□周如俊

（灌南中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校，江蘇灌南 222500）

【2018年江蘇（文理）第19題】試題如下：記f′(x)，g′(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù) .若 存 在 x0∈R，滿(mǎn)足 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0)，則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

（1）（略）；

（2）（略）；

（3）已知函數(shù)f(x)=-x2+a，g(x)=任意a＞0，判斷是否存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.

江蘇省教育考試院給出“參考答案”摘錄如下：

（3）對(duì)任意a＞ 0，設(shè)h(x)=x3-3x2-ax+a.

因?yàn)閔(0)=a＞0，h(1)=-2＜0，且h(x)的圖解是不間斷的，

所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0，

由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得

此時(shí)，x0滿(mǎn)足方程組（**），即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

因此，對(duì)于任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.

2016級(jí)高三學(xué)生研讀“參考答案”時(shí)感到懵懂與迷茫，提出四個(gè)方面疑問(wèn)：一是為何一開(kāi)始就構(gòu)建函數(shù)h(x)=x3-3x3-ax+a，而不是構(gòu)建其他函數(shù)？二是“參考答案”中“此時(shí)，x0滿(mǎn)足方程組（**）”的結(jié)論理由是什么？是否省略了一些解題過(guò)程？三是對(duì)于“對(duì)于任意a＞ 0，存在b＞ 0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在一個(gè)‘S點(diǎn)’”結(jié)論，是否存在兩個(gè)或3個(gè)“S點(diǎn)”？四是滿(mǎn)足“f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)”條件下兩個(gè)函數(shù)之間是怎樣的關(guān)系？能否用數(shù)學(xué)公式表征出來(lái)？為此，筆者基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視域，在教學(xué)中做了一些探究，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題解法與命題本源試做一些探討.

一、解題的“塑源”——培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)

參考答案解法是逆向思維綜合解法，學(xué)生識(shí)讀時(shí)感到晦澀難懂.為此，采用正向思維法，對(duì)原解法做了改進(jìn).其解題關(guān)鍵是：確立b＞0時(shí)x0的范圍.然后構(gòu)造函數(shù)h(x)，驗(yàn)證x0存在的區(qū)間上h(x)有解（即有零點(diǎn)），結(jié)論成立.

假設(shè)對(duì)任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”，則

由f′(x0)=g′(x0)知：即b=

對(duì)任意a＞0，b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.

由 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0)，得出

以下解法同參考答案.

以上詮釋了學(xué)生前兩個(gè)疑問(wèn).

【教學(xué)啟示】高考解題教學(xué)過(guò)程也是師生數(shù)據(jù)（信息）分析過(guò)程，而不是僅靠“參考答案”的“復(fù)制”式講述過(guò)程.為什么參考答案中一開(kāi)始就要構(gòu)建相關(guān)三次函數(shù)，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)據(jù)分析，提升數(shù)據(jù)處理（包括數(shù)據(jù)抽象化、邏輯推理、最優(yōu)分析、符號(hào)運(yùn)算）技巧.即針對(duì)高考試題內(nèi)容與參考答案的研究對(duì)象，調(diào)取相關(guān)求解信息與關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)，進(jìn)行邏輯分析和縝密推斷，注重學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)問(wèn)題、體驗(yàn)解決問(wèn)題的形成過(guò)程：從試題中學(xué)會(huì)收集數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)歸類(lèi)中提煉關(guān)鍵數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)挖掘中提取關(guān)聯(lián)信息，構(gòu)建學(xué)生熟悉的函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、排列組合、線(xiàn)性規(guī)劃等數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、邏輯推斷與類(lèi)比整合，獲得解題的相關(guān)結(jié)論、方法、思想和智慧.這種數(shù)據(jù)“分析”過(guò)程主要包括：“信息識(shí)別（體驗(yàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息）—數(shù)據(jù)收集—挖掘（分析）數(shù)據(jù)—模型選定—數(shù)據(jù)改進(jìn)（提煉）.”最終促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的思維深度，增強(qiáng)學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達(dá)與提煉的問(wèn)題求解意識(shí)，積累依托數(shù)據(jù)探索解題的關(guān)聯(lián)、本質(zhì)、模型、思想和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化為學(xué)生自己的結(jié)構(gòu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成通過(guò)數(shù)據(jù)分析與邏輯推理認(rèn)識(shí)試題命題本質(zhì)的思維品質(zhì).

二、解題的“化歸”——培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)

以上“對(duì)于任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在一個(gè)‘S點(diǎn)’”論證，應(yīng)用了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f(a)f(b)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在x0∈(a,b)，使得 f(x0)=0，這個(gè) x0也就是f(x)=0的根.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，能確定函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一；另外，并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來(lái)確定.也可以說(shuō)不滿(mǎn)足該定理的條件，并不能說(shuō)明函數(shù)在(a,b)上沒(méi)有零點(diǎn).例如，函數(shù)f(x)=x2-5x+6，有f(0)f(4)＞ 0，但函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（0，4)上有兩個(gè)零點(diǎn)；只有y=f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f(a)f(b)＜0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn).

對(duì)于考生的第三個(gè)疑問(wèn)，其實(shí)涉及了“三次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題”.依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及相關(guān)結(jié)論，結(jié)合文獻(xiàn)[1-2]內(nèi)容，對(duì)表1三次函數(shù)圖象情況進(jìn)行拓展，做一般性推廣，得到如下推論.

表1

【推論 11】三次函數(shù)（fx）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)

f（′x）=3ax2+2bx+c，記 Δ=4b2-12ac，設(shè)f（′x）=0的兩根為x1，x（2x1＜x2），

則：

（1）若三次函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)（即存在三個(gè)零點(diǎn)），則Δ＞0且（fx1）·（fx2）＜0；

（2）若三次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（即存在二個(gè)零點(diǎn)），則Δ＞0且（fx1）·（fx2）=0；

（3）若三次函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（即存在一個(gè)零點(diǎn)），則Δ＞0且（fx1）·（fx2）＞0或Δ≤0.

利用推論1詮釋考生的第三個(gè)疑問(wèn)：

函數(shù) h(x)=x3-3x2-ax+a，則 h′(x)=3x2-6x-a.

因 a＞0，Δ=(-6)2-4×3×(-a)=36+12a＞0，故由推論1可知，三次函數(shù)h(x)=x3-3x2-ax+a圖象與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).

令h′(x)=3x2-6x-a=0，則因a＞0，則

故h(x)=x3-3x2-ax+a圖象如表1類(lèi)型Ⅰ情況：

（1）若x∈(-∞,+∞)時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)x0.三個(gè)零 點(diǎn) 取 值 范 圍 分 別 是 ：x01∈(-∞,x1)，x02∈(x1,x2)，x03∈(x2,+∞).

因?yàn)閔(0)=a＞0，h(1)=-2＜0，且h(x)的圖象是不間斷的，所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0.

（2）若x∈(-∞,+∞)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)x0.兩個(gè)零點(diǎn)取值范圍分別是：x01=x1，x02∈(x2,+∞)或x01∈(-∞,x1)，x02=x2.

故此種情況不存在.

（3）若x∈(-∞,+∞)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)x0.一個(gè)零點(diǎn)取值范圍是：x0∈(-∞,x1).

故此種情況也不存在.

由于考題只需要證明存在零點(diǎn)即可.但作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究時(shí)，上述探討三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的模型對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具有普適性的意義.

綜上所述，2018年江蘇（文理）第19題解題本質(zhì)是“三次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題”.這與2015年江蘇（文理）第19題命題本質(zhì)是一樣的.

【2015年江蘇（文理）第19題】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

（1）試討論f(x)的單調(diào)性；

（2）若b=c-a（實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是求c的值.

【解析】（略）

【教學(xué)啟示】高考解題教學(xué)過(guò)程也是培養(yǎng)學(xué)生將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的、熟習(xí)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的“建?！边^(guò)程.即對(duì)高考試題解題教學(xué)中遇到三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的求解難點(diǎn)，師生要勇于合作探究，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、式子、圖形、程序等方式進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與表征問(wèn)題（如將三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f（′x）=3ax2+2bx+c的判別式記為Δ=4b2-12ac，導(dǎo)函數(shù)f（′x）=0的兩根記為x1，x2），善于用函數(shù)（fx）、導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)和Δ＞0（Δ≤0）、（fx1）·（fx2）＞0（（fx1）·（fx2）＜0或f(x1)?f(x2)=0）不等式（組）聯(lián)合求解方法，構(gòu)建推論1數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的模型.這種數(shù)學(xué)“建?！边^(guò)程主要包括：“問(wèn)題復(fù)述—問(wèn)題分析—問(wèn)題的假設(shè)—符號(hào)抽象—構(gòu)建模型—求解結(jié)論—模型（結(jié)果）驗(yàn)證—模型改進(jìn).”最終促進(jìn)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維廣度，積累用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)表述來(lái)建立數(shù)學(xué)模型解決高考試題問(wèn)題的方法或經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)多題一解、多解歸一的抽象思維品質(zhì)，提高學(xué)生分析與解決問(wèn)題的應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與應(yīng)用數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識(shí).

三、解題的“拓展”——培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)

學(xué)生的第四個(gè)疑問(wèn)，其實(shí)提出了2018年江蘇（文理）第19題命題的本源問(wèn)題.由高等數(shù)學(xué)知識(shí)一元函數(shù)的泰勒公式推出以下結(jié)論.

【推論2】[3]假設(shè)一元函數(shù)f(x)，g(x)在x0的某一鄰域均有定義，則f(x)，g(x)兩個(gè)函數(shù)：

（1）若f(x0)=g(x0)，則兩函數(shù)在y坐標(biāo)的高度相同；

（2）若f′(x0)=g′(x0)，則兩函數(shù)的圖象在x0點(diǎn)斜率相同；

（3）若 f′′(x0)=g′′(x0)，則兩函數(shù)在 x0某一鄰域的凹凸性相同；

（4）若f(x0)=g(x0)，且兩函數(shù)在x0處各階導(dǎo)數(shù)均相同，則兩函數(shù)的圖象在x0的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)是相同（重合）的（即兩個(gè)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)）.

第（1）～（3）個(gè)結(jié)論簡(jiǎn)單.以下通過(guò)泰勒公式來(lái)說(shuō)明推論2中第（4）個(gè)結(jié)論的正確性.

【一元函數(shù)的泰勒公式】[4]若函數(shù)f(x)包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開(kāi)區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x，成立下式：

其中，f(n)(x)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開(kāi)式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項(xiàng)，是(xx0)n的高階無(wú)窮小.

一元函數(shù)的泰勒公式，表示函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無(wú)窮級(jí)數(shù)表示出來(lái).若f(x0)=g(x0)，且兩個(gè)函數(shù)在x0處各階導(dǎo)數(shù)都相同，則f(x)，g(x)兩個(gè)函數(shù)可以展開(kāi)成同一個(gè)多項(xiàng)式，并且多項(xiàng)式是無(wú)窮項(xiàng).因此f(x)，g(x)根據(jù)等量代換，即為同一個(gè)函數(shù).這正是泰勒公式的真正含義.

由一元函數(shù)泰勒公式可聯(lián)想到2018年江蘇（文理）第19題命題的本質(zhì)，形成如下結(jié)論.

【推論3】若函數(shù)f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，則函數(shù) g(x)最簡(jiǎn)單的形式可表示

推論3詮釋了考生的第四個(gè)疑問(wèn)，據(jù)此可構(gòu)建或編擬，或驗(yàn)證：滿(mǎn)足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)的兩個(gè)函數(shù)：f(x)，g(x).

以下利用推論3解答2018年江蘇（文理）第19題.

由推論3可知g(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0).

由 f′(x0)=g′(x0)知：-

假設(shè)對(duì)任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”，則b=0,即1-x0＞ 0，0＜ x0＜ 1.

由f(x0)=g(x0)得：-

以下解法同參考答案，故略.

【教學(xué)啟示】高考解題教學(xué)過(guò)程也是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”思維過(guò)程.即從高考題內(nèi)容與解題背景中分析問(wèn)題的“三對(duì)關(guān)系”（數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系、概念與概念關(guān)系），依據(jù)數(shù)學(xué)抽象的“四項(xiàng)基本原則”（弱抽象：“特征分離概括化原則”；強(qiáng)抽象：“關(guān)系定性特征化原則”；構(gòu)象化抽象：“新元添加完備化原則”；公理化抽象：“公理抽象系統(tǒng)化原則”），從問(wèn)題的具體背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的結(jié)構(gòu)化式子或一般性的規(guī)律（或結(jié)論），嘗試用抽象符號(hào)或簡(jiǎn)潔術(shù)語(yǔ)予以表征出來(lái).這種數(shù)學(xué)表征“抽象”過(guò)程主要包括：“信息采集—關(guān)系分析—特征抽取—符號(hào)抽象—數(shù)學(xué)表征—結(jié)構(gòu)提煉—應(yīng)用評(píng)價(jià)—抽象改進(jìn)”，“貫穿在問(wèn)題求解的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用與拓展的抽象思維過(guò)程中”，最終促進(jìn)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維高度，堅(jiān)持通過(guò)抽象、建模、運(yùn)算、推理、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握試題命題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使得數(shù)學(xué)或命題成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).學(xué)生也只有在積累從具體（數(shù)量、圖形、經(jīng)驗(yàn)）到抽象（概念、特征、公理）的解題活動(dòng)體驗(yàn)基礎(chǔ)上，才能更好地透徹理解數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、公式、命題、方法、定理（公理）和體系 .