廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級(jí)中學(xué)(528225) 徐正印 陳基耿

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題在近年高考試題中出現(xiàn)了四次,已經(jīng)引起了眾多老師們的關(guān)注.文[1-8]對(duì)極值偏移問(wèn)題都作了深入的研究,大都給出了極值點(diǎn)偏移的定義,闡述了極值點(diǎn)偏移的原因與本質(zhì),并各自給出其解法,都有新意,甚至是獨(dú)到的見(jiàn)解.

縱覽文[1-8],解決極值偏移問(wèn)題共有四種辦法:(1)構(gòu)造一元差函數(shù),如文[1,3-5,7-8],都總結(jié)了解題的步驟;(2)對(duì)稱法構(gòu)造函數(shù),如文[6]給出一個(gè)結(jié)論(定理),歸納其解題步驟,舉例詳細(xì)說(shuō)明如何使用定理;(3)使用對(duì)數(shù)平均不等式,如文[2,4]都明確給出對(duì)數(shù)平均不等式的定理,并對(duì)這個(gè)定理加以證明;(4)單調(diào)性法,如文[1].遺憾的是在文章快結(jié)束時(shí)才出現(xiàn),未給出其解題步驟.

構(gòu)造一元差函數(shù)(文[1-8]都涉及),大部分學(xué)生難以領(lǐng)悟其解題要領(lǐng),只會(huì)機(jī)械的套用,解題的過(guò)程中常常這樣或那樣的錯(cuò)誤,導(dǎo)致問(wèn)題得不到解決.文[1]開(kāi)頭的導(dǎo)入(一次測(cè)試的平均分)就很好的說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.

對(duì)稱法構(gòu)造函數(shù)是構(gòu)造一元差函數(shù)的改進(jìn),是2010年天津高考數(shù)學(xué)(理)第21題的提煉.前者引入的函數(shù)是F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),后者引入的函數(shù)是h(x)=f(x)-f(2x0-x),因此,對(duì)稱法構(gòu)造函數(shù)的本質(zhì)與構(gòu)造一元差函數(shù)從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一樣的.

對(duì)數(shù)平均不等式目前還不是高中教材的內(nèi)容.限于高中數(shù)學(xué)課時(shí)節(jié)數(shù)、學(xué)生的認(rèn)知水平等原因,筆者相信大部分高中,尤其是非重點(diǎn)高中的數(shù)學(xué)教師不會(huì)為了解決極值點(diǎn)偏移的問(wèn)題而專門補(bǔ)充對(duì)數(shù)平均不等式對(duì)應(yīng)的知識(shí)!

筆者喜歡“一題多解”,崇尚“多題一解”,倡導(dǎo)“高中的問(wèn)題盡量采用高中課本所涉及的思想方法去解決”.為此,筆者查閱了大量涉及“函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題”的論文,得到極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的統(tǒng)一方法.實(shí)踐表明,學(xué)生能較好地掌握這種解法.

一、方法歸納

涉及極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的統(tǒng)一解法的大致步驟:

(1)不妨確定x1＜x0＜x2;

(2)把x1+x2＞2x0或x1+x2＜2x0化為x1＞2x0-x2或x1＜2x0-x2;

(3)利用f(x)的單調(diào)性得到f(x1)＞f(2x0-x2)或f(x1)＜f(2x0-x2);

(4)利用f(x1)=f(x2)得到f(x2)＞f(2x0-x2)或f(x2)＜f(2x0-x2);

(5)分兩種情況:情況一,需要證明f(x2)＞f(2x0-x2)或f(x2)＜f(2x0-x2),進(jìn)入下一步;情況二,利用題設(shè)條件可以(如例3的第II問(wèn))確定:f(x2)＞f(2x0-x2)或f(x2)＜f(2x0-x2),不等式得到證明.

(6)在證明f(x2)＞f(2x0-x2)或f(x2)＜f(2x0-x2)時(shí),一般先進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,如:f(x2)＞f(2x0-x2)?f(x2)-f(2x0-x2)＞0或f(x2)＜f(2x0-x2)?f(x2)-f(2x0-x2)＜0,···,然后用類比思想引入函數(shù).不直接引入函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x)的主要原因是為了降低運(yùn)算量,避免求二階導(dǎo)數(shù).

二、應(yīng)用舉例

例1(2013年高考湖南省文科)已知函數(shù)f(x)=.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

1.1.2 管理體系 技能競(jìng)賽是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，需要完善的組織機(jī)構(gòu)和健全的運(yùn)行機(jī)制，為其深入持久的開(kāi)展提供保障。學(xué)校成立了由分管教學(xué)工作的校領(lǐng)導(dǎo)、教務(wù)科、教研室和深圳現(xiàn)代牙科器材有限公司技術(shù)培訓(xùn)中心負(fù)責(zé)人組成的技能競(jìng)賽指導(dǎo)委員會(huì)，負(fù)責(zé)技能競(jìng)賽活動(dòng)的整體規(guī)劃與領(lǐng)導(dǎo)。技能競(jìng)賽指導(dǎo)委員會(huì)下設(shè)辦公室，負(fù)責(zé)技能競(jìng)賽項(xiàng)目審核、競(jìng)賽經(jīng)費(fèi)及競(jìng)賽檔案管理等?？谇唤萄惺揖唧w負(fù)責(zé)技能競(jìng)賽題庫(kù)制定和競(jìng)賽項(xiàng)目的設(shè)置，組織實(shí)施培訓(xùn)輔導(dǎo)計(jì)劃，監(jiān)控競(jìng)賽準(zhǔn)備及實(shí)施過(guò)程，并通過(guò)“現(xiàn)代杯”選拔全國(guó)“日進(jìn)杯”參賽選手。

證明(I)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).

(II)由(I)知:f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;在(0,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)?所以不妨設(shè)x1＜0＜x2.

例2(2016年高考全國(guó)I卷理科)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(I)求a的取值范圍;

(II)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2＜2.

例3(2010年高考天津理科)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(II)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,求證:當(dāng)x＞1時(shí),f(x)＞g(x);

(III)由(I)知:f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(x1)=f(x2)(x1≠x2),所以不妨設(shè)x1＜1＜x2.x1+x2＞2?x1＞2-x2?f(x1)＞f(2-x2)?f(x2)＞f(2-x2).由(II)知:當(dāng)x2＞1時(shí),f(x2)＞f(2-x2),不等式x1+x2＞2得證.

例4(2011年高考遼寧理科)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)設(shè)a＞0,證明:當(dāng)時(shí),;

(III)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明:f′(x0)＜0.

證明(I)當(dāng)a≤0時(shí),f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)a＞0時(shí),f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為;f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.