張家雄，張華山，曹曉瑞，黃喜元，孫 光

（中國運載火箭技術(shù)研究院 研究發(fā)展中心，北京 100076）

0 引言

近年來，撓性太陽電池陣成為航天領(lǐng)域的研究熱點[1-2]。太陽電池陣具有面積大、剛度低、阻尼小的結(jié)構(gòu)特點，導(dǎo)致其動力學(xué)特性復(fù)雜，一旦由于外界干擾力矩激勵起低階模態(tài)，輕則影響航天器正常工作，重則導(dǎo)致整個任務(wù)的失利[3]。因此，在設(shè)計階段建立太陽電池陣的精確動力學(xué)特性模型、開展彈性振動分析具有重要的現(xiàn)實意義。

航天器基頻遠(yuǎn)高于太陽電池陣，故通常情況下在振動分析中可假定航天器本體為剛體，太陽電池陣為柔性體，建立剛?cè)狁詈系膭恿W(xué)方程。該方法被廣泛采用，羅文采用混合坐標(biāo)法對衛(wèi)星-太陽電池陣進行剛?cè)狁詈辖4]；田強等采用絕對坐標(biāo)方法表達機械臂-星體-太陽電池陣剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)的動力學(xué)特性[5]；張巍耀等通過有限元模型和Adams聯(lián)合仿真建立航天器-太陽電池陣剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，求取航天器姿態(tài)調(diào)整過程中太陽電池陣的動態(tài)響應(yīng)[6]；馬鑫等采用梁、殼單元來模擬太陽電池陣結(jié)構(gòu)進行有限元建模，并通過模態(tài)分析獲取太陽電池陣的模態(tài)特性，開展動力學(xué)仿真分析[7]。國內(nèi)外學(xué)者對帶撓性附件航天器的動力學(xué)仿真研究較多[4,8-10]，特別是對于過度振動控制研究較為深入[11]，但對于太陽電池陣自身彈性載荷，特別是關(guān)節(jié)處的支撐載荷研究較少，而關(guān)節(jié)的載荷計算對關(guān)節(jié)電機的指標(biāo)設(shè)計尤為重要。

本文針對多自由度太陽電池陣在航天器姿控發(fā)動機干擾力作用下產(chǎn)生彈性振動可能導(dǎo)致鎖止電機失效的問題，以遠(yuǎn)距離操作工作模式為例，基于動力學(xué)模型開展動力學(xué)仿真，獲得太陽電池陣姿態(tài)運動信息和廣義坐標(biāo)，進行太陽電池陣關(guān)節(jié)剛體、彈性載荷分析研究，以指導(dǎo)太陽電池陣的機構(gòu)設(shè)計。

1 帶太陽電池陣航天器模型

1.1 帶太陽電池陣航天器幾何模型

典型的帶太陽電池陣航天器幾何模型如圖1所示，太陽電池陣基板及其展收機構(gòu)通過O點與航天器連接；在軌運行過程中太陽電池陣需要實現(xiàn)對日定向，因此其基板需要以A點為中心繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)，A點需要配置機械鎖定機構(gòu)以確保太陽電池陣在航天器本體運動產(chǎn)生的慣性載荷下保持展開姿態(tài)的穩(wěn)定。此外，航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制過程中可能激勵起太陽電池陣的彈性模態(tài)，導(dǎo)致額外的慣性力。因此需要計算太陽電池陣以A點為中心繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)的慣性載荷，包括剛體運動載荷和彈性振動載荷，以便為A點鎖止電機的設(shè)計提供輸入條件。

圖1 帶撓性太陽電池陣的航天器模型Fig.1 Spacecraft model with solar panels

1.2 太陽電池陣有限元建模及模態(tài)分析

對太陽電池陣結(jié)構(gòu)進行有限元建模，基板采用殼單元模擬，展收機構(gòu)采用梁單元模擬，將太陽電池陣上的電池片等主要模擬質(zhì)量用非結(jié)構(gòu)質(zhì)量附加在殼單元上，最后采用局部質(zhì)量點單元對太陽電池陣整體質(zhì)量特性進行配置使其滿足要求，形成的太陽電池陣有限元模型如圖2所示。

圖2 太陽電池陣有限元模型Fig.2 Finite element model for the solar panel

采用MSC.NASTRAN的103求解器對太陽電池陣有限元模型進行模態(tài)分析，獲取其模態(tài)特性，結(jié)果如圖3所示，太陽電池陣一階模態(tài)0.47 Hz，繞x軸旋轉(zhuǎn)；二階模態(tài)0.89 Hz，繞y軸旋轉(zhuǎn)。本文給出太陽電池陣根部固支狀態(tài)模態(tài)頻率10 Hz以下的共12階模態(tài)，作為航天器-太陽電池陣剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)仿真的輸入。

圖3 太陽電池陣模態(tài)特性Fig.3 Modal analysis for the solar panel

2 動力學(xué)分析模型

2.1 多自由度太陽電池陣航天器動力學(xué)方程

一般假設(shè)航天器為剛體，撓性附件太陽電池陣變形很小，采用矢量表達的航天器動力學(xué)方程可以簡化為：

式中：m為 航天器總質(zhì)量；為航天器加速度矩陣（3×1）；Bt為太陽電池陣平動耦合系數(shù)矩陣（3×n）；q為模態(tài)廣義坐標(biāo)（n×1）；為模態(tài)廣義速度（n×1）；為模態(tài)廣義加速度（n×1）；F為控制力矩陣（3×1）；I為航天器慣量矩陣（3×3）；為航天器角加速度矩陣（3×1）；Br為太陽電池陣轉(zhuǎn)動耦合系數(shù)矩陣（3×n）；T為控制力矩矩陣（3×1）；ξ為阻尼系數(shù)矩陣（n×1）；?為模態(tài)頻率（n×1）；n為模態(tài)階數(shù)。

2.2 太陽電池陣關(guān)節(jié)剛體載荷

將整個太陽電池陣離散成M個dm質(zhì)量點，根據(jù)點的相對運動求解每個點的慣性加速度，點乘質(zhì)量矩陣得到每個點的慣性力，然后叉乘位移矢量可得到關(guān)節(jié)的剛體載荷。圖4為太陽電池陣任一點dm的運動示意：Oxyz為慣性靜坐標(biāo)系，O′x′y′z′為動坐標(biāo)系，O′x′y′z′相對Oxyz的位移矢量為、速度矢量為v0、加速度矢量為a0；點dm相對O′x′y′z′的位移矢量為r′、速度矢量為v′、加速度矢量為a′、角速度矢量為ω′、角加速度矢量為，相對Oxyz的絕對位移矢量為rm、速度矢量為vm、加速度矢量為am。

圖4 太陽電池陣任一點相對運動示意Fig.4 Relative motion for any point on the solar panel

根據(jù)位移矢量和

求一階導(dǎo)數(shù)得

對式(5)求二次導(dǎo)數(shù)，

由于太陽電池陣與航天器固連，v′=0、a′=0，所以考慮剛體運動狀態(tài)下，動點dm相對靜系Oxyz的絕對加速度為

太陽電池陣關(guān)節(jié)的剛體載荷為

式中l(wèi)為動點dm到關(guān)節(jié)點A的位移矢量。

2.3 太陽電池陣關(guān)節(jié)彈性載荷

考慮質(zhì)點dm的彈性，dm發(fā)生振動變形后相對彈性系Oexeyeze的位移矢量為re、相對速度矢量為ve、相對加速度矢量為ae。不考慮dm相對彈性系Oexeyeze的轉(zhuǎn)動量，太陽電池陣任一點的相對運動如圖5所示。

圖5 考慮彈性振動的太陽電池陣任一點相對運動Fig.5 Relative motion for any point with consideration of elastic vibration

已知i階模態(tài)廣義坐標(biāo)和模態(tài)振型Φi，re、ve、ae與qi、Φi的關(guān)系式為

與式(4)同理，

求2次導(dǎo)數(shù)后，考慮太陽電池陣彈性狀態(tài)下，動點dm相對靜系Oxyz的絕對加速度為

忽略式(13)中的二次項，可將其簡化為

太陽電池陣關(guān)節(jié)的彈性載荷為

3 仿真分析結(jié)果

3.1 仿真參數(shù)

取頻率小于10 Hz的前12階模態(tài)，根據(jù)以往經(jīng)驗將模態(tài)阻尼取為0.005。

3.2 模態(tài)廣義坐標(biāo)

圖6為仿真計算得到的前12階模態(tài)廣義坐標(biāo)，由圖可知，前3階響應(yīng)較大，第4～第12階模態(tài)響應(yīng)較小，基本可以忽略。

圖6 前12階模態(tài)廣義坐標(biāo)Fig.6 The modal coordinates of the first 12 orders

3.3 剛/彈載荷計算

根據(jù)式(10)和式(15)計算得到A點的x向和y向鉸鏈力矩Mx和My，如圖7和圖8所示。由圖可知，彈性載荷大于剛體載荷的計算結(jié)果，且從趨勢來看，彈性載荷以剛體載荷計算結(jié)果為中心線上下振蕩，這與外界干擾力激勵起低階模態(tài)有關(guān)。

圖7 A點Mx剛體和彈性載荷計算結(jié)果對比Fig.7 Rigid and elastic load analysis of Mx for point A

圖8 A點My剛體和彈性載荷計算結(jié)果對比Fig.8 Rigid and elastic load analysis of My for point A

4 結(jié)論

本文通過對航天器太陽電池陣模型的簡化，著重考慮機構(gòu)及連接結(jié)構(gòu)剛度的模擬和整體質(zhì)量特性模擬，建立太陽電池陣有限元模型以及動力學(xué)分析模型，開展動力學(xué)仿真，求解太陽電池陣關(guān)節(jié)處的剛體載荷和彈性載荷，得到主要結(jié)論如下：

1）從模態(tài)廣義坐標(biāo)仿真結(jié)果來看，前3階模態(tài)響應(yīng)較大，高階模態(tài)響應(yīng)較小，基本可以忽略；從各階模態(tài)彈性振動的收斂情況來看，未出現(xiàn)彈性發(fā)散的現(xiàn)象。

2）彈性載荷大于剛體載荷的計算結(jié)果，且從趨勢來看，彈性載荷以剛體載荷計算結(jié)果為中心線上下振蕩，這與外界干擾力激勵起低階模態(tài)有關(guān)。

本文通過結(jié)合動力學(xué)仿真和工程算法求解太陽電池陣關(guān)節(jié)的彈性載荷，解決了太陽電池陣鎖止機構(gòu)指標(biāo)設(shè)計的難題，避免了以往采用剛體算法不精確的缺陷，確保了航天器在軌任務(wù)的可靠性。

需要說明的是，本文以遠(yuǎn)距離操作工作模式為算例，實際彈性載荷計算過程中應(yīng)該充分覆蓋航天器的所有工作模式，確保所有可能引起太陽電池陣彈性振動發(fā)散的外在因素都在考慮范圍之內(nèi)。