姜黃飛

（浙江省海鹽縣濱海中學(xué)）

在對(duì)中考試題研究中筆者發(fā)現(xiàn)，許多試題表面上看起來(lái)沒(méi)有什么關(guān)聯(lián)，但通過(guò)仔細(xì)分析，我們會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，其實(shí)就是一系列的變式問(wèn)題.筆者從2017年江蘇淮安中考試卷第27題第（3）小題出發(fā)，談?wù)剬?duì)它的變式思考.

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）.

圖1

圖2

解析：如圖2，連接AC，

因?yàn)锳E⊥BC，BE=CE=2，所以AB=AC.

又因?yàn)椤螧AE=∠ADC，所以∠ABE+∠ADC=90°.

將△ACD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABF，連接DF，得△BAF≌△CAD.

所以∠ADC=∠AFB，BF=CD=5，∠BAC=∠FAD.

易得△FAD∽△BAC.

所以∠AFD=∠ABC.所以∠BFD=90°.

因?yàn)锳D=kAB，所以DF=kBC=4k．

在Rt△BFD中，由勾股定理得.

【評(píng)析】分析此題的已知條件，易得AB=AC和四邊形的一對(duì)角和為 90°（∠ABE+∠ADC=90°），上述解法將△ACD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABF，旋轉(zhuǎn)角度為∠BAC的大小，等同于將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)∠BAC的值，作一個(gè)相似變換至△AFD，使得兩個(gè)相對(duì)的角聚到一起，得到直角∠BFD，從而在Rt△BFD中得解.此題還可以旋轉(zhuǎn)△BDC，△ABD等，可以旋轉(zhuǎn)全等三角形，也可以旋轉(zhuǎn)相似三角形，方法很多，這里不再贅述.不管選擇哪個(gè)三角形向哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，出發(fā)點(diǎn)都是將分散的條件聚到一起，轉(zhuǎn)變成初中學(xué)段可解的特殊角，從而使問(wèn)題得解.

二、變式思考

變式1：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC，BD為對(duì)角線，∠BAD+∠BCD=90°，，試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系．

圖3

解析：如圖4，因?yàn)锳B=AD，將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABE，連接CE，

圖4

則△ABE≌△ADC.

即CD=BE，AC=AE，∠DAC=∠BAE.

所以∠DAB=∠CAE.

又因?yàn)椤螧AD+∠BCD=90°，

所以∠ABC+∠ABE=∠ABC+∠ADC=270°.

所以∠CBE=90°.

在Rt△BCE中，由勾股定理得BC2+BE2=EC2.

所以BC2+CD2=2BD2.

【評(píng)析】此題為2015年浙江嘉興中考試卷壓軸題的第（3）小題.此題中四邊形的一組對(duì)角和仍為90°，雖然改變了線段的數(shù)量關(guān)系，但是問(wèn)題的本質(zhì)沒(méi)有發(fā)生改變，仍然可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)，利用四邊形一組對(duì)角和為90°的條件，構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.其實(shí)2017年江蘇淮安中考試卷第27題第（3）小題的本質(zhì)就是探究BD，BC，CD三邊的關(guān)系BD2=BF2+DF2=DC2+(kBC)2，二者沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別.

變式2：如圖5，在四邊形ABCD中，，CD=3，∠ABC=∠ACB=45°，∠ADC=75°，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________.

圖6

圖5

解析：因?yàn)椤螦BC=∠ACB=45°，

所以△ABC是等腰直角三角形.

如圖6，將△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACE，得△BAD≌△CAE.

所以BD=CE.

連接DE，△ADE是等腰直角三角形.

又因?yàn)椤螦DC=75°，∠ADE=45°，

所以∠CDE=120°.

作EF⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

又因?yàn)镃D=3，則∠FDE=60°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得.

【評(píng)析】變式2中四邊形的一組對(duì)角和為120°，初中學(xué)生可以解答，若換成∠ADC=15°，則對(duì)角和為60°.當(dāng)然也可以是其他的特殊角，如135°，150°，等等，只是平時(shí)出現(xiàn)較多的是對(duì)角和為90°的情況.

變式3：如圖7，在四邊形ADBC中，∠ADB=，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)__________.

圖7

圖8

解析：如圖8，將△ADC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABE，得△ADC∽△AEB.

連接DE，易得△ADE是直角三角形，DE=15，△ABC∽△AED.

所以∠ADE=∠ACB.

又因?yàn)椤螦DB=∠ABC=α，所以∠BDE=90°.

【評(píng)析】變式3從原來(lái)有兩條邊相等，變?yōu)闈M足一定的比例關(guān)系，解題的處理上還是與原來(lái)的方法一樣，只是由旋轉(zhuǎn)全等變?yōu)榱诵D(zhuǎn)相似變換.

變式4：如圖9，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=45°，則BD長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____.

圖9

圖10

解析：如圖10，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，且AE=AD，連接DE，CE，

因?yàn)锳D=4，所以.

在△CDE中，，

所以當(dāng)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)CE取到最大值，即BD取到的最大值為.

變式5：如圖11，在四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=CD，∠ADC=90°，則BD長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_________.

圖11

圖12

解析：如圖12，將△ADB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDE，則△ADB≌△CDE.

所以DE=BD，CE=AB=2.

所以△BDE為等腰直角三角形.

在△CBE中，BC+CE=4+2=6，

所以當(dāng)點(diǎn)B，C，E在同一直線上時(shí)BE取到最大值6.

所以BD長(zhǎng)的最大值為.

【評(píng)析】變式4和變式5由于角的不確定性，使得所求線段的長(zhǎng)也不確定，對(duì)于這類問(wèn)題都可以利用三角形三邊關(guān)系解決最值問(wèn)題.變式4和變式5的區(qū)別在于，變式4是由已知直角三角形一條直角邊向外作等腰直角三角形，而變式5則是以斜邊向外作等腰直角三角形.當(dāng)然這里也可以將已知的等腰直角三角形變?yōu)橐话愕闹苯侨切危灰缹?duì)應(yīng)邊的比例，則可以用相似來(lái)解決.

變式6：如圖13，以點(diǎn)D為圓心的兩個(gè)同心圓半徑分別為3和4，點(diǎn)A，C分別是兩同心圓上的動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊向外作正方形APBC，則BD長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____.

圖13

圖14

解析：如圖14，將△ACD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCE，則△ACD≌△BCE.

在△BDE中，，

所以當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，BD取到最大值.

變式7：如圖15，B是半圓O的半徑OA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OA=AB=2，C是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BC為斜邊在BC的上方作等腰直角三角形BCD，連接OD，則線段OD長(zhǎng)的最大值為_(kāi)__________.

圖15

圖16

解析：如圖16，將△OCD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EBD，則△OCD≌△EBD.

所以DE=OD，BE=OC=2.

在△OBE中，OE

所以當(dāng)點(diǎn)E在OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE取到最大值6.

根據(jù)△ODE為等腰直角三角形，得OD長(zhǎng)的最大值為.

【評(píng)析】變式6與變式4實(shí)質(zhì)上是同一類題，將點(diǎn)A，C分別作為兩個(gè)同心圓上的動(dòng)點(diǎn)，更好地反映了題目的本質(zhì).筆者這里選擇了與變式4不同的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，原理相同.通過(guò)改變點(diǎn)A或C的位置，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，BD的長(zhǎng)取到最大值；當(dāng)點(diǎn)E在線段BD或DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD的長(zhǎng)取到最小值，所以此題也可以求BD的最小值和取值范圍.變式7與變式5基本相同，變式7有了半圓的限定，OD的取值范圍有所不同，但最大值是相同的.

變式8：如圖17，已知A，C是半徑為2的⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊在⊙O內(nèi)作等腰直角三角形ABC，∠C=90°，連接OB，則線段OB長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______.

圖17

圖18

解析：如圖18，連接OC，OA，將△OBC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAC，則△OBC≌△DAC.

所以O(shè)B=AD，CD=OC=2，△OCD為等腰直角三角形.

在△OAD中，，

所以當(dāng)點(diǎn)A在線段OD上時(shí)，AD取到最小值，

即線段OB長(zhǎng)的最小值為.

變式9：如圖19，已知A，C是半徑為2的⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊在⊙O內(nèi)作Rt△ABC，，連接OB，則線段OB長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.

圖19

圖20

解析：如圖20，連接OC，OA，將△AOC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BEC，則△AOC∽△BEC.

易得△OEC為直角三角形，

在△OBE中，，

所以當(dāng)點(diǎn)B在線段OE上時(shí)，OB取到最小值，即線段OB長(zhǎng)的最小值為.

【評(píng)析】變式8和變式9在圓背景下都隱含了OA，OC兩條已知的相等邊，連接兩條半徑后解決問(wèn)題的方法就與前面的變式類似了.筆者在變式8和變式9中選取了不同的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于展示了兩種不同的方法，實(shí)際上也可以旋轉(zhuǎn)其他三角形，如△ABC等.此外，變式9中同樣可以求OB長(zhǎng)的最大值，當(dāng)點(diǎn)B落在線段OE的延長(zhǎng)線上時(shí)，OB取到最大值.

教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)對(duì)中考試題進(jìn)行變式拓展研究，要有意識(shí)地去引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同形式、不同背景下試題之間的聯(lián)系，起到做一題、通一類的效果.