馬天兵，劉 健，杜 菲,羅 智

(安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

模糊控制是一種基于模糊集合理論和模糊學(xué)習(xí)規(guī)則的智能控制方法，可不依賴被控對(duì)象的精確模型，具有一定的適應(yīng)能力和較強(qiáng)的魯棒性[1]。針對(duì)具有不確定性特點(diǎn)的非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題，模糊控制策略已成為該問(wèn)題的研究熱點(diǎn)之一。學(xué)者利用模糊系統(tǒng)的通用逼近能力，設(shè)計(jì)改進(jìn)了眾多模糊控制系統(tǒng)，用于對(duì)非線性動(dòng)態(tài)問(wèn)題的自適應(yīng)調(diào)節(jié)控制。文獻(xiàn)[2]將模糊系統(tǒng)與擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)合，運(yùn)用于機(jī)載穩(wěn)定云臺(tái)的擾動(dòng)補(bǔ)償，改善了平臺(tái)抑制擾動(dòng)的能力； 文獻(xiàn)[3]將拉格朗日法和假設(shè)模態(tài)法相結(jié)合，提出了新的模糊控制策略，并對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行了自適應(yīng)控制，提高了機(jī)械臂的運(yùn)行穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[4]將模糊系統(tǒng)中的監(jiān)督控制器用直接控制器代替，并用達(dá)芬強(qiáng)迫振蕩系統(tǒng)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了其改進(jìn)算法可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度；文獻(xiàn)[5]采用加入自適應(yīng)補(bǔ)償器的模糊系統(tǒng)對(duì)鍋爐主汽溫進(jìn)行控制，減少了汽溫系統(tǒng)監(jiān)控時(shí)的參數(shù)誤差；文獻(xiàn)[7]將變論域引入模糊系統(tǒng)的隸屬函數(shù)，通過(guò)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了新算法具有良好的魯棒性和動(dòng)態(tài)性能。他們?cè)谀：到y(tǒng)的補(bǔ)償器、隸屬函數(shù)等方面的改進(jìn)都被證明具有可行性。

本文從模糊系統(tǒng)中的模糊基函數(shù)入手，將模糊基函數(shù)的元素量擴(kuò)展為平方倍并排列為元素方陣，取此方陣對(duì)角最優(yōu)元素重新構(gòu)成基函數(shù)，充分利用模糊控制知識(shí)行為，以減少參數(shù)估計(jì)誤差。并采用此控制系統(tǒng)，以單力臂機(jī)械手為研究對(duì)象，通過(guò)Simulink軟件進(jìn)行建模和仿真研究，以證明其有效性和可行性。

1 模糊逼近原理

考慮對(duì)不確定的f(x)進(jìn)行自適應(yīng)模糊逼近。

(1)

式中：f(x)為未知的連續(xù)函數(shù)；b為未知的正常數(shù)；u，y分別為為系統(tǒng)的輸入和輸出。根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]給出如下定理。

定理：直接自適應(yīng)模糊控制采用下面的IF-THEN模糊規(guī)則來(lái)描述控制知識(shí)：

THENuisQr，r=1，2，…，Ln。

選擇系數(shù)K=(kn，…，k1)T，使得多項(xiàng)式sn+k1s(n-1)+…+kn的所有根部都在復(fù)平面左半開平面上。取控制器為

(2)

將式(2)代入式(1)，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程

e(n)+k1e(n-1)+…+kne=0

(3)

直接性模糊自適應(yīng)控制是基于模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制器u=u(x|θ)和一個(gè)調(diào)整參數(shù)向量θ的自適應(yīng)律，通知K的選取，可使當(dāng)t→∞時(shí)，e(t)→0，使得系統(tǒng)輸出y盡可能地跟蹤理想輸出ym。

2 模糊自適應(yīng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

直接自適應(yīng)模糊控制器為

u=uD(x|θ)

(4)

式中：uD為一個(gè)模糊系統(tǒng)，θ為可調(diào)參數(shù)集合。

原有的模糊控制器構(gòu)造法則中模糊基函數(shù)存在n個(gè)元素，高維度的參數(shù)集合保證了控制器的穩(wěn)定與準(zhǔn)確[9]，但是在具體的工程應(yīng)用中，對(duì)應(yīng)的參數(shù)集合的選取量會(huì)因?yàn)榫S度的減少直接變少，導(dǎo)致控制器的自有參數(shù)量少，平均解不能很好地得到準(zhǔn)確值。因此，本文將模糊基函數(shù)的n維參數(shù)向量組擴(kuò)展為N=n×n維，然后建立參數(shù)方陣，取對(duì)角的n個(gè)參數(shù)重新定義基函數(shù)。此時(shí)n維向量由N=n×n個(gè)初始元素中選取出的n個(gè)元素構(gòu)成，增加了平方次的運(yùn)算量，避免了由參數(shù)樣本容量小造成的參數(shù)的估計(jì)誤差，提高了準(zhǔn)確度。

采用乘積推理機(jī)、單值模糊器和中心平均解模糊器來(lái)設(shè)模糊控制器，即

(5)

uD(x|θ)=θTξ′(x)

(6)

(7)

將ξ′(x)建立為對(duì)角陣，取對(duì)角線上的元素作為最終參數(shù)向量ξ(x)的值。

(8)

系統(tǒng)的誤差方程為

(9)

(10)

其中參數(shù)γ是正的參數(shù)，對(duì)式(10)進(jìn)行求導(dǎo)并整理得

eTpnbω

(11)

式中：Pn為P的最后一列。

取自適應(yīng)律

(12)

3 仿真分析

設(shè)單力臂機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程為

(13)

式中：D0、C0、G0分別為理想正定慣性矩陣、慣性矩陣和慣性向量，θ為角度位置，d為誤差擾動(dòng)，τ為輸入控制力矩。在實(shí)際工程中，對(duì)象的實(shí)際模型慣性量D、C、G與理想慣性量存在偏差ΔD，ΔC，ΔG，(ΔD=D0-D、ΔC=C0-C、ΔG=G0-G)。

針對(duì)其理想名義模型的控制律設(shè)計(jì)為

(14)

將式(13)代入式(14)，并化簡(jiǎn)得

(15)

由式(15)可見，模型建模時(shí)的不精確會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不夠穩(wěn)定。

為了得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，即

(16)

式(15)中建模不精確部分可取為

(17)

假設(shè)模型不確定項(xiàng)f(x)為已知，則可設(shè)計(jì)修正的控制律為

(18)

但是在實(shí)際工程中，模型不確定項(xiàng)f(x)為未知，因此，需要對(duì)不確定項(xiàng)進(jìn)行逼近，并在控制律中實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定項(xiàng)f(x)的補(bǔ)償，以此提高控制性能[9]100-200。

根據(jù)上節(jié)內(nèi)容，取單力臂機(jī)械手為被控對(duì)象，在對(duì)上述建模中的不確定項(xiàng)f(x)進(jìn)行逼近的基礎(chǔ)上，采用改進(jìn)的模糊控制律式(6)以及自適應(yīng)律(12)對(duì)其進(jìn)行主動(dòng)控制。

根據(jù)工程常見實(shí)例，取ΔD，ΔC，ΔG變化量為20%，并定義模糊系統(tǒng)的6個(gè)隸屬度函數(shù)，如圖1所示。

x圖1 x的隸屬函數(shù)

采用Simulink和S函數(shù)進(jìn)行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，仿真運(yùn)行結(jié)果如圖2～圖5所示。

t/s圖2 模糊系統(tǒng)的控制補(bǔ)償

t/s圖3 控制輸入

圖4 不確定項(xiàng)及其估計(jì)

根據(jù)模糊系統(tǒng)對(duì)模型不確定項(xiàng)f(x)的逼近，在控制系統(tǒng)輸出中對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償，得出如圖2所示的模糊系統(tǒng)控制補(bǔ)償曲線。綜合考慮控制補(bǔ)償和控制律，得出如圖3所示的系統(tǒng)總輸入。圖4所示為上述模型的不確定項(xiàng)f(x)及其估計(jì)。將此系統(tǒng)的最終位置跟蹤效果與未改進(jìn)模糊基函數(shù)的系統(tǒng)相對(duì)比，得出如圖5所示的期望軌跡與改進(jìn)、未改進(jìn)系統(tǒng)控制下的實(shí)際軌跡效果。

圖5 效果對(duì)比圖

當(dāng)采用改進(jìn)過(guò)的模糊系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，由于改進(jìn)了模糊基函數(shù)的參數(shù)選取方法，增加了基函數(shù)中的參數(shù)樣本容量，并選取其對(duì)角最優(yōu)元素，去除了前階段基函數(shù)中引起擾動(dòng)較大的元素，充分利用了模糊系統(tǒng)的控制知識(shí)行為，所以在前期就可進(jìn)入系統(tǒng)的知識(shí)控制穩(wěn)定期，避免了初始參數(shù)選取的誤差影響，在行為演算的最初階段就能達(dá)到后期穩(wěn)定效果，根據(jù)圖5可以看出，相對(duì)于未改進(jìn)的控制系統(tǒng)，改進(jìn)的系統(tǒng)在前幾個(gè)軌跡角度轉(zhuǎn)折處更好地跟蹤了期望軌跡，且整個(gè)跟蹤過(guò)程更快地收斂于理想位置，進(jìn)入了穩(wěn)定階段。

仿真結(jié)果表明，此系統(tǒng)能夠跟蹤給定的軌跡路線，實(shí)現(xiàn)機(jī)械手的自適應(yīng)控制。所采用的模糊自適應(yīng)算法能較好地對(duì)單力臂機(jī)械手進(jìn)行位置跟蹤，并且能夠很好地逼近模型中的不確定項(xiàng)f(x)，在研究對(duì)象的控制系統(tǒng)中有效地對(duì)不確定部分進(jìn)行了補(bǔ)償，使得模型的準(zhǔn)確度和整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到了提高。

4 結(jié)論

針對(duì)非線性函數(shù)的逼近控制問(wèn)題，本文提出了一種直接自適應(yīng)模糊控制系統(tǒng)，它將模糊基函數(shù)的元素量擴(kuò)展為平方倍并排列為元素方陣，取此方陣對(duì)角最優(yōu)元素重新構(gòu)成基函數(shù)，充分利用模糊控制知識(shí)行為，以減少參數(shù)估計(jì)誤差。并采用此系統(tǒng)對(duì)單力臂機(jī)械手進(jìn)行了基于模型不確定項(xiàng)的控制仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明，它能夠很好地逼近機(jī)械手模型中的不確定項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械手的自適應(yīng)控制，大大提高了實(shí)際工程應(yīng)用中建模的準(zhǔn)確度，以及系統(tǒng)的控制性能。