劉肖一,王文彥,平 澄,b

(北京師范大學(xué) a.物理學(xué)系;b.物理實驗教學(xué)中心，北京 100875)

線膨脹系數(shù)是金屬的重要物理性質(zhì),金屬由于受熱造成的長度改變量與原長度的比值在10-4～10-5量級，為了測量線膨脹系數(shù)需要測量微小位移. 常見的金屬線膨脹系數(shù)的測量方法主要有光杠桿法[1]、交流電橋法[2]和千分表直接讀數(shù)法[3]. 光杠桿法在操作上較為復(fù)雜，千分表直接讀數(shù)法的誤差較大. 光學(xué)方法-邁克耳孫干涉法[4]，其特點是精度極高，常被用于測量微小位移；電學(xué)方法-RLC諧振電路法，其特點是通過測量電路的諧振頻率，間接得到電路中平板電容極板間距的微小變化. 基于上述想法，分別搭建相關(guān)的實驗裝置，實現(xiàn)對線膨脹系數(shù)的測量.

1 光學(xué)方法測量金屬線膨脹系數(shù)

1.1 實驗原理

邁克耳孫干涉儀的光路圖如圖1所示. 當(dāng)平面鏡M2關(guān)于分束鏡BS成的像M2′與平面鏡M1平行時，在光屏上可以觀察到內(nèi)疏外密的同心圓干涉條紋.每當(dāng)M2′與M1距離改變λ/2(λ為所用激光波長)時可以看到1個條紋的陷入或涌出.

將平面鏡M1與金屬棒相連，金屬棒受熱膨脹會引起平面鏡的平行移動，從而改變兩鏡之間的距離. 記錄下初始時溫度t0，條紋改變數(shù)為n時的溫度t，則平面鏡之間距離改變量為

(1)

即金屬棒在溫度升高Δt=t-t0時的長度改變量. 根據(jù)線膨脹系數(shù)E的定義有

Δl=lEΔt,

(2)

得出

(3)

其中l(wèi)為金屬棒的原長.以nλ/2為縱坐標(biāo)，lΔt為橫坐標(biāo)作圖，擬合直線的斜率即為線膨脹系數(shù)E.

圖1 邁克耳孫干涉儀光路圖

實驗用半導(dǎo)體激光器波長λ=650 nm，包裹在加熱膜中的金屬棒26.0 ℃時長l=12.00 cm，在光學(xué)平臺上搭好邁克耳孫干涉儀，如圖1所示，調(diào)出等傾干涉條紋，記錄此時溫度T0后，對金屬棒進行加熱，每有10個條紋變化時記錄1次相應(yīng)的溫度t,記錄多組數(shù)據(jù).

1.2 數(shù)據(jù)分析與結(jié)論

實驗測定的物理量及相關(guān)計算如表1所示. 對表1中nλ/2-lΔt進行擬合，得到金屬桿的膨脹系數(shù)為E=2.86×10-5℃.

表1 干涉法溫度變化對應(yīng)的條紋數(shù)目變化結(jié)果

2 電學(xué)方法測量金屬線膨脹系數(shù)

利用RLC諧振電路對金屬棒膨脹系數(shù)進行測量，裝置如圖2所示，電路中的電容用2塊平行鋁板制成，電容極板A固定，另一極板B與待測金屬棒相連，金屬棒受熱膨脹后將改變電容極板的間距，使得電路中的電容值發(fā)生變化，導(dǎo)致電路的諧振頻率發(fā)生改變，在示波器上用XY模式對電路中電阻上電壓和電流的相位差進行監(jiān)測，當(dāng)電路發(fā)生諧振時，相位差為0.

圖2 諧振電路及裝置圖

諧振法可以用2種不同的操作方法間接地得到金屬棒的伸長，并計算出金屬的線膨脹系數(shù).

實驗電路的相關(guān)參量：平板電容器尺寸為260 mm×160 mm;金屬棒與干涉法用的是同一根,l=12.00 cm，高頻電感線圈L=0.13 mH，電阻R=100 Ω.

2.1 方法一:諧振頻率補償法

2.1.1 實驗原理

如圖2所示，將平板電容與高頻電感線圈和電阻串聯(lián)置于正弦交流電路中，發(fā)生諧振時的交流電的頻率滿足

(4)

其中,L為電感器的電感值，C為電容器的電容值.

調(diào)整平行板電容器的極板的初始間距為d0，金屬棒受熱膨脹時，兩極板距離減小，滿足

d′=d0-Δl,

(5)

由平行板電容器公式

(6)

d減小時電容增大，由式(4)可知，諧振頻率減小. 由以上各式可推出

(7)

從而有

(8)

由式(4)，(5)，(8)式得

(9)

由式(9)可以計算出一系列的Δl，以Δl為縱軸，lΔt為橫軸，做線性擬合. 由式(2)可知，直線的斜率即為線膨脹系數(shù)E.

2.1.2 實驗過程

如圖3所示，將平行板電容器的初始距離調(diào)整為d0=1.5 mm，加熱膜接直流電源對金屬棒進行加熱，調(diào)節(jié)信號發(fā)生器所輸出的正弦波的頻率，使電路在不同溫度下分別達到諧振狀態(tài)，記錄多組溫度及其所對應(yīng)的諧振頻率的值。

圖3 裝置連接實物圖

2.1.3 數(shù)據(jù)測量與分析

實驗測定的各物理量相關(guān)計算如表2所示，對Δl-lΔt進行線性擬合，金屬桿的膨脹系數(shù)為E=2.85×10-5℃-1.

表2 諧振頻率補償法溫度變化時各物理量的測量結(jié)果

注：d0=1.50×10-3m

2.2 方法二：電容極板間距補償法

2.2.1 實驗原理

使諧振頻率不變，改變平板電容器極板間的距離，使得金屬棒在不同溫度下，電路始終處于諧振狀態(tài)，測量每次改變的電容極板距離l，該距離就是金屬棒受熱膨脹后的伸長量。

2.2.2 實驗過程

調(diào)整平板電容器極板平行，調(diào)整極板間距使電路諧振頻率在800 kHz左右，加熱膜接直流電源對金屬棒進行加熱，轉(zhuǎn)動螺旋測微頭，通過移動平臺移動極板B，使電路的諧振頻率在不同溫度下保持不變，通過螺旋測微頭讀出不同溫度t對應(yīng)極板B移動的距離，直接利用式(2)線性擬合，斜率即為金屬棒的膨脹系數(shù)。

2.2.3 數(shù)據(jù)測量與分析

實驗測定的各物理量及相關(guān)計算， 如表3所示，對Δl-lΔt進行線性擬合，得到金屬桿的膨脹系數(shù)為E=2.83×10-5℃-1.

表3 電容極板間距補償法溫度變化時各物理量的測量結(jié)果

3 光學(xué)方法與電學(xué)方法的對比

3種方法測出的線膨脹系數(shù)之差在10-7℃-1量級，測量結(jié)果非常接近.

光學(xué)法的優(yōu)點是精度高，可以分辨可見光波長量級的長度改變. 但是如果待測金屬棒密度不均勻，加熱后會導(dǎo)致圖1中M1與M2′的平行度發(fā)生微小改變，使得看到的干涉條紋中心向視場外移動，最終會導(dǎo)致無法對條紋計數(shù)。

電學(xué)法的精度相比光學(xué)法較低，主要是因為裝置的螺旋測微頭只可以分辨10-5m的長度改變. 但其優(yōu)勢是實驗裝置穩(wěn)定，室內(nèi)溫度、濕度、外界輕微干擾等因素對實驗影響都可以忽略[5]. 另外，電容器自身的溫度升高會使得品質(zhì)因數(shù)下降，從而導(dǎo)致測得諧振頻率的輕微下降[6]，從而引入一定誤差.

4 結(jié)束語

材料的線膨脹系數(shù)是材料的熱學(xué)物理性質(zhì)之一，是表征材料性質(zhì)的重要特征量，正確掌握固體線膨脹系數(shù)的規(guī)律性，對于基礎(chǔ)科學(xué)研究、技術(shù)創(chuàng)新、工程技術(shù)的設(shè)計與應(yīng)用等都具有重要意義. 本文對用光學(xué)和電學(xué)方法測金屬線脹系數(shù)的實驗進行了詳細敘述，可為在校大學(xué)生提供利用光的干涉或諧振電路解決實際問題的方法，加深對相關(guān)物理知識的理解，這些方法在工程實踐中也有很有意義[7].

致謝：實驗過程中獲得北京師范大學(xué)物理實驗教學(xué)中心王引書老師和白在橋老師的幫助，實驗所用高頻電感由北京師范大學(xué)2015級莫裕宇、刀流云同學(xué)手工繞制,在此表示感謝.