趙亮 王微微 張興

摘 要：為了研究Banach空間的幾何常數(shù)，依據(jù)凸性模和光滑模的定義和性質(zhì)，采用將光滑模推廣到廣義光滑模的方法來(lái)研究新常數(shù)。依據(jù)Lindenstrauss公式以及凸性模與光滑模的對(duì)偶關(guān)系，進(jìn)一步研究廣義光滑模與廣義凸性模的的關(guān)系，不再局限于光滑模定義的條件，對(duì)新常數(shù)中的變量研究能夠得出Banach空間具有的性質(zhì)，從而給出了廣義光滑模與廣義凸性特征的一個(gè)關(guān)系，再通過(guò)廣義光滑模與弱正交系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用范數(shù)三角不等式，得出了Banach空間具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的充分條件。

關(guān)鍵詞：一致光滑；廣義光滑模；Lindenstrauss公式；正規(guī)結(jié)構(gòu)

DOI：10.15938/j.jhust.2018.04.026

中圖分類(lèi)號(hào)： O177.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2018）04-0140-05

Abstract：In order to study the geometric constants of Banach space， a new method is extended to study new constants by means of extending the modulus of smoothness to the generalized smooth mode. On the basis of the Lindenstrauss formula and the duality between the modulus of convexity and modulus of smoothness， further study of generalized modulus of smoothness and generalized modulus of convexity and modulus of smoothness is no longer confined to the defined conditions， properties of the variables can be obtained in constant research of new space with Banach， which gives a relation between the generalized modulus of smoothness and generalized convex the characteristics. Through the relationship between generalized modulus of smoothness and weak orthogonal coefficients， by means of the norm of the triangle inequality， sufficient conditions are obtained for normal structure in Banach space.

Keywords：uniform smoothness； generalized modulus of smoothness； lindenstrauss formula； normal structure

0 引 言

20世紀(jì)30年代，作為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，泛函分析出現(xiàn)了，它的出現(xiàn)逐漸成為學(xué)者們對(duì)近代數(shù)學(xué)研究的必要工具，在其慢慢發(fā)展的過(guò)程中，它已成為研究近代數(shù)學(xué)的必不可分的一部分。泛函分析主要運(yùn)用與幾何、代數(shù)有關(guān)的分析方法和觀點(diǎn)來(lái)研究問(wèn)題。無(wú)論是微分方程還是控制理論，無(wú)論是概率論還是現(xiàn)代物理學(xué)，我們都會(huì)從中發(fā)現(xiàn)泛函分析無(wú)處不在，它可以成為眾多學(xué)科的分支也會(huì)出現(xiàn)在其他學(xué)科的交叉之中，毫無(wú)疑問(wèn)，泛函分析憑借其系統(tǒng)完整的體系分析已經(jīng)成為了應(yīng)用廣泛并且在計(jì)算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域取得重大突破的一門(mén)學(xué)科，因此，它為Banach空間幾何理論的研究提供了重要的理論支撐，具有十分重要的意義。

1936年J.Clarkson定義了刻畫(huà)一致凸性的凸性模，文[4]將凸性模推廣到廣義凸性模，它們?cè)谧罴驯平碚撘约安粍?dòng)點(diǎn)理論中有著重要的應(yīng)用。1965年，W.A.Kirk在文[4]中證明了具有正規(guī)結(jié)構(gòu)自反的Banach空間具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，光滑性是作為凸性的對(duì)偶性質(zhì)，廣義光滑模的幾何意義在于描述一個(gè)Banach空間的光滑性，在對(duì)文[1-13]中關(guān)于凸性模、光滑模等的研究方法進(jìn)行分析后，依據(jù)光滑模的定義和性質(zhì)[14-23]，在Lindenstrauss公式以及凸性模與光滑模的對(duì)偶關(guān)系的啟發(fā)下，對(duì)推廣的廣義光滑模做了進(jìn)一步研究，不僅給出了廣義光滑模與廣義凸性模的對(duì)偶關(guān)系，還得到了廣義光滑模與廣義凸性特征的一個(gè)關(guān)系，再通過(guò)廣義光滑模與弱正交系數(shù)關(guān)系的研究，最終給出了Banach空間具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的充分條件。

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（編輯：關(guān) 毅）