吳碧云

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，正確地理解和掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)知識的前提和保障。那么如何讓枯燥、抽象的概念變得生動有趣，提高課堂教學(xué)效果，讓概念在學(xué)生心中得到完美內(nèi)化？美國教育家杜威從他的“活動”理論出發(fā)，強調(diào)兒童“從做中學(xué)”和“從經(jīng)驗中學(xué)”，見解頗深。基于此，筆者認(rèn)為可以從以下幾方面入手。

一、經(jīng)歷背景，感悟特點

數(shù)學(xué)概念是有形成背景的，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的原因和特點，有利于學(xué)生理解新概念。在教學(xué)中，許多數(shù)學(xué)教師不重視這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，而是采用直白式教學(xué)。如認(rèn)識扇形統(tǒng)計圖，教師采用告訴式教學(xué)：表中要統(tǒng)計的是部分?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系，選用扇形統(tǒng)計圖比較合適。雖然這句話很容易理解，但很多學(xué)生卻知其然而不知其所以然。這時，可以增設(shè)概念背景教學(xué)環(huán)節(jié)，向?qū)W生提出問題：要畫出部分?jǐn)?shù)所占總數(shù)的百分比，可以用什么方法？學(xué)生通常會想出三種方案：畫線段圖表示、畫正方形或長方形方格表示、畫扇形圖表示。讓學(xué)生進行畫圖對比，他們會發(fā)現(xiàn)，如果要比較精確地表示百分比，就要把線段平均分成100份，把正方形或長方形平均分成100小格，畫圖時間太長且不容易做到精確。用線段圖時，所占百分比是與原線段重疊的一部分線段，不直觀；用方格圖時，相對直觀，但圖形顯得不完整；而使用扇形圖表示百分比時，以圓形表示總數(shù)，無論圓的直徑多大，只要用360度乘以部分?jǐn)?shù)所占的百分比就可以算出扇形圓心角，不必把圓周均分為100份，且由于扇形是圓的一部分，總數(shù)與部分?jǐn)?shù)的關(guān)系可以呈現(xiàn)得非常直觀并美觀?？梢?，增加概念背景的教學(xué)，可有效幫助學(xué)生理解新概念。

二、交流認(rèn)識，深化理解

語言是思維的外殼。首次接觸新概念，學(xué)生的第一印象最深刻。讓學(xué)生嘗試說一說自己對概念的理解，有兩方面的好處：一是同齡人的語言交流使學(xué)生能聽得更明白，更易于理解新概念，并使學(xué)生在交流中認(rèn)識概念的屬性；二是可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力，訓(xùn)練邏輯思維。

例如教授百分?jǐn)?shù)概念時，可以讓學(xué)生說說“百分?jǐn)?shù)為什么是特殊的分?jǐn)?shù)”。學(xué)生的理解是多樣化的：有的說“特殊在百分?jǐn)?shù)只表示兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，不表示具體的數(shù)量”；有的說“特殊在它的寫法上有特殊的符號%，不用約成最簡分?jǐn)?shù)”；有的說“百分?jǐn)?shù)的分子可以是任何數(shù)，小數(shù)、整數(shù)均可，可以分子大于分母或小于分母”；有的說“正因為百分?jǐn)?shù)是表示兩個數(shù)比較的結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)始終是100份，與它比較的量就可能是這樣的1份、0.8份、236.1份……所以分子可以是任意數(shù)”?？梢?，讓學(xué)生用自己的語言描述概念的定義或者解釋某一數(shù)學(xué)原理，說出自己的思考或表述自己的發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情更高、智力活動更活躍，有利于學(xué)生深入理解概念，透過表面看實質(zhì)，發(fā)展求同和求異思維。

三、直觀凸質(zhì)，豐富表象

“沒有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的?！睌?shù)學(xué)概念教學(xué)中，運用直觀手段是豐富學(xué)生表象積累最有效的方法。蘇霍姆林斯基說：“直觀手段應(yīng)該使學(xué)生把注意力放到最重要、最本質(zhì)的東西上去。”

例如二年級教授“觀察物體”時，要讓學(xué)生通過觀察認(rèn)識到：從正前方看過去，圓柱體的側(cè)面是一個長方形。學(xué)生很難建立這一表象，總認(rèn)為所觀察到的上方與下方是曲線，不是一條直線，所以直接觀察是模糊的。要怎樣改進呢？可借助光的影像原理。教師可開啟手機中的手電筒功能，用手電筒分別對著圓柱體的上面與下面、左面與右面照射，使學(xué)生看到它在黑板上的投影是一條直線而不是曲線，幫助學(xué)生形成直觀印象。

又如三年級認(rèn)識“倍”時，觀察比較2個蘋果與6個梨的數(shù)量關(guān)系，可以進行差比，差比是一一對應(yīng)關(guān)系，梨比蘋果多4個。還可以把2個蘋果看作一份，6個梨就可以分成3份（一份與一份間可稍微隔開），然后引導(dǎo)學(xué)生觀察思考這3份是怎么來的。這時大數(shù)與小數(shù)關(guān)系不是差比關(guān)系，而是大數(shù)里包含幾份這樣的小數(shù)。讓學(xué)生在觀察中體會到“幾倍”這一概念的關(guān)鍵點，就是除法概念的拓展。借助有效的觀察思考，幫助學(xué)生建立豐富的表象，促進數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化。

四、拓展延伸，完善建構(gòu)

以問題驅(qū)動，讓學(xué)生帶著思辨進行探究，伴隨著質(zhì)疑、判斷、分析、綜合、概括，從外顯走向內(nèi)隱，從而建構(gòu)出清晰的數(shù)學(xué)概念，形成知識體系。例如教授“循環(huán)小數(shù)”時，教材中提出問題：兩個數(shù)相除，如果得不到整數(shù)商，所得的商會有哪些情況呢？學(xué)生各自列出許多算式計算，發(fā)現(xiàn)所得的商不是有限小數(shù)就是循環(huán)小數(shù)。傳統(tǒng)教學(xué)模式是教師指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“循環(huán)小數(shù)”，之后課程就結(jié)束。這個教學(xué)過程只是對兩個數(shù)相除的結(jié)果進行分析，沒有對產(chǎn)生結(jié)果的原因進行分析。在教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生認(rèn)真觀察兩數(shù)相除的結(jié)果，此時學(xué)生就會產(chǎn)生很多疑問；然后組織學(xué)生進行討論思考，學(xué)生會提出問題：什么時候所得的商一定是有限小數(shù)？為什么除不盡時，商一定是循環(huán)小數(shù)而不會出現(xiàn)無限不循環(huán)的情況呢？并會針對此問題展開探究。

對于第一個問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個數(shù)如果除以10、100、1000……這樣的數(shù)，都可以化成有限小數(shù)，而10、100……這樣的數(shù)總是可以分解成只有2、5或2和5相乘的形式，由此獲得數(shù)的共同規(guī)律：通過商的變化規(guī)律能把除數(shù)變成只有整數(shù)因數(shù)2或者5，這個除法算式的商一定是有限小數(shù)。運用這個規(guī)律可以很快發(fā)現(xiàn)“4÷25、14÷20、19÷8、29÷125、12÷15（被除數(shù)與除數(shù)同時除以3變?yōu)?÷5）”等的商一定是有限小數(shù)。

那么為什么除不盡時，商一定是循環(huán)小數(shù)而不會出現(xiàn)無限不循環(huán)的情況呢？是因為除不盡時余數(shù)出現(xiàn)了重復(fù)，商也就隨之出現(xiàn)重復(fù)，就產(chǎn)生了循環(huán)。那么余數(shù)有可能不重復(fù)嗎？答案是不可能，因為余數(shù)總是比除數(shù)小。比如除以7，余數(shù)當(dāng)然只可能是1、2、3、4、5、6這6種情況，所以至多除到7次，余數(shù)必定會出現(xiàn)重復(fù)，所得的商就出現(xiàn)循環(huán)。因此，如果除不盡時，不可能出現(xiàn)不循環(huán)的現(xiàn)象。

以上探究過程把循環(huán)小數(shù)的來龍去脈探索得清清楚楚，把循環(huán)小數(shù)、小數(shù)意義、商不變的性質(zhì)、余數(shù)的知識充分融合在一起，形成一個有機整體?？傊跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中，要通過各種生動活潑的方式調(diào)動學(xué)生的思維，使概念完美地內(nèi)化為學(xué)生腦中的知識建構(gòu)。

（責(zé)任編輯 張慧籽）