余亞明

學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)、技能時(shí)，在頭腦中貯存了大量的經(jīng)驗(yàn)，即“相似塊”。進(jìn)行思維活動(dòng)時(shí)若能借助這些已有的“相似塊”，在外界信息進(jìn)入大腦后自動(dòng)耦合、接通和激活，即活化相應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，被激活的部分在認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中不斷擴(kuò)充、延伸，而重新建構(gòu)起來的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又為接受新知識(shí)做好再次被激活的準(zhǔn)備，這樣不僅解決了數(shù)學(xué)問題，還能大大提高創(chuàng)新能力。

一、在概念教學(xué)中，活化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

恩格斯曾說過：“在一定意義上科學(xué)的內(nèi)容是概念的體系?！鼻д嫒f確，縱觀代數(shù)、幾何課本，都是由一個(gè)個(gè)概念有機(jī)結(jié)合而成的完整的知識(shí)體系。因此，在平時(shí)的概念教學(xué)中，教師切忌直截了當(dāng)?shù)鼐透拍钪v概念，應(yīng)更多地從概念的形成和發(fā)展的過程中為學(xué)生提供思維情境，在觀察、比較、概括，由特殊至一般，由具體到抽象，由感性到理性的過程中，活化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“同化”和“順化”，提高其自我評(píng)價(jià)能力。

1.掌握概念的內(nèi)涵，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

概念的內(nèi)涵就是概念所反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性，學(xué)習(xí)一個(gè)新要領(lǐng)，只有幫助學(xué)生真正掌握要領(lǐng)的內(nèi)涵，才能使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更完善。如在教學(xué)“數(shù)軸”這一概念時(shí)，先讓學(xué)生觀察直尺、秤桿、溫度計(jì)等熟悉的實(shí)物，使學(xué)生在大腦中建立起一個(gè)待學(xué)的幾何模型的表象，激活其“原認(rèn)知結(jié)構(gòu)”后，再引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)軸的概念：“把規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸?！碑嫵鰣D形結(jié)合概念再引導(dǎo)學(xué)生與三個(gè)實(shí)物對(duì)照，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解要領(lǐng)與實(shí)物之間的一般與特殊的關(guān)系。并強(qiáng)調(diào)數(shù)軸的本質(zhì)屬性，即“三要素”（原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度），最后再讓學(xué)生判斷：下列圖形中是數(shù)軸的是（ ），為什么？

實(shí)踐證明，這樣的概念教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生不僅在建立新概念的過程中，易掌握新概念的本質(zhì)屬性，而且在新概念的應(yīng)用中進(jìn)一步弄清了概念的內(nèi)涵，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.弄清概念的外延，激活學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

概念的外延，是概念所確指的對(duì)象的范圍，也就是概念所指的一切對(duì)象，而數(shù)學(xué)概念的外延隨著問題情境的變化，往往不易被學(xué)生認(rèn)清，從而導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)遷移不暢，原認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能活化。如果教師在概念教學(xué)中，有的放矢地激活原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就能克服自身思維定勢(shì)和聯(lián)想抑制的影響，啟動(dòng)原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“同化”和“順化”的機(jī)能。如筆者在教一元二次方程的判別式這一概念時(shí)，與學(xué)生一起研究了書上的幾道例（習(xí)）題，之后學(xué)生基本掌握了它的內(nèi)涵：“一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?！睘榱耸箤W(xué)生進(jìn)一步理解其外延，筆者設(shè)計(jì)了以下例題：

【例1】①已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，求實(shí)數(shù)的值。

②若二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，求實(shí)數(shù)的值。

③二次函數(shù)的最小值為零，求實(shí)數(shù)的值。

④已知的圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值。

雖然，以上各題提出問題的情境各不相同，但它們的共同點(diǎn)都是依賴于，建立的一元二次方程，從而解得的值，學(xué)生通過這一組題的練習(xí)，不僅理解了一元二次方程、二次三項(xiàng)式、二次函數(shù)三者之間的微妙關(guān)系，而且還進(jìn)一步弄清了一元二次方程根的判別式概念的外延，激活了根的判別式這個(gè)原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“同化”和“順化”。

二、在例（習(xí)）題的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

例（習(xí)）題是初中數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分，它是把知識(shí)、技能、思想和方法聯(lián)系起來的一條紐帶，是把知識(shí)化為能力的一座橋梁，例（習(xí)）題的教學(xué)過程是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知能力、促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“同化”和“順化”，從而實(shí)現(xiàn)新建構(gòu)的主渠道。

【例2】如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE。

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ。MP與NQ是否相等？并說明理由。

圖1 圖2 圖3

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知AB=AD，∠D=∠BAE=90°，根據(jù)正方形和垂直的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，可知∠DAF=∠ABE，根據(jù)全等三角形的角邊角判定定理，可知△ABE≌△ADF。根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，證得AF=BE。

評(píng)注：解決第（2）題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回歸到第一題的本質(zhì)，則問題迎刃而解。

（2）如圖3，過點(diǎn)A作AF∥MP交CD于F，過點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于點(diǎn)E。根據(jù)正方形和平行線的性質(zhì)證明四邊形AFPM和四邊形BNQE均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明AF=MP，BE=NQ，再用（1）問證得AF=BE，等量代換得證MP=NQ。

【例3】（1）如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，H在CD的延長(zhǎng)線上，四邊形CEFH為正方形，則△DBF的面積為—。

如圖5所示，連接CF。因?yàn)椤螩BD=∠ECF=45°，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，得CF∥BD，所以△BDF和△BCD為同底等高的三角形，故△DBF的面積等于△BCD的面積，即2×2÷2=2。

評(píng)注：解決第（2）題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把它與第（1）題適度嫁接，把第（1）題的認(rèn)知體系置換到第（2）題中，問題得以解決。

（2）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖6所示，點(diǎn)G在線段DK上，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4，則△DEK的面積為—。

如圖7，連接DB，GE，F(xiàn)K，則DB∥GE∥FK，

在梯形GDBE中，（同底等高的兩三角形面積相等），同理，則=4×4=16。

總之，數(shù)學(xué)知識(shí)是互相聯(lián)系、互相滲透的，有些題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)單一，可以將這些習(xí)題與其他典型問題適度嫁接，就能活躍學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，使學(xué)生形成較高的分析問題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。