G1∨G2=（（G1）c∪（G2）c）c，即在 G1∪G2中添加由 G1中每個(gè)頂點(diǎn)到G2中每個(gè)頂點(diǎn)的邊所得的圖。若對(duì)每一個(gè)k（3≤k≤n），都含有長(zhǎng)度為k的圈Ck，則稱(chēng)G為泛圈圖。

圖G的Wiener指數(shù)是與分子化合物的物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)相關(guān)性很高的拓?fù)渲笖?shù)，由Wiener于1947年在文獻(xiàn)[2]中首先提出，記為W（G），被定義為G中任意兩個(gè)頂點(diǎn)的距離之和，即

圖G的hyper-Wiener指數(shù)作為Wiener指數(shù)的推廣，記為WW(G )，是Randi?于1993年在文獻(xiàn)[3]中首先提出的，并給出了無(wú)圈圖hyper-Wiener的定義，1995年，Klein等將hyper-Wiener的定義延伸到了所有的連通圖中[4]，

對(duì)含圈圖的研究一直是圖論中熱點(diǎn)研究領(lǐng)域之一，例如文獻(xiàn)[5]給出了一類(lèi)圖是X-可圈的充分條件。關(guān)于泛圈圖，Bondy在文獻(xiàn)[6]中利用任意一對(duì)不相鄰頂點(diǎn)度之和的界給出泛圈圖的一個(gè)充分條件；朱五華和葉淼林在文獻(xiàn)[7]中給出了一個(gè)泛圈圖的充分譜條件，同時(shí)在文獻(xiàn)[8]中利用補(bǔ)圖譜半徑的界,討論了泛圈圖的譜條件。本文主要利用圖及其補(bǔ)圖的Wiener指數(shù)、hyper-Wiener指數(shù)，給出具有最小度條件的簡(jiǎn)單連通圖是泛圈圖的充分條件。

引理1（此結(jié)果已被《安慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版》錄用） 設(shè)G為n階簡(jiǎn)單連通圖，δ≥2，如果e( G )≥則G是一個(gè)泛圈圖，除非G是一個(gè)二部圖或G∈NPC。

下面給出本文的主要結(jié)論。

定理1設(shè)G為n階簡(jiǎn)單連通圖，δ≥2，如果

則G是一個(gè)泛圈圖，除非G是一個(gè)二部圖或G∈NPC。

若G是一個(gè)二部圖或G∈NPC，則由引理1知，G不是泛圈圖。

定理2設(shè)G為n階簡(jiǎn)單連通圖，Gˉ為n階連通圖，δ≥ 2，如果

則G是一個(gè)泛圈圖，除非G是一個(gè)二部圖。

證明 假設(shè)G不是泛圈圖，通過(guò)引理1，得

若G∈NPC，則其補(bǔ)圖不是連通圖，與已知條件矛盾。故假設(shè)不成立，即G是泛圈圖。

若G是一個(gè)二部圖，則由引理1知，G不是泛圈圖。

定理3設(shè)G為n階簡(jiǎn)單連通圖，δ≥2，如果則G是一個(gè)泛圈圖，除非G是一個(gè)二部圖或G∈NPC。

證明 假設(shè)G不是泛圈圖，通過(guò)引理1，得或G是一個(gè)二部圖或G∈NPC。

若G是一個(gè)二部圖或G∈NPC，則由引理1知，G不是泛圈圖。

證明 假設(shè)G不是泛圈圖，通過(guò)引理1，得或G是一個(gè)二部圖，或G∈NPC。

若G∈NPC，則其補(bǔ)圖不是連通圖，與已知條件矛盾。故假設(shè)不成立，即G是泛圈圖。

若G是一個(gè)二部圖，則由引理1知，G不是泛圈圖。