王雅婧,羅 明

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,陜西 西安710071)

0 引 言

寬帶線性調(diào)頻(linear frequency modulation,LFM)信號(hào)是一種常用的非平穩(wěn)信號(hào),被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)系統(tǒng)中。因此寬帶LFM信號(hào)測(cè)向問題已成為波達(dá)方向(Direction of arrival,DOA)估計(jì)的一大熱點(diǎn)。針對(duì)多信源環(huán)境,經(jīng)典的寬帶測(cè)向算法有非相干子空間處理法 (incoherent signal-subspace method,ISM)[1]和相干信號(hào)子空間算法 (coherent signal-subspace method,CSM)[2]。ISM算法原理是將寬帶分解成窄帶,求得各子帶信號(hào)的方向估計(jì)值,再對(duì)其加權(quán)得到寬帶信號(hào)的測(cè)向值;CSM算法將信號(hào)變換到頻域后劃分為多個(gè)不同頻點(diǎn)的信號(hào),再將其聚焦到特定頻率,應(yīng)用該頻率的協(xié)方差矩陣估計(jì)DOA。這兩類算法以及以這兩種算法為基礎(chǔ)的各改進(jìn)算法[3-5]均是將寬帶轉(zhuǎn)化為窄帶模型,再利用多重信號(hào)分類(multiple signal classification,MUSIC)等方法進(jìn)行DOA估計(jì)。

在窄帶信號(hào)DOA估計(jì)中,多采用相位法來進(jìn)行測(cè)向,主要利用信號(hào)到達(dá)測(cè)向天線各陣元時(shí)產(chǎn)生的相位差估計(jì)到達(dá)角。陣列接收信號(hào)通過鑒相器后得到的相差為[-π,π],當(dāng)實(shí)際的相位差超過這個(gè)范圍時(shí),就會(huì)出現(xiàn)相位模糊。在接收陣列為均勻圓陣[6-8]時(shí),為了防止出現(xiàn)模糊,限制了圓陣孔徑d<λ/2,在高頻信號(hào)環(huán)境下滿足無模糊測(cè)向的陣列孔徑很小,除了會(huì)導(dǎo)致測(cè)向精度的降低問題,在工程上也很難實(shí)現(xiàn)。

針對(duì)這些問題,本文對(duì)寬帶LFM信號(hào)進(jìn)行時(shí)差法二維測(cè)向研究。應(yīng)用分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)時(shí)差法和一維拋物線擬合法的優(yōu)勢(shì)對(duì)寬帶LFM信號(hào)進(jìn)行測(cè)向,只要滿足時(shí)延τ

1 壓縮感知理論

1.1 壓縮感知數(shù)學(xué)模型

壓縮感知理論包括3個(gè)模塊。

(1)稀疏表示

一個(gè)信號(hào)矢量Χ∈RN×1,在某個(gè)稀疏基Ψ下進(jìn)行展開為

(1)

其投影系數(shù)θi若滿足有K個(gè)非零值且K?N,則稱信號(hào)X在基Ψ上是稀疏的或者可壓縮的。

(2)降維采樣

采用觀測(cè)矩陣ΦM×N實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)X的M(K

Y=ΦΧ=ΦΨΘ=AΘ

(2)

式中,ΦM×N與基字典Ψ不相關(guān);A被稱為測(cè)度矩陣、傳感矩陣、CS信息算子。

(3) 信號(hào)重構(gòu)

信號(hào)的重構(gòu)是指由M點(diǎn)采樣的Y測(cè)量值恢復(fù)長(zhǎng)度為N的稀疏信號(hào)Θ的過程。為了保證進(jìn)行有效并且唯一的信號(hào)重構(gòu),常通過式(3)最優(yōu)化1范數(shù)[10]和貪婪算法求解。

(3)

1.2 測(cè)量矩陣和稀疏基

在壓縮感知框架下,從壓縮信號(hào)Y中恢復(fù)出稀疏信號(hào)Θ,傳感矩陣A必須具有一些特性,即零空間特性、約束等距特性(restricted isometry property,RIP)。

Baraniuk提出了RIP的等價(jià)條件:構(gòu)成傳感矩陣A的測(cè)量矩陣Φ和稀疏基Ψ不相關(guān)[11]。因此選擇合適的測(cè)量矩陣Φ和稀疏基Ψ是確保重構(gòu)的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[12]中給出證明,對(duì)于一個(gè)本身不稀疏,但是關(guān)于一個(gè)正交基稀疏的信號(hào)Χ=ΨΘ,應(yīng)用測(cè)量矩陣Φ得到ΦΧ=ΦΨΘ,運(yùn)用矩陣Ψ∈RN×N的酉性一旦Φ滿足RIP,則傳感矩陣A=ΦΨ也滿足。測(cè)量矩陣Φ常采用Gauss測(cè)量矩陣、Bernoulli測(cè)量矩陣、部分哈達(dá)瑪測(cè)量矩陣、部分傅里葉矩陣以及Toeplitz矩陣等,其中Gauss測(cè)量矩陣、Bernoulli測(cè)量矩陣能夠高概率重構(gòu)信號(hào),但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)Toeplitz矩陣物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,且壓縮和重構(gòu)性能同隨機(jī)矩陣一樣有效。

本文中采用測(cè)量矩陣壓縮信號(hào),并將其觀測(cè)向量Y∈RM×1作為接收信號(hào)帶入算法進(jìn)行時(shí)差測(cè)向。在仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)采用不同的測(cè)量矩陣,將壓縮后的信號(hào)帶入分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)算法中,發(fā)現(xiàn)只有Toeplitz矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí),能夠進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)向,所以這里只論述Toeplitz矩陣是否滿足RIP特性。

常用的Toeplitz矩陣具有形式為

(4)

文獻(xiàn)[13]中闡明了取Toeplitz矩陣作為測(cè)量矩陣ΦM×N時(shí),在滿足M≥C·K3ln(N/K)時(shí)矩陣以高概率滿足RIP條件,且跟Toeplitz矩陣相乘可以有效實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換,能夠更快實(shí)現(xiàn)采集信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)過程。

本文針對(duì)大時(shí)寬帶寬的LFM信號(hào)為了確保精度必須采用大量采樣數(shù)據(jù)的問題,主要應(yīng)用壓縮感知中的降維采樣模塊以減少采樣點(diǎn)數(shù),然后將壓縮后的信號(hào)代入時(shí)差算法進(jìn)行測(cè)向。所以對(duì)于信號(hào)的稀疏表示和信號(hào)重構(gòu)這兩大部分,文中只進(jìn)行了簡(jiǎn)要描述,并未進(jìn)行具體算法研究和仿真驗(yàn)證。

2 五陣元均勻圓陣陣列模型

均勻圓陣具有孔徑小、測(cè)向精度均勻、無鏡像模糊、能同時(shí)進(jìn)行方位和俯仰的二維測(cè)向等優(yōu)點(diǎn),因此文中采用選取五元均勻圓陣作為接收陣列。在圖1建立的xyz坐標(biāo)系中,圓陣位于xoy平面內(nèi),坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,陣元1位于x軸,其他陣元均勻地分布在圓上。

入射信號(hào)在xoy平面上的投影與x軸的夾角記為方位角α,入射信號(hào)與z軸夾角為俯角,圖1中所標(biāo)為仰角β,與俯角互為余角。以原點(diǎn)為參考點(diǎn),R為圓陣半徑,陣元m的坐標(biāo)為(Rcos 2π(m-1)/5,Rsin 2π(m-1)/5,0),入射信號(hào)的單位向量為(cosβcosα,cosβsinα,sinβ),陣元i到參考點(diǎn)的接收信號(hào)時(shí)延差為

τi=[(cosβcosα·Rcos 2π(i-1))/5]+

[(cosβsinα·Rsin 2π(i-1)/5)]/v=

Rcos(2π(i-1)/5-α)(cosβ)/v

(5)

式中,v為電磁波傳播速度,v=3×108m/s。陣元i到陣元j的時(shí)延差為

τij=τj-τi=[Rcos(2π(j-1)/5-α)(cosβ)]/c-

Rcos(2π(i-1)/5-α)(cosβ)/v=

[2Rcosβsin π(j-i)/5sin(α-π(j+i-2)/5)]/v

(6)

以一組長(zhǎng)基線13、14為例,聯(lián)合兩條基線的時(shí)差進(jìn)行測(cè)向得

τ13=[2Rcosβsin(2π/5)sin(α-2π/5)]/v

(7)

τ14=[2Rcosβsin(3π/5)sin(α-3π/5)]/v

(8)

對(duì)兩條基線時(shí)延差分別求和求差

τ13+τ14=[-4Rsin(2π/5)cos(π/10)cosαcosβ]/v

(9)

τ13-τ14=[4Rsin(2π/5)sin(π/10)sinαcosβ]/v

(10)

對(duì)式(10)兩邊除以-4Rsin(2π/5)cos(π/10)/v剩余項(xiàng)為cosβcosα,對(duì)式(11)兩邊除以4Rsin(2π/5)sin(π/10)/v剩余項(xiàng)為cosβsinα,構(gòu)造復(fù)數(shù)

f=cosβcosα+icosβsinα=cosβ·ejα

(11)

由式(12)可知cosβ為復(fù)數(shù)f的模值,方位角α為復(fù)數(shù)f的輻角，即

(12)

只要已知兩條基線時(shí)延差τ13、τ14,即可求得方位角α和仰角β,二維求角問題轉(zhuǎn)為求時(shí)延差問題。

3 基于壓縮感知的寬帶信號(hào)時(shí)差法測(cè)向

3.1 陣列接收寬帶信號(hào)的壓縮感知測(cè)向模型

假設(shè)接收信號(hào)為幅值為1的寬帶LFM信號(hào)，表示為

(13)

式中,f0為信號(hào)的中心頻率;μ為調(diào)頻系數(shù);B為信號(hào)頻域帶寬;T為信號(hào)脈寬。參考點(diǎn)接收到的信號(hào)為

x(t)=s(t)+w(t)

(14)

陣元m接收信號(hào)為

xm(t)=s(t-τm)+wm(t)

(15)

式中,τm為陣元m接收到的信號(hào)與參考點(diǎn)接收信號(hào)的時(shí)間延遲;w(t)和wm(t)為零均值復(fù)高斯白噪聲,其方差為σ2,且噪聲間不相關(guān)。

為了防止發(fā)生頻譜混疊的現(xiàn)象,采樣過程要滿足奈奎斯特定理。針對(duì)寬帶LFM信號(hào),傳統(tǒng)采樣得到的離散數(shù)據(jù)量巨大,加重了運(yùn)算和存儲(chǔ)的負(fù)擔(dān)。本文提出應(yīng)用壓縮感知技術(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行降維采樣,將壓縮后的低維信號(hào)作為陣元收到的信號(hào)進(jìn)行后續(xù)的測(cè)向處理。

(16)

(17)

3.2 寬帶信號(hào)的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)法

文中構(gòu)建的五元均勻圓陣陣列模型,在不考慮模糊的情況下,在測(cè)量精度方面長(zhǎng)基線總是優(yōu)于短基線[17],所以為了獲得高的測(cè)量精度,取圓陣中的兩條長(zhǎng)基線,聯(lián)合進(jìn)行時(shí)差測(cè)向。取兩條長(zhǎng)基線13、14,對(duì)陣元接收信號(hào)進(jìn)行FFT得

(18)

對(duì)X1(k)和X3(k)、X1(k)和X4(k)分別進(jìn)行共軛相乘得

(19)

式中

(20)

W1(k)W4(k)

(21)

因?yàn)長(zhǎng)FM信號(hào)頻譜抖動(dòng)不大,所以Y1(k)和Y2(k)可以看作幅度為|S(k)|2,載頻分別為D13=D3-D1和D14=D4-D1的信號(hào),其采樣間隔為1/M,信號(hào)的帶寬和原始信號(hào)相同,P1(k)和P2(k)為信號(hào)的噪聲部分。求解量化時(shí)差D13和D14即求解Y1(k)和Y2(k)的信號(hào)頻率。

對(duì)Y1(k)和Y2(k)進(jìn)行快速傅里葉變換,對(duì)其頻譜圖求譜線峰值位置K1和K2,在[K1-0.5,K1+0.5]和[K2-0.5,K2+0.5]內(nèi)分別對(duì)Y1(k)和Y2(k)進(jìn)行離散傅里葉變換，得

(22)

(23)

式中,c為插值率(c>1),取正整數(shù)。在進(jìn)行求解時(shí)c應(yīng)取合適值,若取太小,則導(dǎo)致估計(jì)精度不夠,若取太大,則增加了計(jì)算量和運(yùn)算時(shí)間。

(24)

(25)

則量化時(shí)差D13和D14的精確估計(jì)值為

(26)

(27)

將兩個(gè)長(zhǎng)基線時(shí)差τ13=D13·Δt和τ14=D14·Δt代入式(10)和式(11),構(gòu)造復(fù)數(shù)f對(duì)其取模值和輻角即可求得方位角α和仰角β。

通過分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)算法對(duì)壓縮后的陣列接收信號(hào)進(jìn)行時(shí)差測(cè)向,其算法過程與陣列接收信號(hào)的時(shí)差測(cè)向方法相同。但是壓縮感知降低了信號(hào)維度,所以大大減少了算法的運(yùn)算量并且節(jié)省了運(yùn)行時(shí)間。壓縮感知測(cè)向算法的精度是否與時(shí)差測(cè)向算法有差異,還需要進(jìn)一步的仿真研究。

3.3 算法時(shí)間復(fù)雜度對(duì)比

應(yīng)用壓縮感知之后的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)算法減少了大量采樣點(diǎn)數(shù),為了評(píng)價(jià)壓縮感知時(shí)差測(cè)向算法的優(yōu)劣,本文對(duì)算法各步驟的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行了分析。時(shí)間復(fù)雜度是算法執(zhí)行的計(jì)算工作量,記作T(n)=O(f(n)),f(n)為算法規(guī)模n的函數(shù)。兩種區(qū)別在于時(shí)差估計(jì)模塊,所以只分析了時(shí)差估計(jì)算法的時(shí)間復(fù)雜度,并跟原分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)算法進(jìn)行了對(duì)比。如表1所示。表1中算法的時(shí)間復(fù)雜度判定本文中基于壓縮感知的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)法的優(yōu)劣,是以N和M的規(guī)模來確定的。分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)法在N=10 000(同下文仿真設(shè)置)時(shí)的運(yùn)算次數(shù)為2.004×108,在M取不同值時(shí)的算法的運(yùn)算次數(shù)如表2所示,運(yùn)算次數(shù)的數(shù)量級(jí)為108。

表1 算法的時(shí)間復(fù)雜度Table 1 Time complexity of the algorithm

表2 不同規(guī)模下基于壓縮感知的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)算法運(yùn)算量Table 2 Fractional delay estimation algorithm computation based on compressive sensing at different scales

表2中采樣規(guī)模M是在保證能夠正確估計(jì)方位角和仰角的前提取值的,由表2可看出當(dāng)M≤2 500時(shí),基于壓縮感知的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)測(cè)向算法計(jì)算量小于原算法,且當(dāng)M取值越小,計(jì)算量越小。評(píng)價(jià)算法優(yōu)劣的另一標(biāo)準(zhǔn)是時(shí)間效率,即執(zhí)行算法需要的時(shí)間,將在仿真部分進(jìn)行分析。

4 仿真實(shí)現(xiàn)和分析

假設(shè)接收陣列為半徑為R=50 cm的五天線均勻圓陣,入射信號(hào)為帶寬B=150 MHz,載波中頻f0=2 GHz,脈寬T=20 μs的寬帶LFM信號(hào),入射方位角α=35°和仰角β=55°。為了保證精度,取采樣快拍數(shù)N=10 000,采樣間隔為Δt=T/N=2 ns。取零均值且方差為1的高斯白噪聲為信號(hào)噪聲。

實(shí)驗(yàn)1算法的時(shí)間效率

表1分析了分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)法和基于壓縮感知的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)法的時(shí)間復(fù)雜度,為了直觀表示運(yùn)算量,進(jìn)行算法的時(shí)間效率即算法運(yùn)行時(shí)間的仿真。仿真實(shí)驗(yàn)的硬件環(huán)境為一臺(tái)CPU為Intel Core i5-3470(四核3.2 GHz)、安裝內(nèi)存為4 GB聯(lián)想計(jì)算機(jī),軟件仿真環(huán)境為Matlab R2013b。因?yàn)閱未螌?shí)驗(yàn)的執(zhí)行時(shí)間太短,因此累加500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的時(shí)間。分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)算法測(cè)向的執(zhí)行時(shí)間為115 s,基于壓縮感知采樣的測(cè)向算法在M取不同值時(shí)的總執(zhí)行時(shí)間如表3所示。

表3 不同規(guī)模下算法的運(yùn)行時(shí)間Table 3 Algorithm run time comparison at different scales

表3中算法的運(yùn)行時(shí)間跟表2中的運(yùn)算次數(shù)得到的結(jié)論一致,在M≤2 500時(shí),基于壓縮采樣的算法執(zhí)行時(shí)間小于原算法,減少了運(yùn)算量,節(jié)省了測(cè)向所用時(shí)間。

實(shí)驗(yàn)2不同M下的測(cè)向精度

實(shí)驗(yàn)1仿真得到了不同采樣規(guī)模M下的壓縮感知測(cè)向算法的運(yùn)行時(shí)間,單純從時(shí)間效率的角度來看M值越小算法效率越高,但M的取值是否影響測(cè)向誤差還需要進(jìn)一步研究。在信噪比SNR=15 dB環(huán)境下,采用分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)時(shí)差測(cè)向算法和壓縮感知時(shí)差測(cè)向算法進(jìn)行了500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),以均方根誤差值判定方位角α和仰角β的誤差。仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 不同觀測(cè)點(diǎn)下方位角誤差Fig.2 Azimuth error at different observation points

圖3 不同觀測(cè)點(diǎn)下仰角誤差Fig.3 Pitch error at different observation points

圖2和圖3中的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)測(cè)向方法的方位角和仰角誤差分別為0.95和1.03,因?yàn)樵谟肕atlab進(jìn)行仿真時(shí)構(gòu)造Toeplitz矩陣的維數(shù)過大容易內(nèi)存溢出,所以仿真設(shè)置的采樣點(diǎn)數(shù)值不大,并且本文中選取的均勻圓陣為小孔徑,在采樣點(diǎn)數(shù)不大的情況下基線越短時(shí)差估計(jì)的誤差越大,故即使信噪比較大,但測(cè)向誤差依舊不會(huì)太小。本文旨在對(duì)比經(jīng)過壓縮采樣后的時(shí)差測(cè)向法和原時(shí)差測(cè)向法的測(cè)向性能,不能單以測(cè)向誤差值大小為衡量標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)合表3在M=1 000時(shí)基于壓縮感知的測(cè)向模型能夠獲得跟原測(cè)向方法相近的DOA估計(jì)值,且算法運(yùn)行時(shí)間只需原算法的一半。在M≥1 000時(shí),經(jīng)過壓縮采樣后的測(cè)向算法得到的方位角跟仰角的誤差值跟原算法相近,且隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加,測(cè)向的誤差值不斷減小。所以應(yīng)用基于壓縮感知的時(shí)差測(cè)向算法時(shí),要在確保正確測(cè)向的基礎(chǔ)上盡可能選擇較小的觀測(cè)值來減少計(jì)算量,減輕設(shè)備負(fù)擔(dān)。

實(shí)驗(yàn)3信噪比的影響

權(quán)衡算法精度和執(zhí)行時(shí)間,設(shè)置壓縮感知的觀測(cè)維數(shù)為M=1 000。圓陣陣列接收信號(hào)的信噪比從11 dB到21 dB以2 dB為步進(jìn)值增加,進(jìn)行500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),分析并對(duì)比了分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)時(shí)差測(cè)向算法和本文中應(yīng)用了壓縮采樣后的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)時(shí)差測(cè)向算法的測(cè)向性能。仿真圖如圖4和圖5所示。

圖4 不同信噪比下方位角誤差Fig.4 Azimuth error at different SNRs

圖5 不同信噪比下仰角誤差Fig.5 Pitch error at different SNRs

如圖4和圖5所示,在信噪比SNR≥15 dB時(shí)基于壓縮感知的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)測(cè)向算法得到的測(cè)向誤差近似于分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)測(cè)向算法。仿真表明,在高信噪比環(huán)境下,用壓縮感知的測(cè)向模型進(jìn)行測(cè)向,能在不增大測(cè)角誤差的前提下,減少大量的采樣點(diǎn)數(shù),減輕軟硬件設(shè)備的負(fù)擔(dān),減少測(cè)向系統(tǒng)所需的運(yùn)行時(shí)間。

5 結(jié) 論

本文研究了基于均勻圓陣的寬帶LFM信號(hào)測(cè)向方法,提出了基于壓縮感知的分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)時(shí)差測(cè)向方法,解決了采樣點(diǎn)數(shù)過大導(dǎo)致的數(shù)據(jù)冗余和資源浪費(fèi)的問題,提高了分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)時(shí)差測(cè)向算法的時(shí)間效率。通過仿真實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論:在高信噪比環(huán)境下,壓縮感知時(shí)差測(cè)向模型的測(cè)向性跟分?jǐn)?shù)時(shí)延估計(jì)時(shí)差測(cè)向算法相仿,而且在壓縮采樣的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)在滿足一定值(該值遠(yuǎn)小于信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù))時(shí),具有更少的數(shù)據(jù)計(jì)算量和更高的時(shí)間效率,大量減少了運(yùn)算和存儲(chǔ)資源負(fù)擔(dān),具有實(shí)際研究?jī)r(jià)值。