李 明，封 航，李瑩月

(北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100191)

0 引言

伺服電機+滾珠絲杠結構構成的Z軸裝配臂在做精密直線運動時，非線性摩擦力會對其精密運動的動靜態(tài)特性產生較大影響，主要表現(xiàn)在速度跟蹤時的“過零”現(xiàn)象和位置跟蹤時的“平頂”現(xiàn)象，從而導致直線位置伺服運動的滑動、爬行[1]?；诜蔷€性摩擦力數(shù)學模型，利用參數(shù)辨識來估計非線性摩擦力并對其進行補償，可以有效地消除非線性摩擦力對直線位置伺服系統(tǒng)的影響。

當前，對非線性摩擦力的數(shù)學描述主要分為靜態(tài)描述和動態(tài)描述[2]，如Bingham模型、Stribeck模型、Dahl模型等。其中，Canudas等在1995年提出的LuGre摩擦模型解釋了實際系統(tǒng)中觀測到的Stribeck效應、Dahl效應、粘-滑運動、預滑動位移、滯后以及變靜摩擦力等摩擦現(xiàn)象，較全面地描述了摩擦的動、靜態(tài)特性[3]，從而受到廣泛的應用。在對LuGre摩擦模型參數(shù)進行辨識的研究方面，目前主要采用“先靜態(tài)、后動態(tài)”[4-5]或“先線性、后非線性”[6-7]等兩步辨識方法。此類方法實驗量大，辨識過程復雜，存在求取高度非線性一階微分摩擦模型參數(shù)最優(yōu)解時易陷入局部最優(yōu)等局限性。

本論文針對非線性摩擦力會對精密伺服系統(tǒng)動靜態(tài)性能產生干擾和采用LuGre摩擦模型對非線性摩擦力進行消除過程中LuGre摩擦模型參數(shù)辨識方法復雜，以及辨識結果易陷入局部最優(yōu)等問題，對非線性LuGre摩擦模型參數(shù)辨識及補償進行了研究。在研究過程中，首先建立了Z軸直線裝配臂的數(shù)學模型；然后討論了LuGre摩擦模型下摩擦擾動對Z軸直線位置伺服系統(tǒng)動靜態(tài)特性的影響；而后提出了一種改進遺傳算法來優(yōu)化摩擦參數(shù)的辨識，減小辨識結果陷入局部最優(yōu)的概率，獲取全局最優(yōu)解；最后對LuGre摩擦模型參數(shù)進行了辨識實驗，驗證了所提算法的先進性；同時，在Simulink中，設計了前饋補償器對非線性摩擦力進行了補償。

1 Z軸裝配機械臂系統(tǒng)描述

圖1 Z軸裝配機械臂系統(tǒng)結構圖

Z軸裝配機械臂系統(tǒng)結構如圖1所示，該裝配機械臂系統(tǒng)主要包括PMSM&光電編碼器、滾珠絲杠副、工作臺、光柵尺等。在實際工作中，由PMSM驅動工作臺沿著滾珠絲杠副在Z向上做上下運動，光電編碼器主要檢測PMSM的轉動方向和轉動速度，光柵尺則實時反饋工作臺實際位置。

圖3 Z軸裝配臂伺服系統(tǒng)的傳遞模型

1.1 PMSM數(shù)學模型

在不影響控制性能的假設條件下[8-9]，建立d-q旋轉坐標系下的PMSM狀態(tài)方程如式(1)。

(1)

式中，R為電樞繞組電阻；ud、uq為d-q軸定子電壓；id、iq為d-q軸定子電流；ψf為轉子磁場等效磁鏈；J為轉子轉動慣量；B為黏滯摩擦系數(shù)；ωr為轉子角速度；ω=pnωr為轉子電角速度；pn為極對數(shù)。

1.2 滾珠絲杠副動力學模型

如圖2為Z軸裝配臂系統(tǒng)滾珠絲杠副的動力學模型，滾珠絲杠副的數(shù)學模型主要根據(jù)滾珠絲杠副的軸向及徑向平衡來建立[10-11]。

圖2 Z軸滾珠絲杠副動力學模型

根據(jù)滾珠絲杠副的軸向及徑向平衡，得到滾珠絲杠副的動力學方程：

TL=K1(θr-θz)

(2)

(3)

(4)

結合PMSM的數(shù)學模型，建立Z軸裝配臂伺服系統(tǒng)的傳遞模型如圖3所示。

圖3中，Kp、Kω為位置、速度放大器的增益，Kpf、Kωf為位置、速度反饋增益。

2 LuGre摩擦模型及摩擦擾動分析

2.1 LuGre摩擦模型

如圖4所示，Canudas等[12]提出的LuGre摩擦模型在微觀上將兩個物體面間的接觸視作由無數(shù)細小的具有彈性的鬢毛組成，當兩個物體發(fā)生相對位移，接觸面間的鬢毛會發(fā)生彈性形變產生回復力即為摩擦力。將鬢毛的平均彈性形變以狀態(tài)變量z(t)表示，得到LuGre摩擦模型：

圖4 LuGre摩擦模型物體接觸面間微觀圖

(5)

式中，z(t)為鬢毛平均彈性形變；v(t)為接觸面間相對速度；vs為StriBeck速度；Fc為庫倫摩擦力；Fs為最大靜摩擦力；σ0為剛度系數(shù)；σ1為阻尼系數(shù)；σ2為黏滯系數(shù)；Ff(t)為摩擦力。

2.2 摩擦擾動分析

根據(jù)式(5)將不可量測量鬢毛平均彈性形變當做中間狀態(tài)變量，在Simulink下可建立LuGre摩擦模型的仿真模型，如圖5所示。

圖5 LuGre摩擦仿真模型

忽略正負方向上LuGre摩擦模型參數(shù)的細微差異，設置LuGre摩擦模型的仿真參數(shù)：vs=0.0125m/s，F(xiàn)c=3.82N，F(xiàn)s=8.16N，σ0=84000N/m，σ1=260N·s/m，σ2=28N·s/m，得到LuGre摩擦模型靜態(tài)Stribeck曲線如圖6所示。

圖6 LuGre摩擦模型Stribeck曲線

將LuGre摩擦模型引入到Z軸裝配機械臂系統(tǒng)模型，設置Z軸裝配機械臂系統(tǒng)仿真參數(shù)：R=0.01207Ω，L=2.79mH，pn=4，Mt=5kg，ψf=0.07645Wb ，J=0.0192kg·m2，Jm=0.05kg·m2，K1=1.96×106N/m，K2=9.8×104N/m，l=0.02m，cb=0.0005N/(m/s)，B=0.0001N/(m/s)，得Z軸裝配機械臂速度和位置跟蹤曲線，如圖7、圖8所示。

圖7 速度跟隨曲線

圖8 位置跟隨曲線

由圖7、圖8可以看出，在速度跟蹤過程中，由于非線性摩擦力的存在，當速度穿過零點時，速度跟蹤曲線發(fā)生嚴重變形，出現(xiàn)跟蹤死區(qū)的情況，這也就是我們常說的“速度過零”現(xiàn)象，從而導致位置跟蹤出現(xiàn)明顯的“平頂”現(xiàn)象，因此需要對非線性摩擦力進行消除。

對LuGre非線性摩擦力進行消除前，需對LuGre摩擦模型的參數(shù)進行辨識。針對傳統(tǒng)遺傳算法的局限，本論文提出了一種改進遺傳算法來提高LuGre摩擦模型參數(shù)辨識的有效性與準確率。

3 改進遺傳算法摩擦參數(shù)辨識與補償

遺傳算法是一種自適應啟發(fā)式概率性迭代式全局搜索算法[13]。然而，在對LuGre摩擦模型參數(shù)進行辨識時，由于高度非線性和一階微分項的存在，遺傳算法辨識結果容易陷入局部最優(yōu)[14-15]。

3.1 改進遺傳算法的設計

針對傳統(tǒng)遺傳算法在LuGre摩擦模型的參數(shù)辨識容易陷入局部最優(yōu)的問題，基于傳統(tǒng)遺傳算法，本論文提出了通過設立不同單輪進化初始辨識親代種群，并進行多輪進化的方法，來解決高度非線性微分LuGre摩擦模型參數(shù)辨識局部最優(yōu)問題，從而獲取參數(shù)全局最優(yōu)解。在進行改進遺傳算法的設計前，為了模型以及程序設計的實現(xiàn)，對式(5)的LuGre摩擦模型進行了離散化設計：

(6)

設摩擦力的誤差為：

e(k)=FfR(k)-FfI(k)

(7)

式中，F(xiàn)fR(k)為實際LuGre摩擦力，F(xiàn)fI(k)為識別的LuGre摩擦力。

定義目標函數(shù)：

(8)

式中，N為采樣次數(shù)，辨識目標為使適配值J最小。

然后，再進行改進遺傳算法的設計，其具體實現(xiàn)步驟為：①初始化：設定待辨識參數(shù)；設定進化輪數(shù)與單輪進化代數(shù)；設定各待辨識參數(shù)搜索空間。②根據(jù)各待辨識參數(shù)搜索空間，產生單輪進化初始親代種群，產生方法如式(9)所示。

(9)

(10)

Pm(g)=0.02-(0.02-0.001)g/G

(11)

式中，Pm為變異概率，g為當前進化次數(shù)，G為單輪最大進化次數(shù)，同時計算該子代種群各個體對應適配值。④判定單輪進化代數(shù)是否完成，若未完成，利用排位次法選取相應種群數(shù)量的當代適配值最高個體群作為新的親代種群返回到第三步，若完成，則進入第五步。⑤獲取單輪進化最優(yōu)解并存儲。⑥判定進化輪數(shù)是否完成，若未完成，返回第二步，若完成，則進入第七步。⑦計算各輪進化最優(yōu)解適配值，選取全局最優(yōu)解輸出。

以上步驟可由圖9來表示。

圖9 改進遺傳算法流程圖

3.2 LuGre摩擦模型參數(shù)辨識實驗

圖10 LuGre摩擦前饋補償模型

根據(jù)LuGre摩擦模型的數(shù)學表達式(式6)，設定6個待辨識的參數(shù)vs=0.0125m/s，F(xiàn)c=3.82N，F(xiàn)s=8.16N，σ0=84000N/m，σ1=260N·s/m，σ2=28N·s/m，其搜索空間分別為vs∈[0,0.1]，F(xiàn)c∈[0,50]，F(xiàn)s∈[0,50]，σ0∈[60000,100000]，σ1∈[0,500]，σ2∈[0,100]，進化輪數(shù)G1=20，單輪進化次數(shù)G2=200。

在Matlab下分別進行傳統(tǒng)遺傳算法和改進遺傳算法的參數(shù)辨識仿真實驗，得到在傳統(tǒng)遺傳算法下連續(xù)10次進行參數(shù)辨識的結果和在改進遺傳算法下連續(xù)10次進行參數(shù)辨識的結果如表1、表2所示。

表1 傳統(tǒng)遺傳算法下LuGre摩擦參數(shù)辨識結果

表2 改進遺傳算法下LuGre摩擦參數(shù)辨識結果

續(xù)表

由表1、表2比較可知，在對高度非線性LuGre摩擦模型的參數(shù)進行辨識的過程中，傳統(tǒng)的遺傳算法辨識結果出現(xiàn)局部最優(yōu)的概率較大；而本文提出的改進遺傳算法，通過離散化LuGre摩擦模型，可一次對LuGre摩擦模型的6個動、靜態(tài)參數(shù)進行辨識，并將辨識結果陷入局部最優(yōu)的概率從0.3左右降低到了0.1以下，提高了參數(shù)辨識的正確性。同時，辨識誤差從10%左右降低到了3%以內，辨識精度得到了提高。

3.3 基于LuGre摩擦模型的摩擦補償實驗

如圖10所示，在Z軸直線位置伺服裝配臂系統(tǒng)中，采用前饋補償?shù)姆绞綄軸直線伺服裝配臂的LuGre摩擦力擾動進行補償。

根據(jù)圖中前饋摩擦補償模型設計LuGre摩擦前饋補償器為：

(12)

圖11 補償前后速度跟隨曲線

圖12 補償前后位置跟隨曲線

根據(jù)表2中改進遺傳算法辨識結果取vs=0.01254m/s，F(xiàn)c=3.822N，σ0=84012N/m，F(xiàn)s=8.155N，σ1=260.5N·s/m，σ2=27.9N·s/m，得到補償結果如圖11、圖12所示。

由圖11、圖12可知，根據(jù)改進遺傳算法所獲取的非線性摩擦模型參數(shù)，對Z軸直線位置伺服裝配臂進行前饋補償，做速度跟蹤時，當速度穿過零點，速度跟蹤曲線嚴重變形現(xiàn)象消失，沒有出現(xiàn)跟蹤死區(qū)的情況，“速度過零”現(xiàn)象得以消除；與此同時，位置跟蹤中的“平頂”現(xiàn)象消除。由此可見，基于改進遺傳算法所獲取的非線性摩擦參數(shù)，對Z軸直線位置伺服裝配臂的非線性摩擦力進行前饋補償，可有效地消除非線性摩擦力對直線伺服系統(tǒng)的影響，從而提高了該直線伺服裝配臂系統(tǒng)的伺服性能。

4 結論

在精密伺服機械臂運動系統(tǒng)中，非線性摩擦力將對系統(tǒng)的動靜態(tài)性能帶來不利影響，因此需消除其所帶來的干擾。本文首先針對非線性摩擦力對精密伺服機械臂的動靜態(tài)性能的影響，利用LuGre摩擦模型來對非線性摩擦力進行數(shù)學描述，通過對LuGre摩擦模型離散化求解，解決了“分步辨識”實驗量大、辨識過程復雜的問題，實現(xiàn)了“一步辨識”；然后針對現(xiàn)有LuGre摩擦模型參數(shù)辨識方法的局限性，提出了一種改進遺傳算法，對LuGre摩擦模型的參數(shù)進行辨識，結果表明，相比于傳統(tǒng)的遺傳算法，所提的改進遺傳算法將辨識結果陷入局部最優(yōu)的概率從0.3左右降低到了0.1以下，辨識誤差從10%左右降低到了3%以內，辨識有效性和精度均得到了提高；最后根據(jù)辨識的參數(shù)，設計了前饋補償器對LuGre非線性摩擦力進行了補償，實驗結果表明，通過前饋補償可有效地消除非線性摩擦力對精密伺服機械臂系統(tǒng)的動靜態(tài)性能的影響，提高精密伺服系統(tǒng)性能。