賀春暉， 陳 林

(中國(guó)電建集團(tuán)成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川 成都 610072)

0 前 言

影響大壩動(dòng)力響應(yīng)分析準(zhǔn)確性的因素主要包含三個(gè)方面的內(nèi)容：地震波輸入、壩-地基-庫(kù)水系統(tǒng)、壩體材料的強(qiáng)度評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。壩-地基-庫(kù)水系統(tǒng)在理論和數(shù)值模型方面都已經(jīng)相對(duì)成熟[1-3]，而集中于材料動(dòng)力特性以及強(qiáng)度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的研究也取得了一定的成果[4]，但是同樣對(duì)于大壩動(dòng)力反應(yīng)影響很大的地震波輸入問(wèn)題卻并沒(méi)有得到很好的解決。依據(jù)水工建筑物抗震規(guī)范，目前水工建筑抗震設(shè)計(jì)中確定基巖加速度峰值的方法一般采用《中國(guó)地震烈度區(qū)劃圖》確定基本烈度，對(duì)于大型工程設(shè)防依據(jù)專(zhuān)門(mén)的地震危險(xiǎn)性分析提供的基巖峰值加速度成果評(píng)定。上述兩種方法都是基于已有的地震實(shí)測(cè)記錄，利用概率和統(tǒng)計(jì)的宏觀分析方法得出需要的設(shè)計(jì)地震動(dòng)參數(shù)?，F(xiàn)行的水工建筑抗震設(shè)計(jì)中，獲取地震動(dòng)時(shí)程的方法有如下幾點(diǎn)不足：

(1)工程場(chǎng)址所在的局部小范圍區(qū)域內(nèi)，大多缺乏足夠的、可以用作統(tǒng)計(jì)樣本的實(shí)測(cè)記錄，導(dǎo)致基于這些樣本進(jìn)行的外推本身準(zhǔn)確性不高；

(2)外推時(shí)依據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律得到的衰減關(guān)系，不能反映場(chǎng)地特殊地形地質(zhì)條件的影響；

(3)確定峰值加速度后，根據(jù)規(guī)范給出的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜求得時(shí)間歷程，無(wú)法反映由不同地震特異性的影響。

另外，不同的輸入機(jī)制對(duì)結(jié)果也會(huì)造成影響。對(duì)于高拱壩或重力壩這樣的空間大跨度結(jié)構(gòu)，采用均勻輸入顯然是不合適的。對(duì)于極少數(shù)有實(shí)測(cè)地震記錄的壩址[2]，可以考慮非均勻輸入，但是對(duì)于其他大多數(shù)情況，沒(méi)有足夠的依據(jù)來(lái)考慮由于局部場(chǎng)地條件導(dǎo)致的幅差和相差。目前已有部分學(xué)者開(kāi)始將震源和水工結(jié)構(gòu)作為一個(gè)整體進(jìn)行分析：張翠然等[5]通過(guò)隨機(jī)方法模擬了大崗山水電站場(chǎng)址的最大可信地震；Bayraktar[6]通過(guò)選取對(duì)應(yīng)于不同震源機(jī)制的實(shí)測(cè)地震記錄研究了斷層破裂與大壩動(dòng)力響應(yīng)之間的關(guān)系。Keaton[7]通過(guò)選取合適的震源參數(shù)得到加速度時(shí)間歷程，以此為基礎(chǔ)計(jì)算胡佛大壩公路橋的地震非線性響應(yīng)。Zarafani[8]采用高低頻結(jié)合的方法計(jì)算近斷層大壩的反應(yīng)譜。

本文綜合考慮地震震源、傳播路徑以及場(chǎng)地反應(yīng)得到適合于大壩地震分析計(jì)算的空間非均勻地震動(dòng)，即：作為大壩動(dòng)力分析的輸入地震波能夠包含特定震源機(jī)制，傳播路徑和場(chǎng)地地形、地質(zhì)條件等信息，以實(shí)現(xiàn)合理的非均勻輸入，使大壩地震反應(yīng)分析的輸入環(huán)節(jié)更具可靠性和說(shuō)服力。本文提出的方法通過(guò)局部場(chǎng)地在地震學(xué)和工程學(xué)之間建立聯(lián)系，大壩結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析基于現(xiàn)有的、較為成熟的模型進(jìn)行，而局部場(chǎng)地地震波場(chǎng)模擬的上游工作則基于地震學(xué)方法展開(kāi)。在地震學(xué)中，目前模擬工程適用的寬頻帶(0～10 Hz)地震波采用較多的是混合方法(Hybrid Method)[9-11]，即分別用隨機(jī)方法(Stochastic Method)[12]模擬高頻部分，確定性方法(Deterministic Method)模擬低頻部分，選取適當(dāng)?shù)慕徊骖l率，濾波后在頻域或者時(shí)域內(nèi)疊加得到寬頻帶地震波波形。隨機(jī)方法利用Boore的ω-2加速度幅值譜經(jīng)過(guò)傅里葉逆變換得到。確定性方法多采用有限差分法或有限元法等數(shù)值方法。有限差分法適應(yīng)復(fù)雜地形的能力弱，需要較多節(jié)點(diǎn)才能達(dá)到一定的精度，且有限元法則可能出現(xiàn)頻散或者偽波[13]。譜元法是一種高階有限元法，最早是Patera于1984年計(jì)算流體力學(xué)的時(shí)候提出，該方法融合了傳統(tǒng)有限元方法的靈活性和偽譜法的精度[14-15]。1998年Dimitri Komatitsch首次采用基于Legendre多項(xiàng)式和GLL積分的譜元法求解彈性波動(dòng)方程，表明該方法具有收斂快、精度高等優(yōu)勢(shì)。本文利用譜元法進(jìn)行探討性分析，選取模型范圍較小，通過(guò)假定震源頻率和細(xì)化網(wǎng)格，可以使波的頻率范圍包含重力壩結(jié)構(gòu)的主要振型。

1 震源與傳播路徑模擬

1.1 震源模擬

本文基于二維模型討論重力壩的動(dòng)力響應(yīng)與行波效應(yīng)及震源相對(duì)位置的關(guān)系，暫且不討論斷層空間效應(yīng)的影響，故將震源簡(jiǎn)化為點(diǎn)源，震源時(shí)間函數(shù)采用Ricker子波，時(shí)域表達(dá)式見(jiàn)式(1)，頻域表達(dá)式見(jiàn)式(2)，峰值頻率為4 Hz的Ricker子波的時(shí)域波形和幅值譜，如圖1所示。

(1)

(2)

1.2 譜元法模擬傳播路徑

譜元法的基本出發(fā)點(diǎn)和有限元一樣，也是由伽遼金加權(quán)余量法建立有限元的表達(dá)格式，不同之處在于它在每個(gè)單元上使用譜方法，即：將形函數(shù)取為無(wú)限可微函數(shù)(如Fourier級(jí)數(shù))，從而可以變換到譜空間求解。數(shù)值方法中，一般選取截?cái)嗟恼欢囗?xiàng)式(Chebyshev或Legendre多項(xiàng)式)。Dimitri Komatitsch首先基于Legendre多項(xiàng)式對(duì)彈性波方程求解。Legendre多項(xiàng)式遞推式如式(3)：

(3)

式中L0(x)=1，L1(x)=x。

譜元法和一般高階有限元方法差別就在于單元內(nèi)插值點(diǎn)和數(shù)值積分點(diǎn)的選取，Legendre譜元法將Legendre多項(xiàng)式的極值點(diǎn)作為單元內(nèi)插值點(diǎn)。以一維單元情形為例，取4階Legendre多項(xiàng)式，共有5個(gè)GLL點(diǎn)，其廣義坐標(biāo)向量為(-1.000 0，-0.654 7，0.000 0，0.654 7，1.000 0)，相應(yīng)的5個(gè)拉格朗日插值多項(xiàng)式圖像如圖2所示。數(shù)值積分采用Gauss-Lobatto積分，積分點(diǎn)位置和插值點(diǎn)位置重合，各點(diǎn)積分權(quán)值為：

(4)

式中j=1,2,…,5。

對(duì)于5個(gè)GLL點(diǎn)的一維單元，則計(jì)算出各個(gè)點(diǎn)的權(quán)值分別為(0.100 0，0.544 4，0.711 1，0.544 4，0.100 0)，對(duì)于Lagrange插值多項(xiàng)式有Li(xj)=δij，質(zhì)量矩陣寫(xiě)為：

(5)

矩陣中的元素?cái)?shù)值積分后，由公式(6)：

(6)

得到嚴(yán)格對(duì)角化的質(zhì)量矩陣：

(7)

對(duì)于二維情形，可由一維插值函數(shù)的張量積表達(dá)，位移的展開(kāi)形式如式(8)：

圖1 Ricker波的時(shí)域波形和幅值譜

(8)

φi(ξ)——一維插值形函數(shù)。

三維情形與二維類(lèi)似。

圖2 4階譜單元的拉格朗日插值函數(shù)

2 重力壩地震分析模型

2.1 實(shí)現(xiàn)方法

傳統(tǒng)的重力壩動(dòng)力計(jì)算中，采用的是沿截?cái)嗟鼗鶆蜉斎氲姆椒ǎ磸倪h(yuǎn)處傳來(lái)的地震波傳到近場(chǎng)邊界時(shí)，各個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)一致，對(duì)于大壩等大跨度結(jié)構(gòu)，截取的人工邊界的范圍也相應(yīng)較大，這種假設(shè)顯然是不合理的。采用圖3所示的方法將自由場(chǎng)加速度時(shí)程轉(zhuǎn)換成等效節(jié)點(diǎn)反力時(shí)程輸入建基面，并在地基截?cái)嗵幙紤]黏彈性人工邊界，即可模擬此非均勻性。而自由場(chǎng)加速度則是通過(guò)模擬震源和傳播路徑獲得，相比傳統(tǒng)方法更具有說(shuō)服力。

如圖3所示，分三個(gè)步驟進(jìn)行：

(1)用譜單元離散傳播路徑，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格尺寸和時(shí)間步長(zhǎng)，確定有效的頻率范圍。設(shè)定震源，激發(fā)彈性波并利用譜元法求解波動(dòng)方程，得到自由場(chǎng)建基面各點(diǎn)的加速度響應(yīng)。

(2)將近場(chǎng)地基作為子結(jié)構(gòu)，在邊界上施加黏彈性邊界條件以模擬輻射阻尼效應(yīng)，將第(1)步求得的加速度時(shí)程輸入建基面各點(diǎn)求得相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)反力時(shí)程。

(3)最后加上重力壩結(jié)構(gòu)，并在建基面各點(diǎn)輸入等效節(jié)點(diǎn)反力時(shí)程，用有限元方法對(duì)重力壩進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析。

2.2 SPECFEM2D程序網(wǎng)格敏感分析

二維譜單元網(wǎng)格型如圖4所示，長(zhǎng)度為10 km，深度為3 km。震源在距離左側(cè)邊界2 km處，接收點(diǎn)距離右側(cè)邊界4 km，震源到接收點(diǎn)距離為4 km。單元采用4階Legendre多項(xiàng)式插值，每個(gè)單元含有5×5=25個(gè)GLL點(diǎn)，分別計(jì)算粗細(xì)網(wǎng)格的有效頻率范圍。粗網(wǎng)格譜單元尺寸為100 m×100 m，包含3 000個(gè)單元，總自由度數(shù)為97 042；細(xì)網(wǎng)格譜單元尺寸為50 m×50 m，包含12 000個(gè)單元，總自由度數(shù)為386 082。

粗細(xì)網(wǎng)格分別計(jì)算得到的不同激震頻率下接收點(diǎn)x向位移時(shí)程如圖5和圖6所示，分別用粗細(xì)網(wǎng)格計(jì)算不同頻率的波，ricker波主頻分別為2 Hz、4 Hz、6 Hz、8 Hz、10 Hz。可以看出，由于數(shù)值離散，粗網(wǎng)格模型在主頻為4 Hz的時(shí)候波形和頻率成分都發(fā)生了改變，而細(xì)網(wǎng)格模型在主頻為4 Hz的時(shí)候仍然能夠保持原有的波形和頻率成分。

2.3 重力壩數(shù)值算例

2.3.1 計(jì)算條件及參數(shù)

取典型重力壩剖面，體型參數(shù)為高200 m，底寬140 m， 頂寬20 m， 坡比1 ∶0.7。 地基分別向上游、下游和豎直向下的方向延伸1.5倍壩高(300 m)，如圖7所示。壩體混凝土材料密度為2 400 kg/m3，彈性模量2.2E+10Pa，泊松比0.167，地基材料密度2 650 kg/m3，彈性模量2.5E+10Pa。壩體網(wǎng)格尺寸約10 m。壩體單元采用4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元，地基單元采用4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元。

圖3 計(jì)算過(guò)程示意

圖4 網(wǎng)格模型示意

圖5 粗(左)細(xì)(右)網(wǎng)格下不同激震頻率下波的傳播對(duì)比

圖6 粗(左)細(xì)(右)網(wǎng)格下不同激震頻率下觀測(cè)點(diǎn)位移幅值譜

譜通過(guò)自振分析得到重力壩前10自振階頻率以及各階模態(tài)的振型參與系數(shù)見(jiàn)表1。

圖7 壩體及地基有限元網(wǎng)格

模態(tài)12345678910頻率/Hz1.4103.1883.3725.6318.7168.86912.50113.34814.23916.212參與系數(shù)(x-分量)參與系數(shù)(y-分量)2.1660.498-2.0610.7680.086-1.7291.2110.5450.313-0.476-0.400-0.3550.2060.0380.0590.051-0.054-0.091-0.060-0.064

根據(jù)第3.2節(jié)所述，選取細(xì)網(wǎng)格模型模擬波的傳播過(guò)程，設(shè)震源位移時(shí)間函數(shù)為主頻4 Hz的Ricker子波，計(jì)算的加速度(歸一化)結(jié)果作為地震荷載輸入重力壩。波形和傅里葉譜如圖8所示。

圖8 輸入加速度波形和傅里葉譜

2.3.2 傳播介質(zhì)的影響

本節(jié)考慮傳統(tǒng)的均勻輸入方式和考慮地震波傳播過(guò)程的非均勻輸入對(duì)重力壩動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果的影響。如圖9(a)所示，輸入地震波的有限元節(jié)點(diǎn)分別編號(hào)為①～。圖9(b)給出了均勻輸入時(shí)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的加速度時(shí)程，可以看到各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是一致的。圖9(c)給出了非均勻輸入時(shí)各節(jié)點(diǎn)的加速度時(shí)程，各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在幅差和相差。非均勻輸入時(shí)分別考慮S波傳播速度Vs等于2.0 km/s、1.5 km/s、1.0 km/s三種情形。計(jì)算結(jié)果如圖10以及表2所示?？紤]幅差相差的非均勻輸入得到的最大主應(yīng)力結(jié)果明顯區(qū)別于均勻輸入：

(1)壩體上部，非均勻輸入的應(yīng)力結(jié)果小于均勻輸入，均勻輸入條件下，壩頸部上游面和下游面分別出現(xiàn)0.6 MPa和1.4 MPa的拉應(yīng)力。而非均勻輸入且波速等于2.0 km/s時(shí)，相應(yīng)部位的拉應(yīng)力分別降至0.4 MPa和1.0 MPa。當(dāng)波速進(jìn)一步減小，即非均勻性增強(qiáng)時(shí)，壩體動(dòng)力響應(yīng)減弱變得更加明顯。

(2)壩底處，非均勻輸入導(dǎo)致最大主應(yīng)力值有所增大，幅差相差在壩體引起的各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的不一致有增大壩底處動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生的拉應(yīng)力的趨勢(shì)。

另外，圖11給出了壩頂?shù)膭?dòng)力響應(yīng)過(guò)程，可以看到非均勻輸入條件下壩頂點(diǎn)的加速度幅值有所降低。

圖9 均勻輸入和非均勻輸入的加速度時(shí)程

(a)均勻輸入

(b)非均勻輸入，Vs=2.0 km/s

(c)非均勻輸入，Vs=1.5 km/s (d)非均勻輸入，Vs=1.0 km/s

圖11 不同輸入機(jī)制下壩頂?shù)募铀俣软樅酉蚍磻?yīng)時(shí)程

輸入機(jī)制最大主應(yīng)力極值/MPa壩頂加速度極值/m·s-2均勻輸入1.8910.40非均勻輸入Vs=2.0 km/s1.428.06Vs=1.5 km/s1.186.56Vs=1.0 km/s0.733.50

對(duì)于一般的工程場(chǎng)址，P波波速約在2～3 km/s，S波波速在1～2 km/s。由上述計(jì)算結(jié)果可知，實(shí)際工程中，地震波的行波效應(yīng)對(duì)壩體動(dòng)力響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生一定的影響。對(duì)于重力壩，表現(xiàn)為降低壩頂反應(yīng)，同時(shí)增大壩底附近的拉應(yīng)力(主要為壩底中部)。對(duì)于拱壩結(jié)構(gòu)，其跨度更大，加之峽谷兩側(cè)的地形影響，行波效應(yīng)更加明顯，對(duì)此需要做專(zhuān)門(mén)的三維分析，此處不予詳述。

2.3.3 震源位置的影響

前面的內(nèi)容都是假設(shè)震源位于重力壩上游側(cè)，波由上游方向入射。本節(jié)討論波從不同方向傳入的影響，設(shè)置位于重力壩下游側(cè)的震源，比較不同震源位置對(duì)重力壩動(dòng)力響應(yīng)的影響。圖12表明，考慮靜動(dòng)荷載疊加時(shí)震源位置對(duì)應(yīng)力分布結(jié)果影響不大，相同的波速下，上游側(cè)震源和下游側(cè)震源的應(yīng)力分布規(guī)律基本一致。但是從圖13給出的純動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果可以看出，震源位置對(duì)重力壩的純動(dòng)力響應(yīng)有顯著的影響：當(dāng)震源位于上游側(cè)時(shí)，壩踵部位的拉應(yīng)力較大；而當(dāng)震源位于下游側(cè)時(shí)，壩趾部位的拉應(yīng)力較大。從整體應(yīng)力分布來(lái)看，整個(gè)受拉區(qū)有向震源一側(cè)偏移的趨勢(shì)。不同震源位置條件下，壩體上部應(yīng)力分布規(guī)律仍基本一致。

(a)上游側(cè)震源

(b)下游側(cè)震源

(a)上游側(cè)震源

(b)下游側(cè)震源

3 結(jié) 論

本文提出的基于地震學(xué)方法為大壩動(dòng)力分析提供輸入的方法，比傳統(tǒng)輸入方法更具有科學(xué)性和說(shuō)服力。通過(guò)此方法，可以考慮非均勻輸入以及震源和結(jié)構(gòu)相對(duì)位置的影響，并且通過(guò)重力壩算例分析得到了初步的結(jié)論：

(1)考慮非均勻輸入的重力壩整體動(dòng)力響應(yīng)明顯低于均勻輸入，但是在壩底部中間小范圍區(qū)域會(huì)出現(xiàn)更高的拉應(yīng)力，且這種影響隨著結(jié)構(gòu)空間尺度的增加而增加，在大型水利工程的設(shè)計(jì)中應(yīng)該予以考慮。

(2)震源和結(jié)構(gòu)的相對(duì)位置使得重力壩拉應(yīng)力區(qū)趨向于靠著震源一側(cè)偏移，即震源側(cè)的動(dòng)力響應(yīng)更高。對(duì)這一方面進(jìn)一步的研究，可以為工程選址和大跨度結(jié)構(gòu)局部加固提供有意義的成果。

本文僅通過(guò)較小規(guī)模的二維算例，研究了重力壩的動(dòng)力響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了從震源模擬到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的過(guò)程，但是未考慮實(shí)際地形和速度結(jié)構(gòu)的影響，根據(jù)此思路的進(jìn)一步的研究工作已經(jīng)取得成果：基于三維模型利用譜元法進(jìn)行地震波傳播模擬，并且考慮地形地質(zhì)條件的影響，結(jié)合地震學(xué)高頻隨機(jī)模擬方法，合成寬頻帶地震波，以此作為地震動(dòng)輸入用于計(jì)算峽谷地形中拱壩的地震響應(yīng)。