郭森，孫志賓

（北方工業(yè)大學(xué)，北京 100144）

1 引言

通過相關(guān)文獻(xiàn)的研究，我國學(xué)者對(duì)我國股市尖峰厚尾數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量研究達(dá)成了較大程度上的共識(shí)。但是在一些細(xì)節(jié)的方面存在一些差異，如閾值的確定，唐勇，唐振鵬應(yīng)用平均超額函數(shù)圖法、核擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量法的閾值選取方法；吳慧慧運(yùn)用平均超額函數(shù)圖法；郭燕湄運(yùn)用SME散點(diǎn)圖的方法；花擁軍，張宗益（2010）利用峰度法定量選取了閾值。在GPD參數(shù)估計(jì)方面大多數(shù)學(xué)者都選擇了極大似然估計(jì)法。

本篇論文編寫了自動(dòng)順序測(cè)試程序找出閾值，并且運(yùn)用Jin ZHANG（2009）提出的一個(gè)新的估計(jì)方法，這種方法改進(jìn)了最大似然估計(jì)并且避免了計(jì)算問題。

2 GPD模型介紹

廣義帕累托分布（GPD）由Pickands在1975年命名，GPD是兩參數(shù)分布族，它的概率分布函數(shù)為

其中σ和ξ分別為刻度和形狀參數(shù)（σ>0）。

3 POT模型介紹

EVT的一個(gè)基本結(jié)果是著名的Pickands-Balkema-de Haan定理，它指出，對(duì)于過剩損失（X-u|X>u）從具有大閾值u>0的這種分布收斂到具有正帕累托參數(shù)ξ>0的廣義帕累托分布（GPD）。也就是說，

其中xF<∞是F的右端點(diǎn)，Gξ，σ（x）是GPD分布函數(shù)。因此，這個(gè)定理提供了POT框架的基礎(chǔ)，該框架能夠從u開始為GPD的尾部提供單獨(dú)的數(shù)據(jù)集建模[1]。GPD的分布函數(shù)被定義為Gξ，σ（x）=1-（1+ξx/σ）-1/ξ，x>0，ξ>0

其中σ>0是刻度參數(shù)，k是形狀參數(shù)，1/ξ=γ是尾部指數(shù)。

4 尾部風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量

在100p%水平上的連續(xù)隨機(jī)變量X的VaR是X的分布的100p分位數(shù)，表示為

令F（x）是任意連續(xù)分布的分布函數(shù)，并定義超過u的損失事件的超出分布為Fu（y）=Pr（X-u≤y|X>u）=

該分布假設(shè)服從GPD（ξ，σ）。然后我們可以將F（x）寫成

當(dāng)F（x）是三參數(shù)的GPD分布時(shí)，其估計(jì)形式變?yōu)?/p>

其中Fn是經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，ξ，σ是來自樣本的估計(jì)的GPD參數(shù)。VaR估計(jì)值從下式獲得

其中un是超過閾值u的超出數(shù)量，n是觀測(cè)總數(shù)。

5 實(shí)證分析

本文數(shù)據(jù)采用來自網(wǎng)易財(cái)經(jīng)的上海和深圳的日收盤綜合指數(shù)，數(shù)據(jù)取2005年1月4日至2018年6月4日，共3260個(gè)數(shù)據(jù)。日收益率采用對(duì)數(shù)收益，考慮到實(shí)際計(jì)算時(shí)收益率數(shù)字水平太小，故放大 100 倍，即：Rt=log（Pt/Pt-1）*100，其中 Pt表示第t天的日收盤價(jià)[2]。

第一，偏態(tài)分布檢驗(yàn)。

表1 滬深對(duì)數(shù)收益率統(tǒng)計(jì)特征

表1給出了上證綜指和深證綜指的對(duì)數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)特征，我們可以看到上證綜指的峰度4.41大于3，則認(rèn)為峰的形狀比較尖，比正態(tài)分布峰要陡峭；偏度為-0，57小于0，則認(rèn)為有向左偏移；深證綜指的峰度2.87，則認(rèn)為峰的形狀比較平，偏度為-0.72小于0，則認(rèn)為有向左偏移。偏度和峰度證明了上證綜指和深證綜指的對(duì)數(shù)收益率具有厚尾的特征。K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.071332和0.11288，P-value為0，拒絕數(shù)據(jù)是正態(tài)分布。

第二，獨(dú)立性檢驗(yàn)。由BDS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都為正可知，上證綜指和深證綜指對(duì)數(shù)收益率為非獨(dú)立分布。

第三，平穩(wěn)性檢驗(yàn)。對(duì)序列做ADF檢驗(yàn)，結(jié)果顯示序列是平穩(wěn)的。

以上的檢驗(yàn)結(jié)果表明：上證綜指的對(duì)數(shù)收益率是尖峰厚尾向左偏移的分布，數(shù)據(jù)之間不獨(dú)立但是是平穩(wěn)的；深證綜指是厚尾向左偏移的分布，數(shù)據(jù)之間不獨(dú)立但是是平穩(wěn)的。

6 閾值選擇

閾值的選擇在極值分析中是至關(guān)重要的。若我們選擇的閾值太高，則觀測(cè)數(shù)據(jù)就會(huì)過少，導(dǎo)致方差增大；若選擇的閾值太低，則GPD近似可能不成立，產(chǎn)生有偏差的估計(jì)量。本文采取自動(dòng)順序測(cè)試程序找出閾值。

由于數(shù)據(jù)量龐大本文利用統(tǒng)計(jì)軟件R編寫了自動(dòng)順序測(cè)試程序，得出的結(jié)果是取閾值為2.038和2.572774。選定閾值后，對(duì)POT模型的擬合狀況進(jìn)行診斷。下圖為上證綜指的對(duì)數(shù)收益率超出量的GPD估計(jì)和尾部分布的估計(jì)。從圖中可以看出，散點(diǎn)緊密圍繞參照線分布，深證綜指對(duì)數(shù)收益率的圖也同樣，說明擬合得非常好，模型也是適宜的。

7 參數(shù)與VaR估計(jì)

最大似然估計(jì)方法在統(tǒng)計(jì)學(xué)中一直是重要的方法，但史密斯（1984）指出，只有當(dāng)k<1/2時(shí)，GPD的MLE是一致的，漸近正態(tài)的和高效的。Jin ZHANG（2009）提出了一個(gè)新的估計(jì)方法，改進(jìn)了MLE并且避免了計(jì)算問題。本文運(yùn)用Jin ZHANG（2009）提出的方法進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，估計(jì)的上證綜指和深證綜指的 Sigma和 k值分別為 3.999672、0.4234715和5.017539、0.5750684。在99%的置信水平下滬市和深市的VaR分別為15.64447、18.53955

8 結(jié)語

本文從極值的視角對(duì)上證綜指和深證綜指的對(duì)數(shù)收益率利用pot模型計(jì)算了VaR。實(shí)證結(jié)果表明上證綜指和深證綜指均表現(xiàn)為尖峰厚尾，深市股票收益率VaR高于滬市股票收益率的VaR值，即深市股票收益率的潛在風(fēng)險(xiǎn)高于滬市股票的潛在風(fēng)險(xiǎn)。