陳 艷

（江蘇省南京市燕子磯中學(xué)，江蘇南京 210000）

引 言

高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性和復(fù)雜性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)存在諸多方面的問(wèn)題，會(huì)碰到各種各樣的難題，教師應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)“一題多解”的方法，使他們逐漸感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，進(jìn)而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性。

一、溫故知新法，提高學(xué)生的一題多解能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想有效培養(yǎng)學(xué)生的一題多解能力，不僅需要學(xué)生能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)新知識(shí)，還需要學(xué)生結(jié)合已經(jīng)掌握的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，借助溫故而知新的方式，把新舊知識(shí)有機(jī)結(jié)合在一起，從而逐漸提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，最終為順利、正確地解答出數(shù)學(xué)題目做好準(zhǔn)備[1]。

例題1：已知1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范圍。

法1：舊知高一的不等式性質(zhì)：設(shè)2x-3y=m(x+y)+n(xy)=(m+n)x+(m-n)y，則 m+n=2 且 m-n=-3，得所以

法2：新知高二線性規(guī)劃：根據(jù)已知條件得4個(gè)不等式可得到可行域，令，即可看出所求取值范圍和直線的縱截距有關(guān)，代入(2，-1)，縱截距最小而此時(shí)；代入（2，3），縱截距最大而此時(shí)，故 -5≤2x-3y≤7。

我們從上述例題的兩個(gè)解法中可以得知，只有在學(xué)生掌握題目解法的相關(guān)知識(shí)的前提下，才能使他們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)題目的時(shí)候能從更多角度思考與分析，從而可找出更多的解題方法，實(shí)現(xiàn)一題多解。在實(shí)際的解題過(guò)程中，不僅需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，還需要教師結(jié)合學(xué)生已經(jīng)掌握的解題方法做進(jìn)一步探索，以便找出更加便捷的解題方法。借助溫故知新解題方法的應(yīng)用，可以使學(xué)生較好地鞏固已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以使學(xué)生將多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)融合在一起，以便探究出更多視角的解題方法。

二、舉一反三法，提高學(xué)生的一題多解能力

在具體的解答高中數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中，應(yīng)用一題多解教學(xué)方法可以使學(xué)生實(shí)現(xiàn)溫故而知新，還可以讓學(xué)生對(duì)同一個(gè)題目提出多種解題思路，以實(shí)現(xiàn)舉一反三的教學(xué)目標(biāo)。換句話說(shuō)，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)題目的時(shí)候，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)類型相同題目的有效解題方法進(jìn)行及時(shí)歸納與總結(jié)，從而可以更加全面、系統(tǒng)地掌握這一類型數(shù)學(xué)題目的解題思路與方法，以推動(dòng)學(xué)生解題能力及數(shù)學(xué)思維能力的快速發(fā)展。在用一題多解教學(xué)法組織高中數(shù)學(xué)解題課堂活動(dòng)的時(shí)候，教師需要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)同類題目中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)、規(guī)律及定理，在獲得這類題目的解題心得之后，就可以促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升[2]。需要注意的是，教師應(yīng)善于從多個(gè)角度啟發(fā)學(xué)生，讓他們能多層面地看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，以幫助他們更好地掌握與解題思路有關(guān)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

例題2：已知直線x+2y-3=0和圓x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q兩點(diǎn)。若OP⊥OQ（為原點(diǎn)），求m的值。

法1：由OP⊥OQ想到向量數(shù)量積為0，故設(shè)P（x1,y1），Q（x2,y2），聯(lián)立直線和圓方程得出韋達(dá)定理y1+y2=4，。又因?yàn)樗约?3-2y1)(3-2y2)+y1y2=9-得 m=3。

法2：由OP⊥OQ想到三點(diǎn)共圓，又直線與圓交于P，Q兩點(diǎn)想到圓系方程，故設(shè)經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0， 過(guò)（0，0）得m=3λ，整理方程得圓心為，在直線x+2y-3=0，代入解得λ=1，即m=3。

法3：由OP⊥OQ想到三點(diǎn)共圓，且PQ為此圓和已知圓的公共弦，故已知圓心設(shè)為，以PQ為直徑的圓設(shè)為圓N，則，與已知直線聯(lián)立得N（-1,2），即為圓N的半徑，圓N：與圓M的方程x+2y-m=0相減得公共弦方程即為已知直線，故m=3。

法4：同法3得N（-1,2），由PQ中點(diǎn)為N，設(shè)P（a，b），Q（-2-a，4-b）代入直線方程得a+2b-3=0。又由得a(-2-a)+b(4-b)=0，結(jié)合上式得a=3，b=0,代入已知直線方程，得m=3。

本題還可以通過(guò)垂直想到幾何直角三角形斜邊中線等于斜邊一半去計(jì)算，但計(jì)算較煩瑣，故不再贅述。從本題的解題方法能夠得知，思路各有特點(diǎn)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)方面也有較大差異。借助對(duì)學(xué)生解題思路的科學(xué)延伸，可從多個(gè)層面與視角求解題目，熟練掌握各種解題思路之后，就可實(shí)現(xiàn)舉一反三，以便找出更便捷的解題方法，有助于學(xué)生解題能力的提升。

結(jié) 語(yǔ)

總之，將一題多解教學(xué)法應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，是發(fā)展學(xué)生思維能力的有效形式，也是提升學(xué)生解題能力的主要途徑。因此，教師在實(shí)際的解題教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多層面、多角度地分析題目，啟發(fā)學(xué)生將新舊知識(shí)有機(jī)結(jié)合、靈活運(yùn)用，并善于總結(jié)同類題目的解題方法，最終使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題綜合能力不斷提高。