李 紅

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)，我們對(duì)于數(shù)學(xué)最初、最直觀的認(rèn)識(shí)就是數(shù)字.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”（由于歷史條件的限制，這里的數(shù)當(dāng)時(shí)是指有理數(shù)），畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)時(shí)，喜歡用沙灘上的小石子擺成不同的幾何圖形，于是就產(chǎn)生了一系列的圖形數(shù).

圖1

圖2

畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1，3，6，10，15，…時(shí)，小石子都能擺成正三角形，他把這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”（如圖1）；當(dāng)小石子的數(shù)目是1，4，9，16，25，…時(shí)，都能擺成正方形，這些數(shù)叫做“正方形數(shù)”（如圖2）.以此類推，還有長(zhǎng)方形數(shù)、梯形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等.

仔細(xì)觀察上面的圖形，不難發(fā)現(xiàn)圖形數(shù)有著很多有趣的規(guī)律：

三角形數(shù)是從1開(kāi)始的一些連續(xù)自然數(shù)的和，如

正方形數(shù)是自然數(shù)n的平方n2，如

任意兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)之和都是正方形數(shù)，如

古希臘人不僅研究了把點(diǎn)排列在平面上的圖形數(shù)，而且將其升級(jí)到了空間.如果把三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…“一層一層摞起來(lái)”，就可以形成“三棱錐數(shù)”1，4，10，20，35，56，84，120，…（如圖3）；同樣，如果把正方形數(shù)1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…“一層一層摞起來(lái)”，就可以形成“四棱錐數(shù)”1，5，14，30，55，91，140，204，…（如圖3）.其中已經(jīng)體現(xiàn)出我們數(shù)列學(xué)習(xí)中的“數(shù)列求和”的韻味了.

圖3

圖4

圖形數(shù)把抽象的數(shù)與直觀的圖形巧妙地聯(lián)系起來(lái)，真是集數(shù)形寵愛(ài)于一身呀！利用這個(gè)特點(diǎn)可以推出許多重要公式.把1，4，9，16，25這5個(gè)連續(xù)的正方形數(shù)稍加變形，排成如圖5的“摩天樓形數(shù)”.如果在它的兩側(cè)各加上同樣的5個(gè)連續(xù)的正方形數(shù)，就會(huì)得到一個(gè)如圖6的“長(zhǎng)方形數(shù)”.

圖5

圖6

推而廣之，就得到n個(gè)連續(xù)平方數(shù)的和的公式：.

圖形數(shù)用其生動(dòng)直觀的圖形，替代了煩瑣的計(jì)算，演繹出許多重要公式，真是不可思議！我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家楊輝也曾用獨(dú)特的“中國(guó)式圖形數(shù)”方法得出了這個(gè)公式.下面，就讓我們重溫一下他的方法：

取3份12，22，32，…，n2個(gè)小立方體，分別把它們組成A，B，C三個(gè)階梯狀的四角錐形，再把它們拼成如D的模樣（如圖7，以n＝4為例）：

圖7

然后，把最上面突出的一層小立方體，從水平方向一半的位置橫切一刀，則每個(gè)突出的小立方體都被一分為二，再凹凸相對(duì)合在一起，正好鋪滿層，于是得到一個(gè)長(zhǎng)方體.這個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)n+1、寬n，而高等于，體積是

因?yàn)檫@個(gè)立方體是由3份12，22，32，…，n2個(gè)小立方體拼成的，所以，于是得到連續(xù)平方數(shù)的和的公式：12+22+32+…+n2＝.這與古希臘人用圖形數(shù)法得到的公式是一致的.楊輝所用的方法，更直觀、更容易理解，真稱得上是精彩絕倫！

我們用數(shù)形結(jié)合與合情推理的方法，妙趣橫生地得到了重要的公式，小伙伴們是不是“驚艷”于圖形數(shù)的神奇呢？圖形數(shù)的魅力，妙不可言！