蔣金團(tuán)

（云南省保山市施甸縣第一完全中學(xué)，云南 保山）

筆者曾發(fā)表過(guò)《一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)猜想及證明》文章，某讀者看過(guò)后，覺(jué)得文中“用反證法證明猜想”這一段抽象難懂，所以很有必要對(duì)該文章進(jìn)行完善和補(bǔ)充。如下面表格所示，將自然數(shù)分成十行，每一行都是公差為10的等差數(shù)列，第一行的通項(xiàng)公式為10k1+1（k1=0、1、2、3…），第九行的通項(xiàng)公式為 10k9+9（k9=0、1、2、3…），第十行的通項(xiàng)公式為 10k10+10（k10=0、1、2、3…）

一、討論變換特點(diǎn)

根據(jù)變換規(guī)則，對(duì)奇數(shù)實(shí)行“乘3加1”變換之后將變?yōu)榕紨?shù)，具體如下，第1行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第3行奇數(shù)將演變?yōu)榈?0行偶數(shù)，第5行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第7行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第9行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)。

根據(jù)變換規(guī)則，對(duì)偶數(shù)實(shí)行“除以2變換”變換，相應(yīng)的約束關(guān)系討論如下。

1.第2行偶數(shù)的變換特點(diǎn)

對(duì)第2行偶數(shù)實(shí)行“除以2”變換之后，有一半偶數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行奇數(shù)，另一半偶數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行偶數(shù)，相應(yīng)的約束條件如下：

（1）第 2行（10k2+2）除以 2轉(zhuǎn)變?yōu)榈?1行（10k1+1）時(shí)，有=10k1+1，即約束條件為，為保證k為整數(shù)，k只能12取偶數(shù)，即 k1=0、2、4、6、8、10…，對(duì)應(yīng)的 k1值為 k2=0、1、2、3、4、5…

上述討論結(jié)果可用如下流程圖表示：

（2）第2行（10k2+2）轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行（10k6+6）

上述討論結(jié)果可用如下流程圖表示：

同理可討論其他行偶數(shù)除以2之后的變換特點(diǎn)和上述流程類似，最后可把各行變換組成如下網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。

通過(guò)以上的網(wǎng)狀圖可以得出一個(gè)重要結(jié)論：當(dāng)自然數(shù)從某行演變?yōu)榱硗庖恍袝r(shí)，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的值都會(huì)在原來(lái)的基礎(chǔ)之上減半，因?yàn)榕龅健俺?”變換時(shí)，值將會(huì)分成奇偶兩支。

2.為了通俗理解，我們可以舉個(gè)例子，假設(shè)第6行數(shù)值按如下流程變換：

（1）設(shè)第6行數(shù)值的通項(xiàng)公式為10k6+6，此時(shí)的k6取一切自然數(shù)，k6=0、1、2、3、4、5、6…

（2）第6行的數(shù)值，有哪些能轉(zhuǎn)化為第3行（10k3+3）的數(shù)值？

（3）第3行的數(shù)值，有哪些能為第5行（10k5+5）的數(shù)值？

二、用反證法證明猜想

假設(shè)某個(gè)自然數(shù)按規(guī)則變換后沒(méi)有要落入“4-2-1-4”循環(huán)，則該數(shù)將無(wú)限度地變換下去，因?yàn)槌?、2、4外的自然數(shù)都不可能回到自身，這樣一來(lái)，將會(huì)遇到無(wú)窮次“除以2”變換，無(wú)論該數(shù)從哪一行開(kāi)始，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的k值都會(huì)在原來(lái)的基礎(chǔ)之上減半，k值最終只能取一個(gè)值，即變換最終在同一列之間進(jìn)行，根據(jù)網(wǎng)狀圖可知，沒(méi)有落入“4-2-1-4”循環(huán)的數(shù)將會(huì)多次經(jīng)過(guò)第6行，因?yàn)樽罱K只剩一列k值了，這說(shuō)明第6行的某個(gè)數(shù)值將會(huì)回到自身，這與文獻(xiàn)1的結(jié)論是矛盾的，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的，猜想是正確的。