洪其強(qiáng)

數(shù)列在每年的高考中必考. 但在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，我們有時會遇到一些似是而非的問題，此類問題往往是由于我們對某些概念或公式的認(rèn)識不深，使我們在解題時容易造成一些失誤.同時，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略，也就是在等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程中，沒有注意到轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤. 一般來說，考題中選擇題、填空題解法靈活多變，要注意題情，避免出錯. 筆者在此通過數(shù)例，分析解題過程中的致錯原因，希望能有所幫助，以期在學(xué)習(xí)中加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練.

1. 已知Sn求an時， 易忽略n=1的情況而致錯.

例1. 數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn且a1=1，an+1= Sn. 求a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【錯解】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（ ）n-1.

【分析】此題在應(yīng)用Sn與an的關(guān)系時誤認(rèn)為an=Sn-Sn-1對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗(yàn)證. 易得出數(shù)列{an}為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論.

【解析】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）又a1=1，a2= ，故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故an=1，（n=1） （ ）n-2. （n≥2）

【點(diǎn)評】對于數(shù)列an與Sn之間有如下關(guān)系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1，（n≥2） 利用兩者之間的關(guān)系可以已知Sn求an. 但注意只有在當(dāng)a1適合an=Sn-Sn-1 （n≥2）時兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式.

2. 利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）而致錯.

例2. 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)l≠m時，Sm=Sl . 問n為何值時Sn最大？

【錯解】由題意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n，此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)閍1>0，當(dāng)l≠m時，Sm=Sl故d<0，即此二次函數(shù)開口向下，故由f（l）=f（m）得當(dāng)x= 時f（x）取得最大值.

【分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個限制條件.

【解析】由題意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)閍1>0，當(dāng)l≠m時，Sm=Sl故d<0即此二次函數(shù)開口向下，故由f（l）=f（m）得當(dāng)x= 時f（x）取得最大值，但由于n∈N？鄢，故若l+m為偶數(shù)，當(dāng)n= 時，Sn最大. 當(dāng)l+m為奇數(shù)時，當(dāng)n= 時Sn最大.

【點(diǎn)評】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識解決問題. 特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如Sn=an2+bn所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和. 此時由 =an+b知數(shù)列中的點(diǎn)（n， ）是同一直線上，這也是一個很重要的結(jié)論. 此外形如前 n項(xiàng)和Sn=can-c所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和.

3. 解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣而致錯.

例3. 已知關(guān)于的方程x2-3x+a=0和x2-3x+b=0的四個根組成首項(xiàng)為 的等差數(shù)列，求a+b的值.

【分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的.

【解析】不妨設(shè) 是方程x2-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等，故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程x2-3x+a=0的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程x2-3x+b=0的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為： ， ， ， 故a= ，b= 從而a+b= .

【點(diǎn)評】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果. 例如，對于等差數(shù)列{an}，若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；對于等比數(shù)列{an}，若n+m=u+v，則an·am=au·av；若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列；若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用.

4. 用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情況而致錯.

例4. 數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，數(shù)列{an·an+1}是公比為q（q>0）的等比數(shù)列.

（I）求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范圍；

（II）求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和S2n .

【錯解】（II）由數(shù)列{an·an+1}是公比為q的等比數(shù)列，得 =q？圯 =q，這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，

∴ S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = .

【分析】對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤. 再者沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列{an·an+1}是公比為q（q>0）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破口. 使思維受阻.

【解析】（I）∵數(shù)列{an·an+1}是公比為q的等比數(shù)列，∴ an+1an+2=anan+1 q，an+2an+3=anan+1 q2，由anan+1+an+1an+2>an+2an+3，得anan+1+anan+1 q>anan+1 q2？圯1+q>q2，即q2-q-1<0（q>0），解得0

（II）由數(shù)列{an·an+1}是公比為q的等比數(shù)列，得 =q？圯 =q，這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，∴當(dāng)q≠1時，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = ，

當(dāng)q=1時，

S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n.

【點(diǎn)評】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中 =q是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注.另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況. 高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對而不全的錯誤.

5. 在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會采用錯項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位而致錯.

例5. 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）令bn =anxn（x∈R）求數(shù)列{bn}前項(xiàng)和的公式.

【錯解】（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn……（Ⅰ）

則xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

所以，數(shù)列{bn}前項(xiàng)和的公式Sn= [ -nxn+1].

【分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再由數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式分析可知，數(shù)列{bn}是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項(xiàng)相減的方法求和.

【解析】（1）易求得an=2n.

（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn …（Ⅰ）

則xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

當(dāng)x≠1，Sn= [ -nxn+1].

當(dāng)x=1時，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

綜上可得：

當(dāng)x≠1，Sn= [ -nxn+1]；當(dāng)x=1時，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

【點(diǎn)評】一般情況下對于數(shù)列{cn}有cn=anbn其中數(shù)列{an}和{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項(xiàng)相減的方法來求解，但要注意對題目中字母x 的討論. 實(shí)際上，課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例.

6. 不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時對裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)而致錯.

例6. 求Sn= + + +…

【分析】本題解答時一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤.

【解析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得1+2+3+…+n= ，

∴ = =2（ - ），n取1，2，3，…就分別得到 ， ， ，… ∴ Sn=2（1- ）+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2（1- ）= .

【點(diǎn)評】“裂項(xiàng)法”有兩個特點(diǎn)，一是每個分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個數(shù)（也可三個或更多）相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項(xiàng)的第二個數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對稱的. 常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求 + + +…+ ，方法還是抓通項(xiàng)，即 = = （ - ），問題會很容易解決.另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：an= ，求其前n項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、倒序相加法等.

7. 易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)作充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S.

例7. 設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

（Ⅰ）若首項(xiàng)a1= ，公差d=1，求滿足 =（Sk）2的正整數(shù)k；

（Ⅱ）求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對于一切正整數(shù)k都有足 =（Sk）2成立.

【錯解】（II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則在 =（Sn）2中分別取 k=1，2，得

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2， （1）4a1+ d=（2a1+ d）2， （2）

由（1）得 a1=0或a1=1.

當(dāng)a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，則an=0，Sn=0，

若a1=0，d=6，則an=6（n-1），Sn=3n（n-1），

當(dāng)a1=1時，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2，

若a1=1，d=0，則an=1，Sn=n，

若a1=1，d=2，則an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2.

綜上，共有4個滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=6（n-1），即0， 6，12，…；③{an} ： an=1，即1，1，1，…；④{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…；

【分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力. 學(xué)生在解第（Ⅱ）時極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都有 =（Sk）2成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件. 還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般.

【解析】（I）當(dāng)a1= 時，d=1時Sn=na1+ d= n+ = n2+n.

由 =（Sk）2，得 k4+k2=（ k2+k）2，即k3（ k-1）=0. 又k ≠0，所以k=4.

（II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則在 =（Sn）2中分別取k=1，2，得：

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2， （1）4a1+ d=2（a1+ d）2， （2）

由（1）得 a1=0或a1=1. 當(dāng)a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，則an=0，Sn=0，從而 =（Sk）2成立，

若a1=0，d=6，則an=6（n-1），由S3=18，（S3）2=324，Sn=216 知S9≠（S3）2，故所得數(shù)列不符合題意. 當(dāng)a1=1時，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2.

若a1=1，d=0，則an=1，Sn=n，從而 =（Sk）2成立；

若a1=1，d=2，則an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2，從而S=（Sn）2成立.

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=1，即1， 1， 1，…；③{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…

【點(diǎn)評】事實(shí)上，“條件中使得對于一切正整數(shù)k都有 =（Sk）2成立.”就等價(jià)于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯誤. 在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系.

8. 解答數(shù)列應(yīng)用題時，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯誤解答.

例8. 如果能將一張厚度為0.05mm的報(bào)紙對折，再對折……對折50次后，報(bào)紙的厚度是多少？你相信這時報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為4×108米）

【錯解】對折一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對折厚度構(gòu)成數(shù)列an，則數(shù)列an是以a1=0.05×103米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列. 從而對折50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的前51項(xiàng)和，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，易得，S51= =50（251-1），而地球和月球間的距離為4×108<50（251-1）， 故可以在地球和月球之間建一座橋.

【分析】對折50次后，報(bào)紙的厚度應(yīng)理解為一等比數(shù)列的第n項(xiàng)，易誤理解為是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【解析】對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列an，則數(shù)列an是以a1=0.05×103米為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列. 從而對拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球間的距離為4×108<5.63×1010故可建一座橋.

【點(diǎn)評】 以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或第n項(xiàng)的問題，在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來.

9. 以偏概全，錯將特殊當(dāng)一般而致錯.

例9. 設(shè)等比數(shù)列{an}的全n項(xiàng)和為Sn . 若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.

【錯解】∵ an=Sn-Sn-1，∴ an=2n+1（n∈N？鄢）.

【分析】在等比數(shù)列中，a1≠0是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應(yīng)先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進(jìn)行整理變形.

【解析】若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，故q≠1.

又依題意S3+S6=2S9？圯 + =2· ？圯q3（2q6-q3-1）=0，即（2q3+1）（q3-1）=0，因?yàn)閝≠1，所以q3-1 ≠1，所以2q3+1=0. 解得 q=- .

【點(diǎn)評】此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分.

10. 沒有意識到題中所給的隱含條件而致錯.

例10. 在數(shù)列{an}中，a1=-2，2an+1=2an+3，則an等于（ ）

A. B. 10 C. 13 D. 19

【分析】 A、B、D被式子2an+1=2an+3的表面所迷惑，未發(fā)現(xiàn){an}是等差數(shù)列這個本質(zhì)特征，而只由表面的遞推關(guān)系得到，從而計(jì)算繁瑣，導(dǎo)致有誤.

【解析】由2an+1=2an+3得an+1-an= ，∴{an}是等差數(shù)列.

∵ a1=-2，d= ，a11=13. 故選C.

11. 由前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)時未注意an=Sn-Sn-1（n≥2）中并不包括首項(xiàng)a1而致錯.

例11. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為① Sn=2n2-n ② Sn=n2+n+1時，分別求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【錯解】① an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3；

② an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

【分析】在對數(shù)列概念的理解上，僅注意了an=Sn-Sn-1的關(guān)系，沒注意a1=S1.

【解析】 ①當(dāng)n=1時，a1=S1=1.

當(dāng)n≥2時，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3.

經(jīng)檢驗(yàn)n=1時a1=1也適合，∴ an=4n-3.

②當(dāng)n=1時，a1=S1=3.

當(dāng)n≥2時，an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

∴ an=3，（n=1）2n.（n≥2）

【點(diǎn)評】一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1 ，（n≥2）由Sn求an時，an=S1，（n=1）Sn-Sn-1， （n≥2， n∈N？鄢）注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨(dú)列出. 一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式.

12. 未能正確運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解決求和問題而致錯.

例12. 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和記為Sn，S10=10，S30=70，則S40等于 .

【錯解】∵S30=S10·2d，∴ d=30，∴ S40=S30+d=100.

【分析】將等差數(shù)列中Sm ， S2m-Sm， S3m-S2m成等差數(shù)列誤解為Sm ，S2m ，S3m成等差數(shù)列.

【解析】由題意：10a1+ d=10，30a1+ d=70，得a1= ，d= ，

代入得S40=40a1+ ×40d=120.

【點(diǎn)評】等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…仍為等差數(shù)列.

13. 未能正確運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)公式的關(guān)系解決求值問題而致錯.

例13. 等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和為Sn、Tn. 若 = （n∈N？鄢），求 .

【錯解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令an=7n+1；bn=4n+27.

∴ = = .

【分析】誤認(rèn)為 = .

【解析】∴ = = = = .

【點(diǎn)評】若Sn、Tn分別是等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和，則 = .

14. 未能正確運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和的分段形式而致錯.

例14. 已知一個等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=25-5n，求數(shù)列{| an |}的前n項(xiàng)和.

【錯解】由an≥0得n≤5，

∴ {an}前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)，

∴ Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50（n≤5）.

當(dāng)n≥6時，Sn= | a6 | + | a7 | + | a8 | +…+ | an | = ，

∴ Sn=50， n≤5 . n≥6

【分析】（1）把n≤5理解為n=5，（2）把“前n項(xiàng)和”誤認(rèn)為“從n≥6起”的和.

【解析】 ，n≤5 +50. n≥6

上述分析只是錯誤解題的一般性問題，后期復(fù)習(xí)應(yīng)考，應(yīng)做的是怎樣才能有效地避免非智力因素失分，對照考點(diǎn)檢查常見知識和公式、定理是否記住.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)