林日福

（廣東省深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院）

一、問題提出

教師的教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ).基于思維自然生長的課堂教學(xué)，就是創(chuàng)設(shè)基于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程，以及學(xué)生已有經(jīng)驗的問題情境，喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生探索并獲得新知識，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量.具體而言，就是通過設(shè)計合適的問題序列，讓學(xué)生在解決問題的過程中自然而然的產(chǎn)生新想法，形成新疑問，發(fā)現(xiàn)新問題，獲得新猜想，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.之后，教師啟發(fā)學(xué)生對猜想進(jìn)行驗證與證明，發(fā)展學(xué)生的推理意識與推理能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的理性思維品質(zhì).

勾股定理反映了當(dāng)三角形的形狀特殊（直角三角形）時，其三邊之間存在特定的數(shù)量關(guān)系（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）.如何讓學(xué)生自然的認(rèn)識到這種關(guān)系的存在，并猜想到這個特殊的數(shù)量關(guān)系呢？基于這個出發(fā)點，筆者對北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第一章第1節(jié)“探索勾股定理”一課進(jìn)行設(shè)計，并實施教學(xué)，現(xiàn)整理出來，與各位同行探討.

二、教學(xué)設(shè)計

1.教學(xué)目標(biāo)與重、難點

教學(xué)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷探索勾股定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生從一般到特殊、從特殊到一般的探究問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的空間觀念；（2）經(jīng)歷驗證勾股定理的過程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力；（3）在搜集與勾股定理有關(guān)的歷史文化及證明方法等材料的過程中，感受勾股定理巨大的文化價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重、難點：探索、發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理.

2.教學(xué)過程設(shè)計

（1）發(fā)現(xiàn)問題.

問題1：已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.

①如圖1，當(dāng)△ABC為一般的三角形時，則a，b，c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

②如圖2，若∠B=∠C，則a，b，c之間有怎樣的新的數(shù)量關(guān)系？

③如圖3，若∠A=∠B=∠C，則a，b，c之間有怎樣的新的數(shù)量關(guān)系？

圖1

圖2

圖3

④通過解決上述三個問題，你有什么想法？

【設(shè)計意圖】學(xué)貴有疑，問題產(chǎn)生于疑問，問題是思維的自然結(jié)果.從第①題到第③題，可以讓學(xué)生認(rèn)識到，當(dāng)三角形的形狀發(fā)生變化時，其三邊之間出現(xiàn)了新的數(shù)量關(guān)系，為形成“當(dāng)三角形是直角三角形時，其三邊是否也存在新的數(shù)量關(guān)系”這個疑問打下基礎(chǔ).

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生由圖1得三角形的三邊關(guān)系為a–b

（2）提出問題.

問題2：如圖4，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，那么a，b，c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖4

【設(shè)計意圖】提出該問題的目的是讓學(xué)生大膽猜測直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，形成猜想，發(fā)展研究問題的能力與經(jīng)驗.

預(yù)設(shè)生成：由于等腰三角形、等邊三角形等特殊三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系都是“一次”的，這對學(xué)生猜想直角三角形的三邊關(guān)系式會形成負(fù)遷移.在教師的啟發(fā)下，學(xué)生會通過畫、量、算等辦法，努力嘗試“湊”出一些式子.無論結(jié)果怎樣，這種猜想及“湊”的過程，都是學(xué)生思維的自然生長，對學(xué)生的思維發(fā)展極有價值.

可以預(yù)見，學(xué)生得到的關(guān)系式基本都是“一次”的，將這些關(guān)系式統(tǒng)一成一個關(guān)系式，這不太現(xiàn)實．但筆者認(rèn)為值得給學(xué)生一定的時間，鼓勵學(xué)生去嘗試.同時，教師可以借助幾何畫板軟件，改變直角三角形三邊的長度，讓學(xué)生測量計算，驗證猜想.此時，有的學(xué)生會有所頓悟，即a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系可能不是“一次”的，而是“二次”，或是其他形式的.這樣，新的發(fā)現(xiàn)自然而生，學(xué)生的思維品質(zhì)也在這種對思維結(jié)果的修正與重構(gòu)中得到發(fā)展．

問題3：如圖5，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，且a=b，那么a，b，c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖5

【設(shè)計意圖】問題3是研究特殊的直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.通過對圖5中△ABC的面積用等積法“算兩次”，獲得關(guān)系式a2+b2=c2，為形成新疑問（一般的直角三角形的三邊之間是否也存在類似的數(shù)量關(guān)系）、提出新問題做鋪墊，體現(xiàn)從特殊到一般的研究問題的方法，順利突破從“一次”數(shù)量關(guān)系式到“二次”數(shù)量關(guān)系式的思維難點.

預(yù)設(shè)生成：雖然有前面的猜想做鋪墊，但要學(xué)生獲得數(shù)量關(guān)系式a2+b2=c2仍是困難的.在多次猜想、拼湊仍沒得到結(jié)果時，教師適時給出問題3，啟發(fā)學(xué)生探索特殊直角三角形的情況.怎樣幫助學(xué)生聯(lián)系學(xué)習(xí)整式運算法則與公式的經(jīng)驗，對同一個圖形（圖5）的面積用等積法“算兩次”，建立等量關(guān)系，以有效突破這個難點呢？教師引導(dǎo)學(xué)生有目的的嘗試，從多角度圍繞三角形的三邊a，b，c展開探索，這或許需要花費較多的時間，但這是有價值的.嘗試是探索問題的基本方法之一．

與三角形的三邊相關(guān)的量分別是什么呢？由已知易得a=b，a+b>c，三角形的周長為a+b+c，這些都是一般等腰三角形所具有的性質(zhì)，沒能體現(xiàn)等腰直角三角形的特殊性.△ABC的面積為，即或，這是等腰直角三角形具有而一般等腰三角形所不具有的，且出現(xiàn)了“二次”的代數(shù)式，符合前面的猜想.能否圍繞面積展開進(jìn)一步的探索呢？聯(lián)系探索目標(biāo)：a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系式，想到用斜邊c表示出這個三角形的面積，“算兩次”這個思路便呼之欲出.

通過教師的引導(dǎo)，基礎(chǔ)較好的學(xué)生會有所啟發(fā).如圖6，作△ABC斜邊上的高CD，易得CD=BD=AD.所以.所以.于是，結(jié)合a=b，得a2+b2=c2.

圖6

圖7

教師也可以啟發(fā)學(xué)生利用兩個全等的等腰直角三角形，拼成如圖7所示的正方形，對這個正方形的面積“算兩次”，得.所以.因為a=b，所以c2=2a2.

圖8

或啟發(fā)學(xué)生利用四個全等的等腰直角三角形拼成如圖8所示的正方形，對這個正方形的面積“算兩次”，得，或者2ab=2a2.

上述的探索活動不太容易，但有了學(xué)習(xí)整式運算法則及公式的經(jīng)驗，學(xué)生并不難理解和掌握.通過這樣的活動，得出直角三角形的三邊滿足新的關(guān)系式a2+b2=c2就成為思維的自然結(jié)果，新猜想自然而生.在此基礎(chǔ)上，教師再利用幾何畫板軟件演示，引導(dǎo)學(xué)生從實驗操作上對結(jié)論給予驗證．

（3）分析問題.

問題4：通過前面的探索發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即在圖4中，a2+b2=c2.無論是已經(jīng)推理出在等腰直角三角形中結(jié)論是成立的也好，還是測量驗證得對任意的直角三角形仍成立也罷，都必須通過證明才能說明這個結(jié)論是正確的.該如何證明呢？

【設(shè)計意圖】通過分析式子a2，b2，c2及式子a2+b2=c2的式結(jié)構(gòu)及式關(guān)系，聯(lián)想到“邊長分別為a，b，c的正方形的面積”這個形結(jié)構(gòu)，以及“分別以a，b為邊長的正方形的面積和等于以c為邊長的正方形的面積”這個形關(guān)系，在運用幾何圖形來解決代數(shù)問題的過程中感悟數(shù)形結(jié)合思想.

預(yù)設(shè)生成：引導(dǎo)學(xué)生證明a2+b2=c2，這是本節(jié)課教學(xué)的一個難點.突破的方法是要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察a2+b2=c2的式結(jié)構(gòu)，從而聯(lián)想到正方形面積的形結(jié)構(gòu)，也就是在任意的Rt△ABC中構(gòu)造出圖9后，證明S正方形BCDE+S正方形ACFG=S正方形ABNM.常用的方法是把分散的兩個正方形BCDE和正方形ACFG拼到一起，得到一個新的圖形，然后證明這個新圖形的面積與正方形ABNM的面積相等，或是把正方形ABNM進(jìn)行分割，使分割后的幾個部分的面積之和等于正方形BCDE與正方形ACFG的面積之和，也就是運用割、補的方法來實現(xiàn).無論怎樣處理，對學(xué)生的思維來說都是極大的挑戰(zhàn).但“割補法”是解答此類問題的通性、通法，也是學(xué)生比較熟悉的.因此，教師需要激勵學(xué)生勇敢面對這一挑戰(zhàn).

圖9

基礎(chǔ)較好的學(xué)生會將式子a2+b2=c2與完全平方公式聯(lián)系起來，對式子作恒等變形后再構(gòu)造“形”.一是變形為(a-b)2+2ab=c2，聯(lián)系學(xué)習(xí)完全平方公式的經(jīng)驗，構(gòu)造出圖10，再通過分割及圖形變換得到圖11，然后對圖11中正方形ABNM的面積“算兩次”，得到.也可以運用幾何畫板軟件，通過改變圖8中a或b的大小，將Rt△ABC由等腰直角三角形變成一般的直角三角形，圖8便變成了圖12，然后運用圖8的解答經(jīng)驗，對圖12中正方形ABNM的面積“算兩次”，使問題得以解決.這樣，將圖9中的正方形ABNM按如圖11的方法進(jìn)行分割，也就成為思維的自然結(jié)果.二是將a2+b2=c2變形為(a+b)2-2ab=c2后聯(lián)系“形”，延長圖9中的邊CA到點R，使AR=a，以CR為一邊作正方形CRST（如圖13），對正方形ABNM的面積“算兩次”便得解.

圖10

圖11

圖12

圖13

（4）解決問題.

問題5：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.求證：a2+b2=c2.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生整理之前分析問題的思路，通過構(gòu)造圖形，證明猜想，培養(yǎng)并發(fā)展推理能力．

預(yù)設(shè)生成：有了圖8的解答經(jīng)驗，再結(jié)合前面的分析，學(xué)生運用圖12來證明勾股定理的難度也就大大降低了.

化簡后得a2+b2=c2.

當(dāng)然，在這個過程中，也有學(xué)生運用圖13來證明.

進(jìn)一步地，思維靈活的學(xué)生會聯(lián)想到全等三角形的“雙垂直”模型，將圖13簡化為圖14，然后對梯形BCRM的面積進(jìn)行“算兩次”.

化簡后得a2+b2=c2.

（5）歸納反思.

問題6：簡述本節(jié)課探索勾股定理的過程.有人說，勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即勾股定理是第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理.勾股定理具有巨大的文化價值.請同學(xué)們課后查閱、搜集有關(guān)勾股定理的歷史文化、證明方法等素材，并制作成小抄報，在班內(nèi)交流展示.

【設(shè)計意圖】反思、總結(jié)勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明過程，將知識上升為經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生思維的再次生長.讓學(xué)生課后收集與勾股定理有關(guān)的歷史文化、證明方法等資料，將課內(nèi)學(xué)習(xí)延伸到課外，讓學(xué)生在搜集資料、思考不同證法的過程中，感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會勾股定理所蘊含的巨大文化價值，對培養(yǎng)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣會產(chǎn)生積極的影響.

三、教學(xué)思考

1.要體現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系

隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)知識和方法就成為學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，這些現(xiàn)實應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素材.選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).有效的課堂教學(xué)，除了要解決“是什么？為什么？怎么樣？”等知識性問題外，還應(yīng)研究“從哪里來？怎樣來？到哪里去？如何去？”等研究性問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，幫助學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

就本節(jié)課而言，問題1挖掘不同三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生自然形成問題意識，發(fā)現(xiàn)新問題.接著趁熱打鐵，將隱藏的問題顯化出來.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計里，筆者借用等腰直角三角形，通過對其面積運用等積法“算兩次”，獲得三邊之間的數(shù)量關(guān)系式（a2+b2=c2），在此基礎(chǔ)上，根據(jù)由特殊猜一般的思路方法，獲得猜想、提出問題，也算是水到渠成，順理成章．

如何將勾股定理與學(xué)生已有的經(jīng)驗聯(lián)結(jié)，獲得證明勾股定理的思路方法呢？關(guān)鍵在于將新問題（證明a2+b2=c2）與學(xué)生已有的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，即由式想到形，由a2+b2想到完全平方公式a2+b2±2ab=(a±b)2，由(a+b)2-2ab=c2或(a-b)2+2ab=c2想到構(gòu)造圖形驗證乘法公式的思路方法.這樣層層聯(lián)結(jié)，步步遞進(jìn)，對圖9進(jìn)行分割或拼接得到圖11或圖12，或?qū)D9補成圖13，都成為數(shù)學(xué)思考的自然結(jié)果，消除了勾股定理證明方法的神秘感.因此，將新、舊知識無痕的聯(lián)系起來，創(chuàng)設(shè)好學(xué)生思維自然生長的生長點，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正遷移，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)與形之間的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是此教學(xué)設(shè)計追求的價值之所在.

2.要促進(jìn)學(xué)生思維的自然生長

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中進(jìn)行積極思考，大膽猜測，敢于嘗試，嚴(yán)密求證.正如數(shù)學(xué)家波利亞所說：數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其他知識的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你先要猜測這個定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你需要先推測證明的思路，你需要先把觀察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類比，你需要一次又一次地進(jìn)行嘗試．

就本節(jié)課來說，無論是運用“算兩次”的方法，從計算等腰直角三角形的面積中獲得猜想，還是在分析與證明猜想的教學(xué)環(huán)節(jié)里，由式想形，變換式后構(gòu)造形，對學(xué)生來說都是不小的挑戰(zhàn)，都需要學(xué)生在經(jīng)歷思維的困頓后，從已有的認(rèn)知經(jīng)驗中得到啟發(fā)，多次嘗試，進(jìn)而獲得感悟.

教學(xué)時，教師需要把教學(xué)節(jié)奏“慢”下來，營造安靜的課堂環(huán)境，組織學(xué)生積極思考，大膽嘗試，細(xì)心求證，在“慢”教學(xué)中實現(xiàn)學(xué)生思維的“快”成長.如果教師把這些結(jié)果直接展現(xiàn)在學(xué)生面前，那么他們就無法體會到“風(fēng)雨后見彩虹”的艷麗，不能感受到那激動人心的發(fā)現(xiàn)，他們的數(shù)學(xué)思維就難以得到真正的生長．

四、寫在最后

可以說，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，很難有一個定理像勾股定理那樣迷人，以至于時至今日，仍有眾多愛好者不斷對其展開探索.在眾多定理的教學(xué)設(shè)計中，也極少有一個定理像勾股定理那樣吸引教師的興趣，紛紛對其進(jìn)行教學(xué)研究.前面筆者給出自己的教學(xué)設(shè)計，一方面，是對勾股定理教學(xué)的探索永無止境；另一方面，也是被勾股定理本身的魅力所吸引.