李明宇

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

國際集裝箱運輸主要由班輪承擔，班輪航線與船期設計是班輪運輸企業(yè)的核心運營任務之一。在規(guī)劃階段，決策者面臨貨物運輸需求、天氣和海況、航行時間與成本等因素的不確定性，所規(guī)劃出船期與航線在實際情況下表現常常不如人意。因此研究船期與航線規(guī)劃對提高班輪運輸企業(yè)的盈利水平和風險控制具有重要意義。

在海運網絡設計中，盡管不確定因素廣泛存在，有限的研究卻集中于特定的不確定因素。Alvarez等[1]研究了在散貨船購買與銷售價格及租船費不確定條件下的多階段船隊規(guī)模與部署問題，采用魯棒整數規(guī)劃方法使船隊凈現值達到最大；Meng等[2-3]進行了一系列應用不確定規(guī)劃理論解決航運網絡設計問題的研究。他們綜合了樣本平均近似法、線性化技術和分解技術設計算法，解決了一個考慮港口操作和等待時間長度不確定的班輪船期設計問題，以基于亞-美-歐航線的大量數值實驗證實了模型的有效性。此后，他們還研究了一個需求不確定下班輪船隊設計與調度問題，獲得了對集裝箱運輸需求變化敏感性低的最優(yōu)解；Shyshou等[4]針對不確定錨泊操作時間，采用離散事件模擬法提出了一個成本最低的船隊規(guī)模模型；Oh等[5]考慮燃油價格不確定下的燃料購買與航速優(yōu)化問題，構造基于情景的混合整數線性規(guī)劃模型將航行成本控制在最低。

然而，以上研究均未考慮天氣和海況對航行時間的影響。船舶通航受環(huán)境影響極大，無論是風、浪、流或浮冰都會使船舶滯航甚至需要使用第三方服務才能如期航行，否則只能保持極低航速，面臨貨物遲交的違約風險，但第三方服務需要高昂的傭金，規(guī)劃階段就需要考慮這一問題。保守地規(guī)劃船期可以避免上述問題，但會失去對貨主的吸引力，進而訂單量減少收入降低。鑒于當前航運市場不景氣，航運公司抵御風險能力弱的情況，本文選用魯棒優(yōu)化理論進行研究。首先提出了考慮不確定天氣和海況對航行時間和航行成本影響，以及遲到罰金和時間敏感需求的班輪航線與船期的確定性模型，并針對兩種不確定性集合，分別轉化為可解的魯棒對等式，通過案例分析對模型進行了驗證，并給出了模型應用的建議。

1 問題描述與數學模型

1.1 問題描述及假設

在集裝箱班輪規(guī)劃中，班輪公司需要依據對航行成本、訂單量和通航條件的預測評估，選擇掛靠港以及掛靠順序，并公布相應的船期。天氣與海況的不確定性對航行成本、時間及訂單量都有影響。但是航行成本與訂單量分別與預期航行時間有關：預期航行時間越長，成本越高，越不可能延遲交付貨物并支付罰金，但所獲得的訂單量越少。因此，天氣與海況的不確定性在本文中指航行時間的不確定性，通過將預期航行時間轉化為航行成本和訂單量，班輪航線與船期規(guī)劃的目標就是實現班輪運營收益的最大化，即在滿足載貨能力的條件下，合理選擇掛靠港，預測訂單量、裝載計劃和在各港口的遲到罰金支付情況，使得包括運輸收入、航行成本和遲到罰金在內的航線總運營收益最大化。

問題的基本假設如下：(1)航行成本可視為航行時間的線性函數。航行成本主要來自于燃料成本。根據文獻[6]，對特定航段而言，總航行成本可近似為航行時間的線性增函數；(2)兩港口之間的時間敏感需求量可視為兩港間公布船期之差的線性減函數；(3)在任一港口遲到的罰金恒為常數。上述假設的目的是保持模型的線性結構，保證模型可解，隨著研究深入，未來會松弛掉上述假設。

1.2 參數與變量

決策變量：xij為航段指示器，若港口(i,j)相鄰xij=1，否則xij=0；ypq為起點和終點分別為(p，q)的貨物量；Ti為港口i宣告到港時間；ei為港口i處準時性指示變量，若在港口i處遲到則ei=1，否則ei=0；dpq為起訖點為(p，q)的期望需求量；wj為港口j處準時性約束的對偶變量；zij為對實際不確定系數ζij約束的對偶變量。

1.3 確定性模型

基于以上問題假設和參數定義，建議考慮天氣海況不確定性的班輪航線船期規(guī)劃模型如下

目標函數：

(1)

約束條件：

(2)

(3)

yuq≤duq,u=p,…q-1

(4)

(5)

ypu≤dpu,u=p+1,…q

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Mei≥ti-Ti，i=2,…n

(11)

(12)

(13)

(14)

(q-p)(Tq-Tp)≥tpqxpq?p,q

(15)

T1=0

(16)

Rana等[7]的研究提供了班輪航線規(guī)劃的一個基礎模型，本文在其基礎上加入船期規(guī)劃、時間敏感需求及遲到罰金等因素進行了改進。目標函數(1)為航線總收益最大，其中第1項為總收入，第2項為總航行成本，第3項為總遲到罰金；式(2)保證經過航段(i,j)的貨物不超過載重能力；式(3)(4)確保給定港口q可到達并且運達該港的貨物不超過實際需求；相似地式(5)(6)表示離港情況；式(7)至(9)為經典的網絡約束；式(10)描述在港口j的到達時間與之前每一航段的航行時間之間的關系；式(11)在實際到港時間晚于宣告到港時間時向二元變量ei賦值1，表明在港口i處遲到；式(12)聯系港口(p,q)間的宣告到港時間與需求；式(13)將航行成本分為固定成本和與航行時間有關的可變成本之和；式(14)表示總航行成本；式(15)表示在港口間的宣告到港時間差不少于在其上的宣告航行時間；式(16)將起點時間初始化為0。

不確定因素出現在式(1)(10)(11)和(14)中，然而(10)和(14)嚴格意義上不是約束條件，而是符號的轉化，不需處理。(1)和(11)應當被改寫為魯棒優(yōu)化對等式。

根據Ben-Tal等[8]的研究，魯棒優(yōu)化對等式取決于不確定性集的性質。本文討論兩種典型的集合。

1.4 有界不確定性下的魯棒優(yōu)化對等式

假定不確定系數在區(qū)間：

此時，它等于：

(17)

類似地，式(1)可改寫為：

對式(1)應用“最大化最小值”標準，即最大化最差情況的凈利潤。對此模型，最差的情況即所有實際航行時間達到上限，導致需求量降低和航行成本的增加，總收益最少，因此(1)可轉化如下

(18)

因此，班輪航線船期規(guī)劃模型在有界不確定性下的魯棒優(yōu)化對等式組成包括：目標函數(18)，受(2)～(10)，(12)～(17)式約束。

1.5 總量受限的有界不確定性下的魯棒優(yōu)化對等式

1.4節(jié)中的模型對不確定性完全免疫，但是由于所有最壞的情況都被考慮在內，其結果過于保守。事實上所有最壞情況很少同時發(fā)生。更常見的情景為不確定因素的波動水平總量已知，也就引出了總量有限的有界不確定性，參考文獻[9]進行處理。

由于ζpq是不確定參數，它的存在使模型無法被直接求解，在此對ζpq應用對偶理論，根據強對偶定律，上式可被轉化為如下形式

(19)

(20)

其中wj,zpq≥0

式(19)和(20)為式(11)在總量有界不確定性下的魯棒優(yōu)化對等式。

類似地，式(1)可轉化為

(21)

總量受限的有界不確定性下班輪航線船期規(guī)劃模型包括目標函數(21)，約束條件(2)～(10)，(12)～(16)，和 (19)～(20)。

移除不確定因素后，模型轉化為確定性混合整數線性規(guī)劃問題。

2 案例分析

2.1 背景信息

由于溫室效應的影響，極地冰區(qū)融化加速，目前北極航道的可通航時間已延長至五個月左右，北極航道的通航成為現實，為航運業(yè)尤其是班輪運輸業(yè)帶來了新的機遇和挑戰(zhàn)。北極航道具有極高的商業(yè)價值，開發(fā)經由北極航線的班輪航線會成為航運界的下一個熱點，也受到了學術界的關注。李振福等[10-11]針對我國獲取北極航線的權益以及開發(fā)北極航線的態(tài)勢進行了一系列研究，指出了開發(fā)北極航線對我國的重要意義并分析了開發(fā)策略。然而北極航線具有浮冰多且浮冰位置不確定，天氣與海況惡劣等特點，除了對船舶的安全航行帶來威脅外，還會使船舶由于應對惡劣天氣與海況花費額外的航行時間與經濟成本，這一情況與本文的問題描述相符，因此以北極航道為背景進行案例分析。

依據文獻[12]所列出的北極航線沿線關鍵港口，確定候選港口依次為：Shanghai， Provideniya，Pevek，Tiksi，Dikson Island，Archangel，Murmansk，Rotterdam。宣告航行時間由港口之間距離與安全航速14 kn的比值確定。其中港口距離采用的是航運圈商貿網上的數據，因為其海圖計算距離時考慮了北極航線。其他參數設置按照下文的規(guī)則構造而來，一方面是由于相關航線目前尚未正式營運，沒有實際數據；另一方面由于本文為單船班輪航線模型，而統(tǒng)計數據往往是針對整條航線的，難以獲得使用本模型的數據。值得指出的是，案例分析主要為了演示模型的應用，當北極航線投入運營后，讀者可代入實際數據使用本模型。一些學者[13-15]對北極航線的經濟性進行了分析，但這些分析仍然是基于預測的，本文在參數設置上也參考了以上研究。

剩余所需港口數據包括：運價系數、基本需求量、時間敏感需求系數及罰金。為八個港口在以上四個維度分別賦予高或低的特性，其中對運價系數和罰金而言，假定兩者同步，因為收益伴隨著風險。屬性設置見表1～表3。

表1 港口基本屬性Tab.1 The Table for port characteristics

表2 港口屬性數值表 Tab.2 Quantative values for the indicators of port characteristics

對于與兩港信息有關的量，以基本需求為例，若兩者均高則為2 500 TEU；兩者均低，則為1 500 TEU；不論順序，只要一高一低，則為2 000 TEU。特別地，對于運價而言簡單地認為其與時間成正比，則運價為兩港間宣告航行時間與運價系數的積。對表3而言，起始港在列，終點港在行。

表3 航段內宣告航行時間Tab.3 Nominal sailing times for voyage segments

δ取0.4，f1主要為港口使費，平均為$20 000；f2主要為燃油費，航速14 kn時消耗的燃油為45 t/d，以燃油費600 $/t計算則每日燃油費可近似為$30 000。船舶噸位設為4 000 TEU。

表4 基本案例的航線與準時性Tab.4 Routes and punctualities from the basic case

以下討論三種模型，包括確定性模型——即實際航行時間完全等于宣告的航行時間；有界不確定性下的魯棒優(yōu)化對等式和總量受限的有界不確定性下的魯棒優(yōu)化對等式。

2.2 基本案例

在這一案例中，所有的 被設為0，即在總量有限的有界不確定的魯棒優(yōu)化模型中不存在不確定因素，主要計算結果如表4所示。

由上可見，有界不確定模型提供的解最保守，盈利也最少，即當完全無法確定天氣與海況時，傾向于保守安排船期，犧牲部分利潤以規(guī)避罰金。而當所有的不確定性總量被設為0時，總量受限的有界模型的結果與確定性模型的結果完全一致，這也說明了模型的正確性。而在準時性方面，沒有任何一個航段預期遲到，可以看出罰金對準時性的約束，即設置高昂的罰金可以有效改善班輪準班率偏低的問題。在選址問題方面，2、4兩港始終未被選中，其共同點是運價低，并且時間敏感需求系數大。那么，任何對船期的延長都會引起需求量的嚴重下跌，進而降低原本就不多的收益，所以這些港口對風險的抵御能力較差，在航線中被放棄。

按照上文的分析可能會產生確定性模型獲得的解盈利性更強的錯誤印象，這是因為模型所提供的目標函數是期望收益。在確定性模型中，由于所有的不確定性因素都沒有被考慮在內，只考慮理想狀況，預期結果自然更積極。下面將對比分析在最惡劣條件下三個模型的優(yōu)劣。

表5 最惡劣條件下的基本案例盈利情況Tab.5 Actual profits of the solutions from the basic case under the worst conditions

表5記錄了在最惡劣條件下，三種模型所提供的解的表現?？梢钥闯?，這時利潤水平最高的反而是有界不確定性下的魯棒模型，它所提供的解可以完全保證準時性。而對于確定性模型和總量受限的有界不確定性模型，由于完全沒有預留緩沖時間，因此對天氣與海洋狀況不確定性造成的航行時間變動沒有任何抵抗能力，而且由于連鎖效應，只要在一個港口延誤，在之后的港口中必然也會延誤，所累積的不良后果非常嚴重，使得實際獲得的收益遠遠低于期望的收益。這時便體現了，在規(guī)劃階段考慮不確定性，預留緩沖時間所帶來的好處，即盡管在最惡劣的條件下也能保證合適的收益。對比有界不確定性模型與確定性模型的期望收益，發(fā)現前者犧牲的收益僅僅為幾十萬美元，而后者在最惡劣條件下損失的收益卻高達上百萬美元，是犧牲收益的數倍。魯棒性固然犧牲了一部分收益，但遠少于風險來臨時的損失。

2.3 不確定性總量上限的變化分析

不確定性總量上限由于累積作用應該單調遞增，為了探討其對模型表現的作用，接下來，它會被依次設置為加速型，穩(wěn)定型和減速型，分別對應消極型，普通型和積極型的管理者，即對不確定性總量的隨著時間變化的趨勢預測不同。積極性管理者認為前幾個港口海況變化劇烈，但是隨著航程的進行可以采取措施減少不確定性因素的影響，航行時間會逐漸趨于正常，即不確定性總量上限以減速型增長。消極型管理者在規(guī)劃航線時，認為越靠后的港口由于未知因素更多不確定性逐漸累積而加速增長。而普通型管理者認為全程不確定性上限增速保持恒定。在本文提出的模型中，港口j處的不確定因素個數為(j-1)j/2。增速型總量上限按照總個數的0, 10%, 20%,…70%比例增長，即{0，0.1，0.6，1.8，4，9，12.6，19.6}；那么穩(wěn)定型的總量上限均以50%計，為{0，0.5，1.5，3，5，7.5，10.5，14}；而減速型的上限則為{0，0.7，1.8，3，4，4.5，4.5，4.5}。計算結果如表6所示。

表6 不確定性總量上限變化下的航線與準時性Tab.6 The routes and punctualities from the varying uncertainty budget case

首先，期望收益最高的屬于加速增長型，其次為減速增長型，最少的是平穩(wěn)增長型。造成這一現象的原因在于對位置靠前的港口的不確定性的估計，因為它們持續(xù)出現在對后面所有港口的約束中，那么其的權重應當高于其他港口。由于時間的累積效應，只要在前序港口遲到，在后續(xù)港口一定會繼續(xù)遲到，因此，位置越靠前的港口，對后續(xù)港口的準時性影響越大，重要性也就越高。加速增長的不確定性總量上限實際上在前幾個港口是相對樂觀的，所以不確定性的效果沒有那么嚴重。第二，對船期規(guī)劃問題而言，減速增長模型的船期最保守，并且，所有航段上都嚴格遵守船期，以避免罰金。而在航線規(guī)劃問題上，港口2和4依然未被選中。接下來考察這三種不同的不確定性總量上限的設置在不同實際情況下的表現(表7)。

表7 不確定性總量上限變化下的實際準時性Tab.7 The actual punctualities from the varying uncertainty budget case

對比不同實際情況下三種模型的表現，可以發(fā)現由于提供的解是整體上最保守的，綜合表現最穩(wěn)定的是減速增長模型，在這種意義上，它的表現是魯棒性最強的。上文分析已知位置越靠前的港口對航線的整體表現影響越大，減速增長型的不確定性總量變化趨勢是符合這一發(fā)現的，因此其性能也是最好的。另兩個模型則除了在各自對應的情境下表現最佳之外，在其余條件下的表現均不如減速增長型模型。綜合考慮，在設置不確定性總量上限時，應當按照減速增長型設置，這樣可以提高航線整體的魯棒性。

3 結論

班輪運輸是國際集裝箱運輸的重要方式之一，不確定條件下的班輪航線與船期規(guī)劃問題成為了新的研究熱點。本文首次研究了天氣及海況不確定條件下的班輪航線與船期規(guī)劃問題。首先提出了這一問題的確定性模型，隨后推導出有界不確定性和總量受限的有界不確定性兩種情況下的魯棒對等模型。這些模型考慮了到港延遲時的罰金和調整船期引起的時間敏感需求變化。確定性模型和有界不確定模型可以分別被視為總量受限的有界不確定模型在不確定總量被設為空或最大值時的特例。通過案例分析的主要發(fā)現有：(1)魯棒優(yōu)化模型往往犧牲一部分利潤以提高魯棒性，但犧牲的利潤遠少于最壞情況下的損失；(2)在天氣海況不確定條件下，傾向于遵守船期以避免罰金；(3)港口在航線中計劃到訪的次序決定其不確定性總量上限對整條航線的影響權重；(4)以減速增長型設置不確定性總量上限可以有效提高航線整體的魯棒性。研究結論可為班輪公司在規(guī)劃航線與船期時應對天氣海況的不確定性提供科學依據。

作為對不確定條件下班輪航線與船期規(guī)劃的初步嘗試，本文未考慮船舶在港口的排隊等待時間以及貨物處理時間上的不確定性可能與由天氣海況變化引發(fā)的航行時間不確定性互相影響，在建模時也進行了嚴苛的假設，在未來的研究中，可以逐步放寬對假設的依賴，例如考慮遲到罰金與波及的貨物量、時間的聯系，或考慮到燃油消耗速率與航速之間的關系，進一步完善模型，使其有更高的應用價值。