肖佳敏，朱 鋒，張小紅

(武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079)

0 引言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)與捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system，SINS)功能互補(bǔ)，二者組合之后具有導(dǎo)航精度高、可靠性好等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于海陸空各領(lǐng)域的導(dǎo)航。GNSS/SINS松組合系統(tǒng)一般采用卡爾曼濾波，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析有利于了解卡爾曼濾波性能，認(rèn)識(shí)系統(tǒng)參數(shù)與狀態(tài)量估計(jì)之間的關(guān)系。松組合系統(tǒng)在特定情況下并非所有狀態(tài)量都是可觀測(cè)的，對(duì)不可觀測(cè)的狀態(tài)量進(jìn)行濾波難以得到準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。根據(jù)可觀測(cè)性分析結(jié)果，載體進(jìn)行一定機(jī)動(dòng)可以使得某些誤差狀態(tài)由不可觀測(cè)變?yōu)榭捎^測(cè)，為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)快速收斂提供參考，因此在工程實(shí)踐中有必要考慮組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性。

由于載體運(yùn)動(dòng)，松組合系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)，濾波過(guò)程中狀態(tài)量的可觀測(cè)性不會(huì)一成不變，使得時(shí)變系統(tǒng)的可觀測(cè)性分析變得困難。文獻(xiàn)[1-2]提出了分段定常系統(tǒng)(piece-wise constant system，PWCS)可觀測(cè)性理論，將時(shí)變系統(tǒng)視為短時(shí)間內(nèi)的定常系統(tǒng)，通過(guò)求系統(tǒng)的提取可觀測(cè)性矩陣(stripped observability matrix，SOM)簡(jiǎn)化了對(duì)時(shí)變系統(tǒng)可觀測(cè)性的分析?；赑WCS可觀測(cè)性理論，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[2]分析了慣導(dǎo)系統(tǒng)飛行對(duì)準(zhǔn)時(shí)，線運(yùn)動(dòng)對(duì)于提高誤差狀態(tài)可觀測(cè)性的作用。文獻(xiàn)[3]分析了地心地固系(e系)下，具有桿臂誤差的GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀測(cè)性。文獻(xiàn)[4]分開(kāi)考慮了系統(tǒng)的可觀測(cè)部分與不可觀測(cè)部分，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量進(jìn)行逐個(gè)分析。文獻(xiàn)[5]利用狀態(tài)方程解耦的思想降低了系統(tǒng)SOM的復(fù)雜度，并給出誤差狀態(tài)可觀測(cè)性與載體線運(yùn)動(dòng)、角運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系。

e系下的松組合濾波模型中姿態(tài)誤差表示在載體系下，減少了后續(xù)可觀測(cè)性分析的工作[6]。但實(shí)際中對(duì)載體而言e系下運(yùn)動(dòng)方向不明，不便于對(duì)載體機(jī)動(dòng)進(jìn)行確切的指導(dǎo)以達(dá)到提高狀態(tài)量可觀測(cè)性的目的，而當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系(n系)物理意義明確，對(duì)載體而言操作更加方便。本文選取n系作為參考系，根據(jù)實(shí)際中導(dǎo)航參數(shù)的數(shù)值范圍對(duì)濾波系統(tǒng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，接著利用PWCS理論求得系統(tǒng)的SOM，通過(guò)對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行解耦分析了桿臂誤差與位置誤差、姿態(tài)誤差與加計(jì)零偏的可觀測(cè)性，并得到了桿臂誤差、姿態(tài)誤差以及加計(jì)零偏的可觀測(cè)性與載體運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，最后通過(guò)仿真對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。理論分析與仿真測(cè)試證明了載體運(yùn)動(dòng)可以使得系統(tǒng)狀態(tài)量由不可觀測(cè)變?yōu)榭捎^測(cè)，從而提高狀態(tài)量的估計(jì)速度及精度，對(duì)工程實(shí)踐有指導(dǎo)意義。

1 18維狀態(tài)的松組合數(shù)學(xué)模型

本文采用n系下的GNSS/SINS松組合模型作為可觀測(cè)性分析的對(duì)象，建立了18維狀態(tài)的系統(tǒng)狀態(tài)模型，包括位置誤差δrn、速度誤差δvn、失準(zhǔn)角φ、加計(jì)零偏ab、陀螺零偏εb和桿臂誤差δlb。在不考慮系統(tǒng)噪聲的情況下，n系下松組合的系統(tǒng)狀態(tài)方程[7-8]為

(1)

同樣不考慮觀測(cè)噪聲的情況下，松組合觀測(cè)方程[7,9]為

(2)

式中：Z為觀測(cè)向量；Ln為桿臂值。

由于系統(tǒng)狀態(tài)方程式中的系數(shù)矩陣F十分復(fù)雜，不利于后續(xù)可觀測(cè)性矩陣的計(jì)算，因此，做如下模型簡(jiǎn)化：在組合導(dǎo)航實(shí)際應(yīng)用中，一般載體運(yùn)動(dòng)速度在100m/s以內(nèi)，而地球半徑數(shù)量級(jí)達(dá)到1×106m，因此矩陣F的子矩陣Frr最大在1×10-4數(shù)量級(jí)，而慣導(dǎo)系統(tǒng)中位置誤差δrn在1×10-3數(shù)量級(jí)左右，二者乘積遠(yuǎn)小于速度誤差δvn數(shù)量級(jí)1×10-4對(duì)于位置誤差微分的影響，因此，位置誤差微分方程可以簡(jiǎn)化[4]為

(3)

同理，子矩陣Fvr、Fvv、Fφr、Fφv數(shù)量級(jí)均較小，對(duì)相應(yīng)狀態(tài)量的影響可以忽略，簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(4)

2 n系下的可觀測(cè)性矩陣

組合導(dǎo)航系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)，不能直接利用可觀測(cè)性矩陣來(lái)分析。但根據(jù)PWCS可觀測(cè)性分析理論，在短時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為系統(tǒng)是時(shí)不變的。由式(2)、式(4)，計(jì)算系統(tǒng)在第j個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的SOM[1]為

(5)

對(duì)式(5)進(jìn)行行變換后得到

(6)

矩陣維數(shù)為54×18，式中矩陣4行以下為42×18的零陣。

(7)

3 可觀測(cè)性分析

根據(jù)式中非零陣元素的分布，可以發(fā)現(xiàn)位置誤差與桿臂誤差相互耦合，與其余4種誤差解耦。速度誤差可觀測(cè)，載體姿態(tài)誤差與加計(jì)零偏、陀螺零偏耦合。

3.1 位置誤差與桿臂誤差的可觀測(cè)性分析

根據(jù)式(7)，由PWCS可觀測(cè)性理論可以得到表示位置誤差及桿臂誤差的可觀測(cè)性矩陣為

(8)

式中下標(biāo)16表示位置誤差與桿臂誤差在狀態(tài)量中的位置。

具體考慮2個(gè)時(shí)間段內(nèi)的可觀測(cè)性矩陣。假設(shè)開(kāi)始時(shí)載體處于靜止?fàn)顟B(tài)，2個(gè)時(shí)間段內(nèi)的可觀測(cè)性矩陣為

(9)

(10)

因此有結(jié)論1：位置誤差與桿臂誤差耦合在一起，載體的角運(yùn)動(dòng)將提高桿臂誤差的估計(jì)，而直線運(yùn)動(dòng)對(duì)于桿臂誤差的可觀測(cè)性沒(méi)有貢獻(xiàn)。載體繞某方向的角速度將使得垂直于該方向的桿臂誤差可觀測(cè)。

3.2 姿態(tài)誤差、加計(jì)零偏與陀螺零偏的可觀測(cè)性分析

根據(jù)式(7)，由PWCS可觀測(cè)性理論可以得到表示姿態(tài)誤差、加計(jì)零偏及陀螺零偏的可觀測(cè)性矩陣

(11)

式(11)經(jīng)行變換后可以拆分成

(12)

(13)

式中：Q34表示姿態(tài)誤差與加計(jì)零偏的可觀測(cè)性矩陣；Q35表示姿態(tài)誤差與陀螺零偏的可觀測(cè)性矩陣。

觀察矩陣Q34、Q35，可以發(fā)現(xiàn)這3種誤差的可觀測(cè)性與載體的直線運(yùn)動(dòng)、角運(yùn)動(dòng)均有關(guān)系。矩陣Q35中含有n系相對(duì)于慣性系的角速度，載體不可控，下面僅對(duì)矩陣Q34進(jìn)行分析，考慮載體分別進(jìn)行線運(yùn)動(dòng)及角運(yùn)動(dòng)。

1)載體線運(yùn)動(dòng)

(14)

(15)

現(xiàn)考慮2個(gè)時(shí)間段內(nèi)的可觀測(cè)性，開(kāi)始時(shí)載體處于靜止?fàn)顟B(tài)下，且載體天向與導(dǎo)航系U向保持一致，則可觀測(cè)性矩陣為

(16)

由于載體靜止，有

(17)

式中g(shù)為重力加速度。

因此，式(16)可以展開(kāi)為

(18)

式(18)第3行非零項(xiàng)對(duì)應(yīng)az(天向加計(jì)零偏)，也就是說(shuō)靜止時(shí)有az可觀測(cè)。假設(shè)載體下一時(shí)間段Fb發(fā)生改變，例如載體向前加速，有fx=0,fy≠0,fz=g，因此2個(gè)時(shí)間段的可觀測(cè)性矩陣為

(19)

因此有結(jié)論2：載體在某一水平方向上進(jìn)行加速運(yùn)動(dòng)，將提高該方向上加計(jì)零偏的可觀測(cè)性。直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，姿態(tài)誤差的可觀測(cè)性與水平向加計(jì)零偏的可觀測(cè)性耦合，而與天向加計(jì)零偏的可觀測(cè)性解耦。

2)載體角運(yùn)動(dòng)

(20)

(21)

4 仿真驗(yàn)證

利用仿真數(shù)據(jù)對(duì)上述3條結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

分別設(shè)計(jì)3個(gè)實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)一確定靜止?fàn)顟B(tài)下可觀測(cè)的狀態(tài)量，仿真靜止800 s，濾波初始狀態(tài)量均為0。實(shí)驗(yàn)二，載體先靜止100 s，接著以1 m/s2向前加速10 s，然后保持10 m/s的速度勻速向北向運(yùn)動(dòng)。整個(gè)過(guò)程中只有北向速度發(fā)生了變化。實(shí)驗(yàn)三，載體先靜止100 s，接著以1 m/s2向前加速10 s，然后保持10 m/s的速度勻速向北向運(yùn)動(dòng)，100 s之后以2°/s的速度向左轉(zhuǎn)90° ，朝西運(yùn)動(dòng)100 s最后以2 m/s2減速至0。

根據(jù)卡爾曼濾波方差的收斂速度可以判斷狀態(tài)量的可觀測(cè)度[10]，若其濾波方差未收斂，則說(shuō)明該狀態(tài)量不可觀測(cè)，濾波方差收斂越快，說(shuō)明狀態(tài)量可觀測(cè)度越高。仿真結(jié)果分析如下。

圖2為姿態(tài)誤差的濾波結(jié)果，圖3為加計(jì)零偏的濾波結(jié)果。實(shí)驗(yàn)一中，載體靜止時(shí)右向及前向姿態(tài)誤差收斂，而天向姿態(tài)誤差可觀測(cè)性較差。由圖3(a)、圖3(b)可以看到靜止時(shí)右向及前向加計(jì)零偏濾波STD為9.8×10-4m/s2，且沒(méi)有收斂趨勢(shì)，完全不可觀測(cè)，而圖3(c)中天向加計(jì)零偏可觀測(cè)。實(shí)驗(yàn)二中，100 s后載體向前加速，將提高前向(y向)加計(jì)零偏的可觀測(cè)性，圖3(e)顯示y向加計(jì)零偏STD在100 s后開(kāi)始收斂，但收斂趨勢(shì)不明顯，說(shuō)明可觀測(cè)性仍很差。但此時(shí)圖3(d)中x向加計(jì)零偏依舊不可觀測(cè)，說(shuō)明載體的前向加速運(yùn)動(dòng)可以提高前向加計(jì)零偏的可觀測(cè)性。同時(shí)載體直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，姿態(tài)誤差的可觀測(cè)性與水平方向上的加計(jì)零偏耦合，實(shí)驗(yàn)二中100 s后前向加計(jì)零偏可觀測(cè)性的提高也將提高天向姿態(tài)誤差的可觀測(cè)性，圖2(f)顯示實(shí)驗(yàn)二中100 s后天向姿態(tài)誤差STD收斂加快。驗(yàn)證了結(jié)論2。

實(shí)驗(yàn)三中210 s后載體天向角速度發(fā)生變化，將提高水平向加計(jì)零偏的可觀測(cè)性，圖3(g)、圖3(h)顯示水平向加計(jì)零偏在210 s后收斂至0，驗(yàn)證了結(jié)論3。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了n系下GNSS/SINS松組合濾波狀態(tài)參數(shù)的可觀測(cè)性，包括桿臂誤差、姿態(tài)誤差以及加計(jì)零偏。通過(guò)分析3種狀態(tài)參數(shù)的可觀測(cè)性與載體角運(yùn)動(dòng)、線運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，得到了以下3條結(jié)論：1)位置誤差與桿臂誤差耦合，載體的角運(yùn)動(dòng)將提高桿臂誤差的估計(jì)，而直線運(yùn)動(dòng)對(duì)于桿臂誤差的可觀測(cè)性沒(méi)有貢獻(xiàn)，載體繞某方向的角速度將使得垂直于該方向上的桿臂誤差可觀測(cè)；2)載體在某一水平方向上進(jìn)行加速運(yùn)動(dòng)將提高該方向上加計(jì)零偏的可觀測(cè)性，直線運(yùn)動(dòng)時(shí)姿態(tài)誤差與水平方向的加計(jì)零偏耦合，而與天向加計(jì)零偏解耦；3)載體只進(jìn)行角運(yùn)動(dòng)時(shí)，繞某方向的角運(yùn)動(dòng)將使得垂直于該方向上的加計(jì)零偏可觀測(cè)。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文的可觀測(cè)性分析結(jié)論。工程實(shí)踐中，在組合導(dǎo)航初始對(duì)準(zhǔn)階段，進(jìn)行加速及轉(zhuǎn)彎，可以加快濾波狀態(tài)量的收斂速度，快速實(shí)現(xiàn)高精度導(dǎo)航定位。