張 昆

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

“辯證”一詞，通俗地說，就是辨析、考證，引申為爭辯與證明的意義內(nèi)涵.當(dāng)一個人通過觀察與學(xué)習(xí)掌握了一定的知識，積累了一定的經(jīng)驗，生成了一定的體驗后，大多數(shù)情況下，不同的人會對同一個問題從不同的視角上產(chǎn)生出不同的意見.因此，他們在一起通過類似辯論的方式闡述各自對面臨的問題及其生成解答途徑的觀點與想法，其本質(zhì)是個人對自己和對他人的同時批判，從而辨別出問題中所內(nèi)含的比較正確的結(jié)論.在交流的過程中，剔除自己原本想法中的不合邏輯的部分，接受他人合理的內(nèi)容，參與辯證的人最終會得出共同的結(jié)果.這個結(jié)果相較于他們原來各自的觀點與想法更符合客觀事實的內(nèi)涵，并且可以使相關(guān)要素系統(tǒng)化.歸根結(jié)底，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動的實質(zhì)體現(xiàn)就是師生之間、生生之間一種辯證交流的過程.尤其是在平面幾何推理論證的教學(xué)中，這種辯證過程體現(xiàn)得淋漓盡致.學(xué)生也是經(jīng)由這種辯證來思考與交流，萌生辯證意識，形成辯證思維方式，進而形成辯證思維能力的.對此，我們在幾對辯證范疇的制約下，舉例加以簡要說明.

一、現(xiàn)象與本質(zhì)

現(xiàn)象與本質(zhì)是表示事物的表里及其互相關(guān)系的，反映人們對事物認(rèn)識水平和深度的一對哲學(xué)辯證法范疇的概念.一般情況下，雖然現(xiàn)象可能將人們引入到非本質(zhì)的歧途上去，但是，現(xiàn)象終究是引人進入本質(zhì)的入門向?qū)?人們認(rèn)識事物的過程總是要透過現(xiàn)象深入到本質(zhì)，當(dāng)深入到本質(zhì)時，便能夠?qū)⒈举|(zhì)運用于新的現(xiàn)象，其他同類現(xiàn)象性的問題便迎刃而解了.因此，在平面幾何教學(xué)中，由現(xiàn)象探討產(chǎn)生現(xiàn)象的本質(zhì)就尤為重要了.但是，這在課堂教學(xué)中不是一件容易的事情.它需要教師幫助學(xué)生剔除那些由現(xiàn)象引學(xué)生入歧途的信息，而最終達到鼓勵學(xué)生從現(xiàn)象（經(jīng)由抽象與概括）抵達本質(zhì).平面幾何的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容是這一對范疇的極好體現(xiàn)，具體如下面的教學(xué)案例.

例1已知：圖1中的四個小圓的半徑都為a，四個小圓均與大圓⊙O相內(nèi)切，求圖1中的陰影部分和的面積表達式.

圖1

師：如何解決這個問題？

學(xué)生一時沒有解題思路.

師：圖1中的陰影面積有三個部分，如何求出這三個陰影部分的面積和呢？

生1：圖1中大圓⊙O經(jīng)由其內(nèi)切的四個小圓分割之后，可將所求陰影部分看作是一個整體，而整個大圓可以看作由四個陰影圖形面積所組成的，從而知道陰影圖形的面積和為大圓面積的四分之一，所以陰影圖形面積和的表達式為πa2.

生2：我的想法不同于生1的想法.如圖2，從大圓的圓心O出發(fā)，連接它與小圓的四個內(nèi)切點，即OD，OM與ON等.很顯然，如此將左邊的那塊陰影圖形分割成了面積相等的兩塊圖形，于是，可以將陰影部分圖形拼湊成扇形OMN，即四分之一大圓，因此，陰影圖形面積和的表達式為πa2.

圖2

師：同學(xué)們還有其他想法嗎？

師：大家還可以通過執(zhí)行不同的數(shù)學(xué)觀念指令，得到相應(yīng)的解題方法.這些解法都是從大家自己所攝取的某個視點出發(fā)，使用自己已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識給外在的信息賦予了自己所理解的意義.因此，信息中透露了多少種可以正確理解問題的視點，就會產(chǎn)生多少種解決問題的方法.那么，決定大家得到的這些解題方法的本質(zhì)是什么？

生3：從這兩種成功地解決問題的方法中，我認(rèn)識到解決此題的本質(zhì)在于圖2中直線ON右邊的那兩塊陰影圖形的面積是相等的.于是，這三塊陰影圖形的面積和就是其中一個小圓的面積.

生3得到的這個結(jié)論，從本質(zhì)上徹底地解決了問題，這就是本質(zhì)可以統(tǒng)領(lǐng)現(xiàn)象的內(nèi)涵.通過例1可以發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中必須要通過現(xiàn)象的中介，經(jīng)由嘗試、犯錯、摸索、跌跤，使解決問題的方法就是這樣產(chǎn)生并前進的，從而揭示解決問題的方法的本質(zhì)，形成駕馭一切如此問題的操作性方法，從而達到舉一反三的目的.

在課下的探究活動中，其他學(xué)生還得到了不同于上述兩種方法的另外四種方法.

二、普遍與特殊

普遍與特殊是我們經(jīng)常接觸到的既相互對立，又相互依存的一對哲學(xué)辯證法范疇的概念.普遍是指同類事物共同具有的狀態(tài)、屬性與變化發(fā)展的規(guī)律；特殊是指同類事物中的各個事物居其所有的狀態(tài)、屬性和變化發(fā)展規(guī)律方面的各自不同特點.普遍由眾多的特殊所組成，每個特殊都以不同的形式在普遍中表現(xiàn)出來；普遍是特殊的集合體，離開特殊就無所謂普遍.但是，特殊也只有借助于普遍才能表現(xiàn)出來.因此，普遍與特殊是辯證的統(tǒng)一關(guān)系.平面幾何教學(xué)時，往往需要由特殊過渡到普遍，也需要由普遍過渡到特殊，必要時，還需要在普遍與特殊之間來回穿梭，獲得解決問題的思路與途徑.特別是在探究平面幾何證明的輔助線作法時，這一點往往非常重要，我們看以下案例.

例2如圖3，E是邊長為a的正方形ABCD的對角線交點，正方形EFGH與正方形ABCD相交于點P，Q，求四邊形CPEQ的面積表達式.

圖3

師：如何確定四邊形CPEQ的面積表達式？

學(xué)生沉默.

師：大家仔細(xì)觀察，圖3具有怎樣的特點？

生1：圖3具有操作上的動態(tài)特征，若固定了正方形ABCD，則正方形EFGH可以繞著它的一個頂點E進行任意旋轉(zhuǎn).

師：生1發(fā)現(xiàn)的圖3所具有這種特點對找到解題的思路具有怎樣的啟發(fā)呢？大家開動腦筋，仔細(xì)思考.

生2：既然正方形EFGH可以繞著它的一個頂點E旋轉(zhuǎn)，我們可以將正方形EFGH旋轉(zhuǎn)到一個特殊的位置.如圖4，此時EH過點D，EF過點C，即點Q與點D重合，點P與點C重合，然后固定下來，由此，我們可以得到四邊形CPEQ的面積為正方形ABCD面積的四分之一，即.

圖4

師：很好！然而生2的這種發(fā)現(xiàn)是將正方形EFGH旋轉(zhuǎn)到一個特殊的位置觀察到的，它處于猜測的狀態(tài)，可以使用邏輯推理的方式來證明結(jié)論成立嗎？

問題提出后，學(xué)生沒有回應(yīng).

師：大家可能對探究這種證明的思路有點茫然.其實這很正常，在探究證題的思路時，我們需要有立足之基.我們應(yīng)該意識到，這種思路的來源在于圖形的變化，即從圖3變成了圖4，圖3是一般性的圖形，圖4是特殊的圖形，這個變化過程的依據(jù)是什么？

生3：從生2的操作過程中可以看到，他將圖3中的四邊形CPEQ變成了圖4中的△ECD，由此啟發(fā)我們可以通過在圖3中作輔助線完成這個結(jié)果.在圖3中，連接EC，ED，將圖3轉(zhuǎn)化為圖5.下面就要在圖5中證明四邊形CPEQ的面積與△ECD的面積相等.這又可以通過證明△EPC≌△EQD達到目的.因為∠CEP+∠CEQ=90°，∠DEQ+∠CEQ=90°，∠所以∠CEP=∠DEQ.因為EC=ED，∠ECD=∠EDC=45°∠，由三角形全等的判定公理“ASA”，知△EPC≌△EQD成立.于是，四邊形CPEQ的面積與△ECD的面積相等，故等式成立.

圖5

圖6

生4：我采用了另一種操作圖形獲得固定圖形狀態(tài)的途徑，獲得了另一種解法.我將圖3操作成圖6的狀態(tài)，此時四邊形CPEQ為一個小正方形，很顯然，此時等式成立.由此啟發(fā)我作出如圖7所示的輔助線，過點E分別作BC，CD的垂線，垂足分別為點M，N，可以證明Rt△EPM≌Rt△EQN，從而完成猜想結(jié)論到證明結(jié)論的表達.

圖7

師：大家經(jīng)由有效地合作尋找到了兩種途徑解決問題.其實，這兩種途徑所需要的方法是相似的.由此，我們可以看到，在某些特定條件下，從操作的結(jié)論中產(chǎn)生猜想，是探究解決問題思路的一種有效的手段.

從這道幾何探究性問題的兩種解決途徑中，我們認(rèn)識并體會到普遍與特殊的辯證關(guān)系，普遍往往表現(xiàn)為形式多樣，變動不居，從而使解題者看不到問題的主要結(jié)果.而特殊性猶如定位與正形，一般地作用于某種結(jié)構(gòu)中的具體環(huán)節(jié)，恰好突出了普遍性中的某項要素的結(jié)論性本質(zhì)（此題是兩個圖形面積之間的量性關(guān)系），從而為猜想創(chuàng)造了條件，對于猜想結(jié)論的準(zhǔn)確性給予較高程度的肯定.

在探究平面幾何證明問題中輔助線的作法時，針對問題信息所呈現(xiàn)的具體特征，啟發(fā)我們采用各種各樣的圖形進行必要的試探.合適輔助線的出現(xiàn)不是神來之筆，而是通過理解碎片化信息逐步顯露出基本輪廓.例2的數(shù)學(xué)化信息特征主要體現(xiàn)于圖形的動態(tài)性上，這就可以通過操作運動圖形中的某些要素，并將這些要素組合成特殊的形態(tài)所得到的形式，從而直接得到比較準(zhǔn)確的相關(guān)結(jié)論，然后將在特殊圖形特征下所產(chǎn)生的結(jié)論普遍化，進而證明這些要素在普遍性的條件下也成立，從而以特殊駕馭普遍，達到化特殊為普遍的目的，探究證明中的輔助線也就由此而自然生成了.

這道題是關(guān)于普遍與特殊辯證關(guān)系的非常好的體現(xiàn)，普遍與特殊的每次交換都意味著學(xué)生對具體問題信息結(jié)構(gòu)進一步的理解與把握，都會使學(xué)生辯證思維的萌生與發(fā)展向前推進一步，從而使學(xué)生逐步生發(fā)辯證意識，形成辯證思維的能力.

普遍與特殊互相轉(zhuǎn)化的辯證原理對于教師課堂教學(xué)活動中形成合適的教學(xué)行為具有很好的指導(dǎo)意義.首先，教師在教學(xué)中應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生從普遍到特殊地進行轉(zhuǎn)化活動，促使學(xué)生從心理上體會這種轉(zhuǎn)化活動的過程，從而形成深度經(jīng)驗的過程，而不是將教師已經(jīng)獲得的那種具體的特殊化的結(jié)果直接告知學(xué)生，如此會使學(xué)生失去通過摸索活動而形成辯證地處理問題的體驗.當(dāng)學(xué)生在特殊性基礎(chǔ)上得到問題的結(jié)論后，教師還要鼓勵學(xué)生將特殊轉(zhuǎn)化為普遍，這種轉(zhuǎn)化需要運用到具體的數(shù)學(xué)知識，進而可以促進學(xué)生體會知識原理的重要作用.更為重要的是，學(xué)生只有在自己所形成的數(shù)學(xué)觀念的指導(dǎo)下，進行普遍與特殊的交換，才能形成極具個性化地辯證意識，為辯證思維的萌生與發(fā)展插上有力的翅膀.

三、無序與有序

無序是指由多元素組成的輪廓或結(jié)構(gòu)和運動狀態(tài)的不確定性、無組織性或無規(guī)則性；有序是指多元素組成的輪廓或結(jié)構(gòu)和運動狀態(tài)具有確定性、有組織性或有規(guī)則性.有序與無序的轉(zhuǎn)化貫穿于自然界的一切變化過程之中，對整個自然界的演化與發(fā)展都具有重要意義.因此，這是一對哲學(xué)辯證法范疇的概念.在初學(xué)平面幾何推理論證的活動中，教師要特別注意引導(dǎo)學(xué)生將多線條組成的無序圖形轉(zhuǎn)化到有序圖形，從而啟發(fā)學(xué)生通過探究獲得處理幾何圖形的目的性和秩序性，這樣才能形成學(xué)生的幾何證明能力.教師不要將組織好的具體的證明結(jié)果（精致的有序性）直接提供給學(xué)生，讓學(xué)生只能通過記憶教師講授的方法來處理問題，這樣會導(dǎo)致學(xué)生分析與綜合圖形的能力得不到提高與發(fā)展.如此會損傷平面幾何課堂資源的教育價值.

例3已知：如圖8，CD是Rt△ABC斜邊上的高.求證：∠CAB=∠BCD.

圖8

師：大家利用已知條件在圖8中找出一對相等的角.

生1：在圖8中，已知△ABC是直角三角形，CD⊥AB于點D，CD將Rt△ABC分割成兩個直角三角形，圖形的覆蓋影響了解題思路.首先要解決分割覆蓋問題，使我們?nèi)菀卓辞鍒D形本質(zhì).

師：這是一個很好的建議，大家可以動手試一試.

學(xué)生活動：首先，把△CDB從△ABC中平移出來，得到圖9與圖10；其次，根據(jù)已知條件CD是Rt△ABC斜邊上的高，得到∠ACB=∠CDB=90°①和要證明的結(jié)論∠CAB=∠BCD②.把圖9變換成圖11的位置形態(tài).

圖9

圖10

圖11

師：對比圖10與圖11，大家有新發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：對比圖10和圖11中的這兩個三角形之間角的關(guān)系可得：直角都相等，即∠ACB=∠CDB①；結(jié)論應(yīng)相等，即∠CAB=∠BCD②；公共角相等，即∠ABC=∠CBD③.這三個等式中，①和③成立，②是要求證的結(jié)論，應(yīng)該成立.

生3：等式①②③左邊的三個角是△ABC的三個內(nèi)角，右邊的三個角是△CBD的三個內(nèi)角.于是，把這三個等式左、右兩邊分別相加，就得到了這兩個三角形各自的內(nèi)角和，都等于180°，即∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°④，∠CDB+∠BCD+∠DBC=180°⑤.

生4：由等式的性質(zhì)，知∠ACB+∠CAB+∠ABC=∠CDB+∠BCD+∠DBC⑥.將⑥的左、右兩邊分別對應(yīng)地減去①與③的左、右兩邊，就可以得到等式②成立.

例3的特色在于教師不是直接將探究證明活動的結(jié)果提供給學(xué)生，而是通過啟發(fā)學(xué)生對圖形加以合理地處理，將具有遮蔽、重合等特性的雜亂無章（無序線條）的兩個△ABC與△CBD形成了一種有序線條的表達形式，從而依據(jù)這種有序的圖形表達形式，促使學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為上述①②③三個式子的有序表達，再從這種有序的圖形表達過渡到了有序的算式表達，進而啟動了學(xué)生完形（“格式塔”意義上）的心理內(nèi)驅(qū)力，從而順利地解決問題.由式子①②③過渡到式子④⑤，再過渡到式子⑥，這一系列心理活動的建構(gòu)與轉(zhuǎn)移，都是在教師的啟發(fā)下，學(xué)生自己萌生想法并完成的.這種教學(xué)方式正是對新課程理念的體現(xiàn).

四、結(jié)束語

筆者以三個課堂教學(xué)實踐為例，從辯證法觀點來說明數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性一定不能背離有效利用數(shù)學(xué)知識這種有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的傾向性，這就需要教師充分利用知識序列與學(xué)生心理序列的銜接與整合過程中的有效性，具體體現(xiàn)為對銜接點的起點的確定，從起點到下一個銜接點的順利過渡途徑的選擇.其中，知識序列經(jīng)由教材分析提供，心理序列經(jīng)由學(xué)情分析提供，這種銜接與整合的過程需要教學(xué)法分析提供.在分析教學(xué)法時，教師要想方設(shè)法利用學(xué)生心理活動的自展性，針對具體的知識點，悉心研究學(xué)生發(fā)生認(rèn)識的自展機制，然后順勢引導(dǎo)學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實與面臨的新學(xué)習(xí)材料的結(jié)合中產(chǎn)生新知識，發(fā)展能力，積累經(jīng)驗，完善自展性.