江榮芬

求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)之一.解題時(shí)可以先求兩個(gè)平面的法向量所成的角，由于一個(gè)平面的法向量不唯一，長(zhǎng)度不等且有兩個(gè)方向，二面角的平面角范圍是0≤θ≤π.二面角的大小與其兩個(gè)面的法向量所成的角是“相等”還是“互補(bǔ)”成為難點(diǎn)和關(guān)鍵，本文擬給出一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷方法.

先來(lái)分析一下二面角與兩個(gè)法向量n1，n2所成角的關(guān)系，以便突破上述難點(diǎn)：

已知二面角α-l-β，在二面角內(nèi)任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，則l⊥平面PAB，設(shè)l∩平面PAB于點(diǎn)O，連結(jié)OA，OB，則OA⊥l，OB⊥l，記∠AOB＝θ，所以θ為二面角α-l-β的平面角.平面α的一個(gè)法向量為n1，平面β的一個(gè)法向量為n2，將這兩個(gè)法向量的起點(diǎn)均移至點(diǎn)P，當(dāng)兩個(gè)法向量同時(shí)指向平面或者同時(shí)遠(yuǎn)離平面（如圖1，圖2），則二面角的平面角θ與兩個(gè)法向量n1，n2所成的角〈n1，n2〉互補(bǔ)，即θ＝π- 〈n1，n2〉，概括為“同向互補(bǔ)”；

將這兩個(gè)法向量的起點(diǎn)均移至點(diǎn)P，當(dāng)兩個(gè)法向量一個(gè)指向平面，另一個(gè)遠(yuǎn)離平面（如圖3，圖4），則二面角的平面角θ與兩個(gè)法向量n1，n2所成的角〈n1，n2〉相等，即θ＝〈n1，n2〉，概括為“異向相同”.

圖1

圖2

圖3

圖4

理清了概念，我們?cè)賮?lái)看兩道例題：

例1如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C.

（1）證明：AC＝AB1；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角的余弦值.

圖5

解析（1）略.（2）因?yàn)锳C⊥AB1，AC＝AB1，O為B1C的中點(diǎn)，所以AO＝CO.又因?yàn)锳B＝BC，所 以 △BOA≌△BOC，所以O(shè)A⊥OB，從而OA，OB，OB1兩兩互相垂直.以為正交基底，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系O-x yz，不妨設(shè)，則.因?yàn)椤螩BB1＝60°，所以△CBB1為正三角形，則，故B1（0，1，0），A（0，0，1），.設(shè)平面AB1A1的一個(gè)法向量為n1＝（x1，y1，z1），則所以

圖6

不妨令x1＝1，則，所以平面AB1A1的一個(gè)法向量為.

點(diǎn)評(píng)二面角的平面角求法：第一步分別求出兩個(gè)平面的法向量；第二步計(jì)算這兩個(gè)法向量所成的角的余弦值；第三步借助具體的圖形判斷二面角的平面角與兩個(gè)法向量所成的角是相等還是互補(bǔ)關(guān)系，然后得出結(jié)論，這一步始終困擾著大家.先將向量n1＝起點(diǎn)放在坐標(biāo)系原點(diǎn)O，觀察向量n1的方向，再將其起點(diǎn)移至二面角內(nèi)的任意一點(diǎn)，判斷得向量n1指向平面AB1A1，按同樣的方法判斷得向量n2遠(yuǎn)離平面A1B1C1，故二面角C1的平面角與兩個(gè)法向量n1，n2所成的角相等.

例2如圖7，四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，，M為BC上一點(diǎn)，且.

（1）求PO的長(zhǎng)；

（2）求二面角A-PM-C的余弦值.

圖7

解析連結(jié)AC，BD，OM，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是以O(shè)為中心的菱形，則AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為正交基底，建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，因?yàn)椤螧AD＝，所以，所以.由題意知，所以設(shè)P（0，0，a），a＞0，則.因 為MP⊥AP，故，所以，由a＞0得a＝，即PO的長(zhǎng)為.

點(diǎn)評(píng)將向量起點(diǎn)放在坐標(biāo)系原點(diǎn)O（原點(diǎn)O也為二面角APM-C內(nèi)的一點(diǎn)）觀察向量n1的方向，判斷得向量n1指向平面AMP，按同樣的方法判斷得向量n2也指向平面PMC，故二面角APM-C的平面角與兩法向量n1，n2所成的角〈n1，n2〉互補(bǔ).