☉浙江省象山縣教育局教科研中心周林祥

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要育人任務(wù)，而過(guò)程教育是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.但在以浙教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)3.3“立方根”為載體的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過(guò)程教育不到位的問(wèn)題.鑒于此，筆者在重復(fù)觀摩與反思的基礎(chǔ)上，以問(wèn)答的形式呈現(xiàn)該課的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)問(wèn)題及參考答案，供讀者參考、研究.

問(wèn)：該課研究的對(duì)象是什么？它是在怎樣的背景下提出來(lái)的？

答：該課研究的對(duì)象是“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的運(yùn)算.它是在學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上，為解決形如“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的需要提出來(lái)的，因?yàn)樾稳纭耙阎獂3=a（a是已知數(shù)），求x”的運(yùn)算有豐富的現(xiàn)實(shí)情景.

問(wèn)：該課研究的內(nèi)容是什么？其地位與作用分別是什么？

答：從立方根的概念體系中可以分析出該課研究的內(nèi)容是：開(kāi)立方、立方根的概念，立方根的符號(hào)表示，求具體數(shù)的立方根，立方根的有關(guān)事實(shí).其邏輯關(guān)系如圖1所示.“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的運(yùn)算具有豐富的現(xiàn)實(shí)情景，用根號(hào)表示立方根的式子在實(shí)數(shù)運(yùn)算中會(huì)經(jīng)常遇到，求數(shù)的立方根是需要學(xué)生掌握的基本技能，由一般到一般或由特殊到特殊的研究方法在教學(xué)實(shí)踐中會(huì)經(jīng)常用到.

圖1

問(wèn)：產(chǎn)生“已知x3=a，求x”有哪幾種方式？哪種方式比較合適？

答“：已知x3=a，求x”可以看成是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，也可以看成是從“已知底數(shù)和指數(shù)3，求其冪”中演繹出來(lái)的，還可以看成是通過(guò)類(lèi)比“已知x2=a，求x”得出的，也可以看成是從具體的“（？）3=8”等中歸納出來(lái)的.但采用演繹方式更能促使學(xué)生感悟立方與開(kāi)立方是互逆運(yùn)算.

問(wèn)：數(shù)學(xué)概念有幾種定義形式？定義該課中的概念可用怎樣的形式？

答：數(shù)學(xué)概念的定義形式大致可分為白描、歸納和抽象這3種.例如，畫(huà)出三角形，定義“這樣的圖形為三角形”為白描形式；畫(huà)出一些包括三角形在內(nèi)的多邊形，定義“由三條邊構(gòu)成的多邊形為三角形”為歸納形式；直接給出定義“由三條線段首尾相接所組成的平面圖形為三角形”為抽象形式［1］.盡管立方根概念的形式特征比較明顯，能從外形上直接觀察和識(shí)別，并且教學(xué)要求不高，但學(xué)生對(duì)方程根的認(rèn)識(shí)還沒(méi)有達(dá)到一定的“深度”，而開(kāi)立方與立方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，所以定義立方根宜采用抽象形式.

問(wèn)：根據(jù)立方根有關(guān)事實(shí)的教學(xué)性質(zhì)，獲得立方根的有關(guān)事實(shí)要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟？

答：立方根有關(guān)事實(shí)的教學(xué)性質(zhì)是原理教學(xué)，所以它要遵循原理教學(xué)的基本規(guī)范，但這些事實(shí)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，不必經(jīng)歷原理教學(xué)完整的認(rèn)知過(guò)程，可以在求數(shù)的立方根的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納猜想得到.其基本過(guò)程可以是：用立方運(yùn)算求有代表性的數(shù)的立方根→歸納猜想立方根的有關(guān)事實(shí)→表達(dá)立方根的有關(guān)事實(shí).

問(wèn)：根據(jù)上述確立的研究思想，該課研究的內(nèi)容有何教育價(jià)值？

答：用演繹方式產(chǎn)生“已知x3=a，求x”的過(guò)程和所蘊(yùn)含的從運(yùn)算角度提出問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，用抽象形式定義開(kāi)立方和立方根的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想、符號(hào)表示思想，解釋立方根概念的過(guò)程和所蘊(yùn)含的從數(shù)學(xué)概念中可以分解出判定和性質(zhì)兩個(gè)命題的經(jīng)驗(yàn)，用立方運(yùn)算求數(shù)的立方根的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想、化歸思想、間接運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，求數(shù)的立方根之后反思的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，這些對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力、能力和個(gè)性有積極影響.

問(wèn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)該課的過(guò)程中可能會(huì)遇到哪些認(rèn)知障礙？

答：盡管學(xué)生有從運(yùn)算角度提出問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但從“底數(shù)指數(shù)=冪”中提出“已知x3=a，求x”，估計(jì)對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)有難度；盡管學(xué)生學(xué)過(guò)許多數(shù)學(xué)概念，但從兩個(gè)方面理解概念的本質(zhì)特征，大部分學(xué)生無(wú)先前經(jīng)驗(yàn)；盡管學(xué)生有用平方運(yùn)算求數(shù)的平方根的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，但學(xué)生還沒(méi)有養(yǎng)成這種間接運(yùn)算的習(xí)慣，估計(jì)部分學(xué)生不能自然地用立方運(yùn)算求數(shù)的立方根；盡管學(xué)生有合情推理的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，但歸納猜想立方根的有關(guān)事實(shí)可能對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)有困難.

問(wèn)：根據(jù)全面的課程目標(biāo)觀，該課應(yīng)設(shè)置怎樣的教學(xué)目標(biāo)？

答：根據(jù)上述分析結(jié)果，并用“課標(biāo)、教材、學(xué)生”三把篩子進(jìn)行篩選，該課的教學(xué)目標(biāo)可以設(shè)置為：經(jīng)歷回顧舊知與提出問(wèn)題的過(guò)程，能從“底數(shù)指數(shù)=冪”中提出“已知x3=a，求x”的運(yùn)算，能感悟研究開(kāi)立方運(yùn)算的意義；參與定義開(kāi)立方和立方根的活動(dòng)，能陳述開(kāi)立方和立方根的概念，能知道開(kāi)立方與立方是互逆運(yùn)算，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的立方根，能感悟符號(hào)表示思想；參與求數(shù)的立方根的活動(dòng)，會(huì)用立方運(yùn)算求數(shù)的立方根，能知道立方根的有關(guān)事實(shí)，能感悟演繹思想和歸納思想，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中有個(gè)性化的表現(xiàn).

問(wèn)：根據(jù)教學(xué)重、難點(diǎn)的含義，該課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)分別是什么？

答：根據(jù)該課概念的地位與作用，以及所蘊(yùn)含的教育價(jià)值，其教學(xué)重點(diǎn)是立方根的概念和求數(shù)的立方根.因?yàn)橛酶?hào)表示立方根的式子在實(shí)數(shù)運(yùn)算中會(huì)經(jīng)常遇到，求數(shù)的立方根是需要學(xué)生掌握的基本技能.其教學(xué)難點(diǎn)是立方根的概念.因?yàn)閺膬蓚€(gè)方面理解立方根概念的本質(zhì)特征學(xué)生無(wú)先前經(jīng)驗(yàn)，又因?yàn)榫哂须p重性的含義比較抽象，許多學(xué)生不能自然地把轉(zhuǎn)化為“（？）3=a”.

問(wèn)：教學(xué)結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的通道，該課應(yīng)構(gòu)建怎樣的教學(xué)結(jié)構(gòu)？

答：根據(jù)抽象形式定義概念的認(rèn)知過(guò)程觀［2］，該課的教學(xué)結(jié)構(gòu)可用圖2表示.

圖2

這是一個(gè)以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程為載體的學(xué)生認(rèn)知過(guò)程和以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程.這個(gè)“簡(jiǎn)單、自然、動(dòng)態(tài)、和諧”的教學(xué)結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，對(duì)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知與情感的變化與發(fā)展有積極的影響.

問(wèn)：“經(jīng)歷回顧舊知與提出問(wèn)題的過(guò)程”的教學(xué)怎樣操作？

答：首先，教師指出：我們知道，23=8，它是已知底數(shù)和指數(shù)求冪的運(yùn)算.在“底數(shù)指數(shù)=冪”中，還能提出怎樣的運(yùn)算？

其次，教師解釋?zhuān)菏聦?shí)上，許多實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為這些運(yùn)算.例如，要做一個(gè)體積為8cm3的立方體模型，它的棱長(zhǎng)應(yīng)取多少？這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為已知冪和指數(shù)求底數(shù)的運(yùn)算.

最后，揭示課題：既然這些運(yùn)算有豐富的現(xiàn)實(shí)情景，就有研究這些運(yùn)算的必要.已知x3=a（a是已知數(shù)），怎樣求x？本節(jié)課我們先來(lái)研究與之相關(guān)的問(wèn)題.

解析：提出問(wèn)題是概念教學(xué)不可忽視的一個(gè)環(huán)節(jié)，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和感悟研究的必要性.該課知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)是立方運(yùn)算.這個(gè)經(jīng)歷性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括立方運(yùn)算，還包括從“底數(shù)指數(shù)=冪”中演繹出“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想及開(kāi)立方運(yùn)算的意義.教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)下的學(xué)生自主體驗(yàn)的方法.它建立了新知識(shí)和舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，能使學(xué)生感悟研究對(duì)象從哪里來(lái)和往何處去.

問(wèn)“：參與定義立方根的活動(dòng)”的教學(xué)怎樣操作？

答：第一，教師直接給出定義：一個(gè)數(shù)的立方等于a（a是已知數(shù)），求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算，叫作開(kāi)立方，這個(gè)數(shù)叫作a的立方根，也叫作a的三次方根.即：如果x3=a，那么求x的運(yùn)算叫作開(kāi)立方，x叫作a的立方根.

第二，教師解釋?zhuān)洪_(kāi)立方與立方是互逆運(yùn)算.根據(jù)立方根概念可得：若x3=a，則x是a的立方根；若x是a的立方根，則x3=a.并舉例說(shuō)明.

解析：盡管立方根概念的教學(xué)要求是“了解”，但用根號(hào)表示立方根的式子在實(shí)數(shù)運(yùn)算中會(huì)經(jīng)常遇到，它需要學(xué)生知道用根號(hào)表示立方根式子的含義.這個(gè)參與性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括開(kāi)立方、立方根的概念、立方根的符號(hào)表示，還包括開(kāi)立方與立方是互逆運(yùn)算，從數(shù)學(xué)概念中可以分解出判定和性質(zhì)兩個(gè)命題的經(jīng)驗(yàn)，用根號(hào)表示立方根式子的含義，立方根的事實(shí)“（）3=a”，與的差異.教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)下的學(xué)生自主體驗(yàn)的方法.它揭示了立方根概念的本質(zhì)特征，暗示了求數(shù)的立方根的方法，能使學(xué)生知道有雙重性含義.

問(wèn)“：參與求數(shù)的立方根的活動(dòng)”的教學(xué)怎樣操作？

答：第一，教師指出：由于開(kāi)立方與立方是互逆運(yùn)算，所以我們可用立方運(yùn)算來(lái)求數(shù)的立方根.并示范求-的立方根的過(guò)程.

第二，教師要求學(xué)生模仿樣例求下列各數(shù)的立方根：

在求上述各數(shù)的立方根之后，教師要求學(xué)生猜一猜關(guān)于數(shù)的立方根有什么結(jié)論，說(shuō)說(shuō)數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么不同，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納得出

第三，教師要求學(xué)生先說(shuō)出下列各式的意義，再計(jì)算.

最后，要求學(xué)生完成課本中的練習(xí)題，待學(xué)生完成任務(wù)后進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià).

解析：用立方運(yùn)算求數(shù)的立方根是整節(jié)課認(rèn)知過(guò)程的后半段，求數(shù)的立方根是該課的教學(xué)重點(diǎn)，是需要學(xué)生掌握的基本技能，“在后繼學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到.這個(gè)參與性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括求數(shù)的立方根，還包括求數(shù)的立方根的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想，立方根的有關(guān)事實(shí)，以及獲得立方根有關(guān)事實(shí)的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想.教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的先“放”后“收”的適度開(kāi)放的方法.它能促使學(xué)生養(yǎng)成用立方運(yùn)算間接求立方根的習(xí)慣，增強(qiáng)計(jì)算之后反思的意識(shí)，感悟計(jì)算過(guò)程中所蘊(yùn)含的演繹思想和獲得立方根有關(guān)事實(shí)過(guò)程中所蘊(yùn)含的歸納思想等.

問(wèn)：“參與回顧與思考的活動(dòng)”的教學(xué)怎樣操作？

答：首先，教師出示下列“問(wèn)題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問(wèn)題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

（2）“已知x3=a，求x”是從哪里來(lái)的？為何學(xué)習(xí)求數(shù)的立方根？

（3）我們是用什么方法來(lái)求數(shù)的立方根的？

（4）大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中有何感觸？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師邊傾聽(tīng)、邊評(píng)價(jià).

最后，教師總結(jié)該課的研究?jī)?nèi)容與研究方法，并指出以后可用計(jì)算器來(lái)求一個(gè)數(shù)的立方根（或其近似值）.

解析：課堂總結(jié)也是整節(jié)課認(rèn)知過(guò)程的后半段，旨在欣賞研究?jī)?nèi)容與研究方法，感悟研究過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及積淀求數(shù)的立方根的經(jīng)驗(yàn).這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括回顧研究?jī)?nèi)容與研究方法，還包括交流學(xué)生學(xué)習(xí)后的感悟；教學(xué)采用了“問(wèn)題清單”引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立回顧與思考基礎(chǔ)上的交互反饋和交互反饋基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法.它有助于學(xué)生深化認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生個(gè)性化的想法，并對(duì)學(xué)生增強(qiáng)反思意識(shí)、發(fā)展語(yǔ)言表達(dá)能力及養(yǎng)成敢想、敢說(shuō)、敢于創(chuàng)新的良好習(xí)慣有積極的影響.

以上幾個(gè)問(wèn)題雖不十分系統(tǒng)，回答可能也不全面，但它對(duì)改變當(dāng)前“只教不研”的現(xiàn)象和發(fā)展教師的實(shí)踐性智慧有積極的影響.