姚海燕

很多同學(xué)平時(shí)用基本量法和數(shù)列性質(zhì)解決等差、等比數(shù)列的基本問(wèn)題已經(jīng)得心應(yīng)手，但面對(duì)較復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題可能會(huì)束手無(wú)策.下面我們一起來(lái)探討這樣一類問(wèn)題：已知關(guān)于相鄰兩項(xiàng)或三項(xiàng)之間的關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式.

這種轉(zhuǎn)化在高三一輪復(fù)習(xí)中較為常見(jiàn)，但很多同學(xué)不知為何要如此配湊，僅僅邯鄲學(xué)步是不可取的.其實(shí)此種遞推式可采用迭代法去轉(zhuǎn)化化歸，即不斷重復(fù)替換，直至替換到首項(xiàng)a1（迭代的表象是下標(biāo)逐步遞減，直至減到1），最后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

解題回顧 上面三種方法解法很類似，目的都是將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.從平時(shí)的作業(yè)、試卷中可看出，很多同學(xué)在數(shù)列遞推式面前畏懼不前，說(shuō)明對(duì)此類題型感覺(jué)很陌生，故在復(fù)習(xí)過(guò)程中要不斷總結(jié)反思，歸納通解通法，淡化解題技巧.

同學(xué)們不難觀察出中括號(hào)內(nèi)的數(shù)列求和實(shí)為“等差·等比”數(shù)列求和，可借助大家熟悉的錯(cuò)位相減法繼續(xù)得出結(jié)果.

解題回顧 以上兩種方法都是有意識(shí)地把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或與之相關(guān)的熟悉問(wèn)題，但所取方式不同.解析1是用待定系數(shù)法重新構(gòu)造等比數(shù)列，較為復(fù)雜，大部分同學(xué)很難想到；解析2是利用條件遞推式迭代，直至首項(xiàng)，計(jì)算也比較煩瑣.這兩種方法雖蘊(yùn)含技巧，但的確是解決數(shù)列問(wèn)題的通性通法，對(duì)同學(xué)們的觀察總結(jié)能力和計(jì)算能力提出了較高要求.

分析 前面給出的都是相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系式，它們都可以通過(guò)迭代或構(gòu)造轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)模型.那么更進(jìn)一步地，此題給出相鄰三項(xiàng)或者更多項(xiàng)的關(guān)系該如何轉(zhuǎn)化化歸呢？繼續(xù)轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，迭代或構(gòu)造均可嘗試，鑒于此題迭代的復(fù)雜性和篇幅問(wèn)題，我們以直接創(chuàng)造新特殊數(shù)列為例作簡(jiǎn)單介紹.

在解決數(shù)列問(wèn)題的過(guò)程中，我們要盡量將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉，將一般轉(zhuǎn)化為特殊，通過(guò)重整問(wèn)題框架或結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為已解決過(guò)的數(shù)學(xué)模型和方法，從而順利、簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題.