武鑫 郭璇 康歌 甯尤軍

摘要：為了更好地利用數(shù)值流形法（NMM）模擬連續(xù)和非連續(xù)問題，根據(jù)NMM數(shù)學覆蓋選擇的靈活性，將有限元網(wǎng)格作為一種數(shù)學覆蓋方式生成流形覆蓋系統(tǒng)以避免細小流形單元的出現(xiàn)，并提出了將單個材料體描述為一個流形單元的獨立覆蓋方法。運用多種覆蓋方式相耦合的方法模擬了混凝土的細觀拉壓模型，以及一個復雜結(jié)構(gòu)巖質(zhì)邊坡模型，模擬結(jié)果較好地再現(xiàn)了相應(yīng)的力學變形破壞過程。多種覆蓋方式的耦合使得構(gòu)建的NMM模擬模型更加合理；獨立覆蓋方式的使用降低了構(gòu)建離散體系NMM模型的復雜程度，并減少了模型中的單元數(shù)量以及不連續(xù)面上的接觸數(shù)量，提高了模擬計算效率。

關(guān)鍵詞：數(shù)值流形法（NMM）；獨立覆蓋；有限覆蓋；耦合使用；離散體系

中圖分類號：O347.7 文獻標志碼：A文章編號：1000-582X（2018）05-060-08

Abstract： To better use the numerical manifold method （NMM） to simulate complex continuous and discontinuous deformation problems， for the flexibility of the choice of mathematical covers in the NMM， we adopt the finite element mesh to generate NMM mathematical covers so as to avoid the appearance of too-small manifold elements， and put forward an independent cover method， in which a single material domain is described as one manifold element. Different cover types are coupled in the simulations of the tensile and compressive concrete meso-scale models， as well as a rock slope model with complex structures. The corresponding mechanical deformation and failure processes are well reproduced by NMM simulations. The coupling use of different cover types makes the generated NMM simulation models more reasonable. The independent cover method decreases the complexity to construct NMM simulation models for discrete systems， and reduces the numbers of manifold elements and the contact numbers along discontinuity surfaces， which helps to improve the NMM computational efficiency.

Keywords： numerical manifold method （NMM）；independent cover；finite cover；coupling use；discrete system

混凝土、巖石是典型的非均勻、非連續(xù)工程及地質(zhì)材料，其變形、破壞是一個復雜的連續(xù)、非連續(xù)固體介質(zhì)力學行為問題。數(shù)值模擬是研究這類復雜力學問題的重要手段。基于連續(xù)理論的有限元法（FEM），在模擬材料不連續(xù)變形和運動力學行為時能力存在不足。在基于非連續(xù)理論的方法中，離散元法（DEM）運用顯式有限差分法模擬多體不連續(xù)系統(tǒng)的大位移和旋轉(zhuǎn)過程[1]；非連續(xù)變形分析（DDA）方法則基于最小勢能原理，較好地解決了多材料體的大變形和大位移問題。對于巖石力學行為的模擬，DEM和DDA方法適用于對離散巖體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定狀態(tài)和變形模式及過程的模擬，但對于連續(xù)體內(nèi)裂紋的產(chǎn)生和擴展模擬則存在一定不足[2]。顯然，2種數(shù)值方法對于混凝土這種顆粒基體材料的細觀變形破壞模擬也同樣存在難度。連續(xù)非連續(xù)數(shù)值方法的耦合，如FEM-DEM[3]，以及連續(xù)非連續(xù)理論在數(shù)值方法中的統(tǒng)一，如數(shù)值流形法（NMM）[4]，則是更好的解決途徑。

數(shù)值流形法（NMM， numerical manifold method）通過2套獨立的覆蓋系統(tǒng)很好地將連續(xù)與非連續(xù)問題統(tǒng)一在一個理論框架內(nèi)進行描述，將FEM、DDA和解析法統(tǒng)一起來。覆蓋系統(tǒng)是NMM的重要組成部分，對此已有了較多的研究。蔡永昌等[5]論述了二維彈性問題里使用矩形覆蓋流形方法的理論和實施技術(shù)，并給出了其覆蓋系統(tǒng)的全自動生成算法；陳剛等[6]將有限元網(wǎng)格作為生成流形覆蓋系統(tǒng)的數(shù)學網(wǎng)格，利用有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣結(jié)合塊體搜索算法，形成最終的流形法覆蓋系統(tǒng)；李海楓等[7]研究了三維流形單元的生成方法；蔡永昌等[8]提出了一種完全獨立覆蓋的高階NMM，在獨立覆蓋之間假設(shè)幾何厚度可以忽略的連接彈簧，以解決高階流形法的線性相關(guān)性問題和物理覆蓋系統(tǒng)的生成復雜性問題；蘇海東等[9]研究了矩形獨立覆蓋及其覆蓋加密，在獨立覆蓋中使用解析級數(shù)，并提出了任意形狀的獨立覆蓋形式。NMM在類混凝土材料的細觀變形破壞，以及巖質(zhì)邊坡失穩(wěn)等巖石力學與工程問題的研究中都已得到了一定的應(yīng)用。黃濤[10]和趙妍[11]分別采用NMM模擬研究了混凝土以及高聚物粘結(jié)炸藥這兩類顆?；w材料的細觀變形破壞問題；張國新等[2]驗證了采用NMM可以正確計算邊坡傾倒安全系數(shù)和模擬邊坡傾倒破壞過程；黃濤等[12]應(yīng)用NMM對巖石雙孔爆破過程進行了模擬；Ning和An等[13-14]采用基于莫爾庫侖開裂準則的NMM模擬了巖質(zhì)邊坡中的裂紋擴展和邊坡破壞全過程。

根據(jù)NMM中數(shù)學覆蓋和物理覆蓋的定義，提出了將單個材料體描述為單個流形單元的獨立流形覆蓋方法，并與傳統(tǒng)的規(guī)則網(wǎng)格有限覆蓋以及由有限元網(wǎng)格生成的有限覆蓋相結(jié)合，以便對包含離散體系的復雜材料結(jié)構(gòu)的力學行為進行模擬。通過混凝土細觀變形破壞行為模擬和復雜結(jié)構(gòu)巖質(zhì)邊坡失穩(wěn)破壞模擬算例，驗證和討論了這一數(shù)值模擬途徑的可行性及優(yōu)勢。

1 數(shù)值流形法的有限覆蓋與獨立覆蓋

1.1 數(shù)值流形法的基本思想

采用2套獨立的覆蓋系統(tǒng)：數(shù)學覆蓋系統(tǒng)和物理覆蓋系統(tǒng)[3]。數(shù)學覆蓋（MC， mathematical cover）系統(tǒng)由許多部分重疊的覆蓋片組成，它覆蓋住整個物理區(qū)域。在二維NMM中，一般多采用規(guī)則三角形網(wǎng)格生成數(shù)學覆蓋系統(tǒng)。如圖1（a）所示，當采用三角形網(wǎng)格生成數(shù)學覆蓋系統(tǒng)時，對于網(wǎng)格中的任一節(jié)點，含有這一節(jié)點的所有三角形組成1個數(shù)學覆蓋。在圖1（a）中，1-6號三角形組成的正六邊形就是該節(jié)點處的數(shù)學覆蓋。

物理覆蓋（PC， physical cover）是數(shù)學覆蓋和物理區(qū)域的交集，當將數(shù)學覆蓋置于物理區(qū)域上時，數(shù)學覆蓋與物理區(qū)域重疊的部分就形成物理覆蓋系統(tǒng)。如果材料邊界或內(nèi)部不連續(xù)面將1個數(shù)學覆蓋切割成多個完全獨立的區(qū)域，則位于材料域內(nèi)的每一獨立區(qū)域就是1個物理覆蓋。在圖1（a）中，以節(jié)點a、b為中心的六邊形數(shù)學覆蓋Ma、Mb完全位于物理區(qū)域內(nèi)，并且均沒有被不連續(xù)面切割成完全獨立的區(qū)域，從而使得Ma、Mb分別成為1個物理覆蓋，記為P1a、P1b；以節(jié)點c為中心的數(shù)學覆蓋Mc只有一部分與物理區(qū)域相重疊，只有位于物理區(qū)域內(nèi)的這一部分才形成1個物理覆蓋，記為P1c，同理，以節(jié)點e為中心的數(shù)學覆蓋Me處形成1個物理覆蓋，記為P1e；而對于以節(jié)點d為中心的數(shù)學覆蓋Md而言，其位于物理區(qū)域內(nèi)的部分被物理區(qū)域中的不連續(xù)面切割成2個完全獨立的區(qū)域，所以，在節(jié)點d處形成2個物理覆蓋，記為P1d、P2d。

對于由以上方法產(chǎn)生的物理覆蓋，他們也是相互部分重疊的，這些相互重疊的物理覆蓋所形成的交集則構(gòu)成流形單元（ME， manifold element）。如圖1所示，圖1（a）中的物理覆蓋P1a、P1b和P1c相交形成流形單元e1，物理覆蓋P1b、P1d、P1e相交形成流形單元e2，物理覆蓋P1b、P2d、P1e相交形成流形單元e3。顯然，每個流形單元是3個物理覆蓋的交集。

1.2 有限覆蓋與獨立覆蓋

如圖1所示的由規(guī)則三角形網(wǎng)格生成數(shù)學覆蓋，是NMM廣泛采用的一種覆蓋形式。由于不需要網(wǎng)格邊與物理邊界相重合，特別是對于復雜形態(tài)的物理區(qū)域，前處理變得易于實現(xiàn)，但同時也會在物理區(qū)域的邊界產(chǎn)生一些面積極小或細長的流形單元，如圖2（a）所示，從而對計算性能造成一定影響。生成NMM覆蓋系統(tǒng)的另外一種方式是采用傳統(tǒng)有限元網(wǎng)格作為數(shù)學覆蓋，如圖2（b）所示，當采用三角形有限元網(wǎng)格時，對于其中任一節(jié)點，含有這一節(jié)點的所有三角形單元形成1個數(shù)學覆蓋，進而生成相應(yīng)的物理覆蓋。對于任意一個有限單元，其3個頂點處的物理覆蓋相互重疊形成的流形單元就是該有限單元本身。這時NMM方法實質(zhì)上退化為了有限單元法，只是在NMM理論框架下，材料開裂破壞的描述較有限元更加易于實現(xiàn)。無論是采用規(guī)則三角形網(wǎng)格還是采用有限元非規(guī)則網(wǎng)格生成的流形覆蓋，都可以稱為NMM的有限覆蓋。采用有限覆蓋可以很方便地描述連續(xù)材料體的變形和開裂破壞行為。

對于離散體系而言，主要關(guān)心離散體的位移和相互之間的作用，而離散體自身的變形不重要時，采用如上所述的有限覆蓋則不具必要性和計算經(jīng)濟性。這里提出獨立覆蓋的概念，即每一個離散體物理區(qū)域采用獨立的覆蓋進行描述，每個塊體形成一個流形單元，并擁有屬于自身的獨立的位移函數(shù)，實現(xiàn)離散體間位移不連續(xù)的描述。這時，NMM實質(zhì)上退化為了DDA方法，只是采用了不同的具體未知量和位移函數(shù)。值得注意的是，這里提出的獨立覆蓋的概念和文獻[8-9]中獨立覆蓋的概念是不一樣的。

當采用三角形網(wǎng)格時，獨立覆蓋的構(gòu)造方法是生成1個包絡(luò)單個離散體的三角形，并以該三角形的3個頂點為數(shù)學覆蓋的中心，產(chǎn)生3個數(shù)學覆蓋，進而生成相應(yīng)3個物理覆蓋。如圖3（a）所示，1個四邊形離散體物理區(qū)域被覆蓋其上的Δijk完全包含。根據(jù)數(shù)學覆蓋的概念，節(jié)點i、j、k處的數(shù)學覆蓋分別為以節(jié)點i、j、k為中心的3個六邊形， 記為Mi、Mj和Mk。它們與物理區(qū)域的交集分別構(gòu)成3個四邊形物理覆蓋Pi、Pj、Pk（區(qū)域均為物理區(qū)域本身），這3個四邊形物理覆蓋相互重疊形成1個四邊形流形單元，即該物理區(qū)域本身。這樣以來，單個離散體物理區(qū)域自身形成1個流形單元。對于如圖3（b）所示的離散體系統(tǒng)，其中每一個四邊形離散體均擁有屬于自身的獨立覆蓋，各自形成獨立的流形單元。

以上獨立覆蓋生成方法略去了數(shù)學覆蓋被物理區(qū)域再分割的過程，簡化了物理覆蓋與流形單元的生成過程。在保證相互對應(yīng)的前提下，覆蓋系統(tǒng)和流形單元可以分開建立。具體可以先建立離散體系統(tǒng)模型，每個離散體形成1個流形單元，進而根據(jù)離散體的幾何和坐標信息，對每個離散體引入1個三角形并形成相應(yīng)的數(shù)學與物理覆蓋。如圖3（b）所示，由此生成的覆蓋系統(tǒng)，保證了屬于任何2個離散體的物理覆蓋間的獨立性。

對于具體問題的模擬，在覆蓋系統(tǒng)的生成過程中，可以根據(jù)問題的幾何及物理特征，將由規(guī)則三角形或有限元網(wǎng)格生成的有限覆蓋，與獨立覆蓋進行耦合使用，得到更加合理的NMM模擬模型。在文中，有限覆蓋和獨立覆蓋采用相同的覆蓋位移函數(shù)，自然地將各種覆蓋方式耦合到了統(tǒng)一的NMM數(shù)學描述框架下，具有簡潔性和實用性。

2 不同流形覆蓋方式的耦合應(yīng)用

2.1 混凝土細觀模型的單軸拉壓模擬

混凝土在細觀尺度上可看成是由骨料、水泥砂漿及其交界面組成的顆?；w復合材料。其中，骨料與水泥砂漿的交界面是混凝土材料內(nèi)部最薄弱的相，在外荷載作用下，微裂紋往往率先在交界面上開始萌生，并逐漸演化、發(fā)展和貫穿，最終形成宏觀裂紋導致混凝土材料的破壞?；炷晾炱茐暮蟮臄嗝嫘螒B(tài)表明，絕大部分破壞面是粗骨料與水泥砂漿的界面粘結(jié)破壞（拉脫），而小部分是骨料間的水泥砂漿被拉斷。即使是在壓縮載荷作用下的破壞，一般也是以水泥砂漿的開裂和界面開裂為主，較少發(fā)生骨料破壞的情況。因此，對于混凝土這種顆?；w復合材料的細觀模擬，骨料的變形和破壞一般可以認為并不重要。

在混凝土細觀模型的NMM模擬中，可以采用獨立覆蓋描述骨料，采用有限覆蓋描述砂漿，界面則通過粘接強度加以考慮。如圖4（a）所示，其中的骨料、加載板以及測量板采用了獨立覆蓋，砂漿則采用了有限元網(wǎng)格來生成覆蓋系統(tǒng)，以避免采用規(guī)則三角形網(wǎng)格生成覆蓋時在砂漿骨料界面處產(chǎn)生細長或極小尺寸流形單元。測量板位于加載板和細觀模型之間，因采用獨立覆蓋而具有常應(yīng)力，它在豎直方向上的應(yīng)力反映了混凝土細觀模型在豎向方向上的平均應(yīng)力。為加以對比，在圖4（b）的模型中，對骨料也采用有限元網(wǎng)格進行了覆蓋。

在方件上下兩端均通過加載板進行準靜態(tài)線性拉伸或壓縮位移加載，加載速率為2 mm/s。假定骨料與水泥砂漿為線彈性材料，各類材料參數(shù)如表1所示。NMM模擬中的最大步位移比、時間步長和接觸彈簧剛度分別取為5×10-4，1×10-5 s和600 GPa。

圖5（a）與圖5（b）所示為單軸拉伸的細觀模擬結(jié)果。骨料采用2種不同覆蓋方式，模型中主貫通裂紋均產(chǎn)生于模型中下部，并伴有多處分散裂紋，其中，砂漿骨料界面開裂占整個開裂面的較大部分。2種覆蓋條件下模型的細觀破壞形態(tài)極為相似。圖6（a）給出了由測量板得到的模型在豎直方向上的平均應(yīng)力變化曲線。曲線在初期表現(xiàn)為線性，隨著加載位移的增大，界面的逐步脫粘和砂漿的逐步開裂導致軟化現(xiàn)象的出現(xiàn)。在主裂紋逐漸貫通的過程中，曲線開始出現(xiàn)明顯下降。由于材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不均勻性，曲線在下降過程中出現(xiàn)了一定的起伏現(xiàn)象?？梢钥闯觯橇戏謩e采用有限覆蓋和獨立覆蓋時，模型豎直方向的應(yīng)力位移曲線在前期極為近似，只是在后期的起伏階段才產(chǎn)生了較明顯差異。

圖5（c）與圖5（d）所示為單軸壓縮的模擬結(jié)果。在壓縮載荷作用下，細觀結(jié)構(gòu)的非均勻性導致大量分散裂紋的產(chǎn)生，沒有形成明顯優(yōu)勢裂紋帶，但單條分散裂紋基本都為傾斜方向的剪切裂紋。可以看出，在骨料采用2種不同覆蓋的條件下，模型中細觀破壞形態(tài)仍極為相似。圖6（b）所示的模型豎直方向平均應(yīng)力變化曲線表明，初期模型整體響應(yīng)呈線性，隨著分散裂紋的逐步產(chǎn)生，軟化現(xiàn)象逐步顯現(xiàn)。對比骨料采用2種不同覆蓋方式得到的應(yīng)力曲線，可以發(fā)現(xiàn)它們?nèi)苑浅＝咏?/p>

綜上所述，對于混凝土這樣的顆?；w材料，當骨料顆粒分別采用有限覆蓋和獨立覆蓋時，得到了基本一致的模擬結(jié)果。但當骨料采用獨立覆蓋時，覆蓋系統(tǒng)的生成更加簡單，并且由于界面處接觸數(shù)量的減少，以及整個模型中單元數(shù)目的減少，模擬計算效率也得到了一定的提高。

2.2 復雜巖質(zhì)邊坡的失穩(wěn)破壞模擬

巖體是由連續(xù)巖石介質(zhì)和不連續(xù)面構(gòu)成的天然地質(zhì)材料，巖質(zhì)邊坡復雜的組成結(jié)構(gòu)對其破壞形式有著直接重要影響。根據(jù)Goodman[15-16]關(guān)于巖質(zhì)結(jié)構(gòu)邊坡失穩(wěn)的研究，建立如圖7（a）所示的由連續(xù)巖石介質(zhì)與離散巖塊構(gòu)成的邊坡模型。在由連續(xù)巖石介質(zhì)和少量不連續(xù)面組成的節(jié)理欠發(fā)育巖體中，連續(xù)巖石介質(zhì)的開裂破壞是非常重要的破壞形式。而在包含大量不連續(xù)面的節(jié)理較充分的發(fā)育巖體中，巖體可看做是由獨立巖塊構(gòu)成的離散巖塊系統(tǒng)，巖體的變形破壞主要沿著已有的不連續(xù)面進行。下面通過NMM方法模擬該邊坡在重力作用下的失穩(wěn)破壞過程?；谇拔乃峒暗挠邢薷采w和獨立覆蓋2種不同覆蓋方式，邊坡中節(jié)理欠發(fā)育巖體部分采用規(guī)則三角形網(wǎng)格進行有限覆蓋以描述其變形破壞，邊坡中節(jié)理充分發(fā)育巖體部分采用獨立覆蓋，以便于描述離散巖塊系統(tǒng)的變形破壞及運動。同時，用作邊界約束條件的模型邊框也采用獨立覆蓋。NMM網(wǎng)格模型如圖7（b）所示。

模擬中，節(jié)理充分發(fā)育部分巖體（記為巖層）的材料參數(shù)為：密度2 500 kg/m3，彈性模量30 GPa，泊松比0.25。節(jié)理欠發(fā)育部分巖體（記為巖塊）的材料參數(shù)為：密度2 700 kg/m3，彈性模量30 GPa，泊松比0.25。巖層的強度參數(shù)取為：內(nèi)摩擦角27°，內(nèi)聚力0.5 MPa，抗拉強度0.5 MPa，巖塊部分不考慮開裂破壞。模型中不連續(xù)面的強度參數(shù)均取為：摩擦角10°，內(nèi)聚力0.05 MPa，抗拉強度0.05 MPa。這里取相對一般實際更小的強度參數(shù)，是為了使得邊坡在重力作用下即發(fā)生破壞失穩(wěn)。

圖7（c）和圖7（d）給出了邊坡破壞過程的NMM模擬圖像。在自重和上部巖體的壓載作用下，節(jié)理發(fā)育良好的邊坡下部巖體沿既有不連續(xù)面發(fā)生破壞，巖塊系統(tǒng)發(fā)生松動。下部離散巖塊系統(tǒng)承載能力的降低，導致上部巖層的不穩(wěn)定并沿豎向貫通節(jié)理面發(fā)生下錯，巖層中既有的非貫通節(jié)理面進而發(fā)生擴展，將巖層逐步折斷。隨后，下部離散巖塊被向右擠出并向前方傾倒，上部破壞巖層下端與下部離散巖塊一起向右側(cè)運動，整個上部巖層則發(fā)生向后傾倒并下滑。這種破壞稱為滑動傾倒的“二次傾倒模式”[15]，當上部巖層滑動趨勢被下端巖塊阻止時發(fā)生。以上模擬結(jié)果表明，采用有限覆蓋和獨立覆蓋耦合的方式能很好地模擬復雜巖質(zhì)邊坡的失穩(wěn)破壞問題。

3 結(jié) 論

基于NMM有限覆蓋理論，采用有限元網(wǎng)格作為一種數(shù)學覆蓋方式生成NMM流形覆蓋系統(tǒng)，避免采用規(guī)則網(wǎng)格生成流形覆蓋系統(tǒng)時可能產(chǎn)生的細長或極小尺寸流形單元，并提出了將單個材料體描述為單個流形單元的獨立覆蓋方法。通過多種流形覆蓋方式相耦合，模擬了混凝土方件的細觀變形破壞，以及復雜結(jié)構(gòu)巖石邊坡的失穩(wěn)破壞過程。結(jié)果表明，獨立覆蓋方式的采用，降低了模型的生成過程以及最終生成模型的復雜程度，減少了計算過程中的接觸數(shù)量以及流形單元數(shù)量，提高了計算效率。獨立覆蓋與有限覆蓋的耦合使用，合理地描述了混凝土的細觀結(jié)構(gòu)和巖質(zhì)邊坡的復雜構(gòu)造，NMM模擬較好地再現(xiàn)了相應(yīng)的物理力學過程。文中提出的獨立覆蓋方法，適用于單體變形不重要的離散體的模擬，也可用于模型中加載板、約束邊框等單體的描述。

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（編輯 陳移峰）