周國華，劉勝道，劉月林，隗燕琳

(1.海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院,湖北 武漢 430033；2.定海裝備技術(shù)質(zhì)量監(jiān)測站，浙江 舟山 316000)

0 引言

與其它鐵磁物體一樣，由于磁滯效應(yīng)，在地磁場作用下的鋼鐵結(jié)構(gòu)艦船不僅存在著感應(yīng)磁性，還存在著剩余固定磁性。感應(yīng)磁性屬瞬時效應(yīng)，其計算技術(shù)研究相對較多；固定磁性屬累積效應(yīng)，與復(fù)雜的磁化歷史有關(guān)，因而固定磁性的計算一直是個技術(shù)難題。

目前，固定磁性的研究工作還不是很深入，文獻[1]用磁偶極子模型和遺傳算法對艦船固定磁性計算問題進行了一定程度探索；文獻[2]研究了薄殼簡化船模的感應(yīng)磁性與固定磁性混合模型，為艦載閉環(huán)消磁技術(shù)的研究奠定了基礎(chǔ)，但由于其將自身固定磁性引起的感應(yīng)磁性也納入磁場模型的感應(yīng)磁性范圍考慮，因此其難以滿足艦船磁性處理的技術(shù)需求。

由于磁化歷史的缺失，求解固定磁性只能采用逆問題的思路，即依靠磁傳感器測量得到部分磁場信息來反演計算鐵磁物體的固定磁性。通常情況下，通過磁場測量只能獲得固定磁性和感應(yīng)磁性的合成磁場。因此，為實現(xiàn)鐵磁物體固定磁性的求解，必須分2步：首先通過正演技術(shù)將鐵磁物體的感應(yīng)磁場分解出來；其次基于測量得到的合成磁場與計算得到的感應(yīng)磁場之差，通過反演技術(shù)來計算鐵磁物體的固定磁性。按照上述思路，本文提出了一種基于磁場積分法和截斷總體最小二乘(Truncated Total Least Square, TTLS)正則化方法的鐵磁物體固定磁性反演技術(shù)，并用鋼板固定磁性反演計算實驗對其有效性進行了驗證。

1 鐵磁物體固定磁性反演計算原理

在圖1所示的靜磁計算問題中，磁化強度為M的鐵磁物體在測量點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度可表示為M的函數(shù)

Bm=f(M)

(1)

用磁場積分法求解靜磁問題時算子f可表示為[3]

(2)

為消除積分奇異性，算子f的體積分形式在均勻磁化條件下可簡化為相應(yīng)的面積分形式[2,4]

(3)

由鐵磁學(xué)理論可知，在外磁場作用下的鐵磁物體，其內(nèi)部總磁化強度M可表示為由外磁場引起的感應(yīng)磁化強度Mind和由磁滯效應(yīng)產(chǎn)生的剩余固定磁化強度Mper之和，即M=Mind+Mper。因而，測量點處的磁感應(yīng)強度可分為2部分，即由感應(yīng)磁化強度產(chǎn)生的感應(yīng)磁感應(yīng)強度

(4)

和由固定磁化強度產(chǎn)生的固定磁感應(yīng)強度

(5)

通常情況下，感應(yīng)磁化強度和感應(yīng)磁感應(yīng)強度都可以通過正演方法計算得到，但固定磁化強度和固定磁感應(yīng)強度只能通過反演技術(shù)進行計算。為求得鐵磁物體的固定磁性，可建立下列固定磁性反演模型

(6)

AMper=b

(7)

式中A稱為系數(shù)矩陣，由算子f決定。求解上述反演模型就可解算鐵磁物體的固定磁性。然而，與其它應(yīng)用領(lǐng)域的逆問題一樣，由于測量信息的不足，反演模型(7)常表現(xiàn)出很強的病態(tài)性。測量數(shù)據(jù)中較小的測量誤差或感應(yīng)磁感應(yīng)強度中較小的計算誤差都可能引起固定磁性反演計算的較大波動。正則化方法為提高反演模型計算結(jié)果的穩(wěn)定性提供了手段。

2 固定磁性計算的各主要算法實現(xiàn)

從上述固定磁性計算原理分析過程中，不難發(fā)現(xiàn)求解鐵磁物體固定磁性的關(guān)鍵在于測量點處感應(yīng)磁感應(yīng)強度的正演計算和固定磁性反演模型的病態(tài)性處理，下面我們主要來研究有關(guān)這兩方面的具體算法實現(xiàn)過程。

2.1 感應(yīng)磁性的正演計算

為實現(xiàn)測量點處感應(yīng)磁感應(yīng)強度的計算，首先需計算鐵磁物體內(nèi)部的感應(yīng)磁化強度。不妨將鐵磁物體離散為N個六面體單元，當(dāng)各離散單元足夠小時，其內(nèi)部磁性參數(shù)可看作常數(shù)。以各單元中心為場點，根據(jù)總場B與磁化場Bm及源場B0的關(guān)系

B=Bm+B0

(8)

及場量關(guān)系式

(9)

則有

B(rpj)=-μrjB0(rpj)

(10)

式中：j=1,2,…,N；μr為鐵磁物體的相對磁導(dǎo)率；B0為外加磁化場。求解式(10)，結(jié)合式(9)和式(4)即可實現(xiàn)鐵磁物體在測量點處感應(yīng)磁感應(yīng)強度的計算。

2.2 固定磁性反演模型的病態(tài)性處理

隨著逆問題模型在各實際工程領(lǐng)域的出現(xiàn)，病態(tài)逆問題的求解方法也得到了深入研究。正則化技術(shù)能夠有效抑制數(shù)據(jù)誤差對病態(tài)逆問題計算結(jié)果的影響[5-9]。常用的正則化方法有截斷奇異值分解法、Tikhonov正則化方法和迭代正則化方法等，這類正則化方法的缺點是僅考慮了反演模型數(shù)據(jù)項含誤差的情形。在固定磁性反演模型中，不僅反演模型右端數(shù)據(jù)項中存在誤差，而且磁傳感器位置誤差、系數(shù)矩陣中各元素積分計算誤差都會給模型系數(shù)矩陣帶來誤差?？紤]到截斷總體最小二乘法(Truncated Total Least Square, TTLS)能夠有效處理病態(tài)反演模型兩端都存在誤差的情形[10]，本文將其應(yīng)用于固定磁性反演模型的求解，以提高反演計算的精度和穩(wěn)定性。

TTLS是在用總體最小二乘法(Total Least Square Method, TLS)求解逆問題的基礎(chǔ)上提出的。用TLS法求解逆問題離散模型時，同時考慮系數(shù)矩陣A和測量數(shù)據(jù)向量b中都存在誤差的情況。TLS的基本思想是用誤差向量Δb干擾測量數(shù)據(jù)向量b、誤差矩陣ΔA干擾系數(shù)矩陣A，以校正A和b兩者同時存在的誤差，即將式(7)轉(zhuǎn)化為求解下列優(yōu)化問題

(11)

s.t.(A+ΔA)Mper=(b+Δb)

式中‖·‖F(xiàn)為矩陣Frobenius范數(shù)。對增廣矩陣[Ab]作奇異值分解，有

(12)

從而可得式(11)的解[11]

(13)

(14)

可得逆問題模型(7)的TTLS解

(15)

正則化參數(shù)k的選擇決定著解的抗誤差干擾能力和計算精度，可由L曲線法或廣義交叉檢驗法來確定。本文采用L曲線法來確定正則化參數(shù)，L曲線的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別取為

3 鋼板固定磁性計算實例

3.1 鋼板磁場原始數(shù)據(jù)的測量

為實現(xiàn)鋼板固定磁性的計算，設(shè)計了圖2所示的測量點方案。鋼板尺寸為1 000 mm×200 mm×6 mm，相對磁導(dǎo)率140。在鋼板受外磁場B0=-34 500exnT縱向磁化的條件下，采用測磁精度為10 nT的三分量磁通門傳感器測量得到了圖2所示41×5平面點陣上的磁感應(yīng)強度數(shù)據(jù)B1，并以該磁場數(shù)據(jù)來進行鋼板固定磁性的建模計算。

為對計算結(jié)果進行評估，在鋼板分別受外磁場B0=-34 500exnT和B0=34 500exnT的磁化條件下，測量得到了距離鋼板582 mm的下方平面33×2點陣上的磁感應(yīng)強度數(shù)據(jù)B2和B3，以分解出鋼板感應(yīng)磁場和固定磁場測量值，即

3.2 鋼板感應(yīng)磁性正演計算

為求解鋼板感應(yīng)磁性，將鋼板離散為100個六面體單元，如圖3。感應(yīng)磁場正演計算模型(10)中各參數(shù)的計算可參見文獻[4]。圖4和圖5分別給出了鋼板內(nèi)部感應(yīng)磁化強度分布和測量點處感應(yīng)磁場Z分量計算值和測量值對比曲線。由圖可以看出，感應(yīng)磁場Z分量計算值與測量值之間具有很好的一致性，其計算誤差為6.7%。

3.3 鋼板固定磁性反演計算

在求解上述感應(yīng)磁場的基礎(chǔ)上，基于磁場測量數(shù)據(jù)B1建立了如下固定磁性反演模型

(16)

3.4 討論與分析

鋼板固定磁性反演結(jié)果表明，在鋼板較粗略的剖分下，其固定磁性計算就可達到滿意的計算精度，從而說明本文算法能夠有效重建鐵磁物體固定磁性分布。從其整個建模過程可以看出，其誤差來源主要為原始磁場測量誤差、感應(yīng)磁場計算誤差及反演模型病態(tài)性處理引入的舍入誤差。這些誤差的消除，可有效提高固定磁性反演計算的精度。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于磁場積分法和TTLS正則化方法的鐵磁物體固定磁性反演技術(shù)，為解決鐵磁物體固定磁性計算提供了一條技術(shù)途徑。鋼板固定磁性計算實例表明，該方法能夠根據(jù)磁場測量數(shù)據(jù)，有效重建其內(nèi)部固定磁性分布。該方法對研究艦船等鐵磁物體的固定磁性分布與提高艦船磁防護水平具有重要意義。